2021-2022学年人教版数学九年级上册22.1.4二次函数y＝ax^2＋bx＋c的图像和性质课后练习(word版含答案)

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
一、单选题
1．已知二次函数，下列结论不正确的是（
）
A．图象开口向上
B．图象经过点
C．对称轴是直线
D．与轴有两个交点
2．将二次函数表达式用配方法配成顶点式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b＋c＞0；②abc＞0；③3a＋b＝0；④b2＝4a（c﹣n）．其中正确结论的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．已知抛物线，当，时，它的图象经过（
）
A．第一，二，三象限
B．第一，二，四象限
C．第一，三，四象限
D．第一，二，三，四象限
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝3，与x轴的一个交点坐标为(0，0)，其部分图象如图所示，下列结论正确的是（
）
A．a﹣b+c＜0
B．6a﹣b＝0
C．抛物线过(6，0)
D．当x＜3时，y随x增大而增大
6．点，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
7．抛物线（其中，是常数）过点A(2，6)，且物线的对称轴与线段有交点，则的值不可能是（
）
A．
B．
C．
D．14
8．二次函数有（
）．
A．最小值，为6
B．最大值，为6
C．最小值，为5
D．最大值，为5
9．已知二次函数为常数，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（
）
A．
B．
C．或
D．或
10．已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　）
A．
B．
C．
D．
11．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象的顶点为点D，其图象与轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1、3，与y轴负半轴交于点C，在下面四个结论中，其中正确的结论是（
）
A．2a﹣b＝0
B．a＋b＋c＞0
C．c＜﹣3a
D．当ax2＋bx＋c＋2＝0有实数解时，则a≥0.5
12．某数学兴趣小组在研究二次函数的图像时，得出如下四个命题：
甲：图像与x轴的一个交点为；
乙：图像与x轴的一个交点为；
丙：图像的对称轴为过点，且平行于y轴的直线；
丁：图像与x轴的交点在原点两侧．
若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
二、填空题
13．二次函数的图象与轴的交点如图所示，根据图中信息可得______．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足右面表格中的数量关系：
x
2
4
5
y
0.2
0.2
2
由表可知，该二次函数的对称轴是_______．
15．已知关于x的二次函数y=mx2-2x+1，当时，y的值随x的增大而减小，则m的取值范围为________．
16．已知二次函数，当时，函数的最大值是______．
17．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc___0（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
三、解答题
18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为(1，
1)，且当x＝3时，y＝3，求该二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．
19．已知二次函数y＝2x2﹣x+1，当﹣1≤x≤1时，求函数y的最小值和最大值．彤彤的解答如下：
解：当x＝﹣1时，则y＝2×（﹣1）2﹣（﹣1）+1＝4；
当x＝1时，则y＝2×12﹣1+1＝2；
所以函数y的最小值为2，最大值为4．
彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
20．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
21．已知，二次函数y＝ax2＋2ax＋1(a≠0)
（1）当a为何值时，该函数图象的顶点在x轴上，并写出顶点的坐标；
（2）已知点()，(1，0)，(2，－3)，该函数图象过其中的两点，求此函数的解析式；
（3）已知a＞0，若点A（b，m)，B(b＋3，n)是该函数图象上的两点，且m＞n，求b的取值范围．
参考答案
1．C
解：∵二次函数，a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∵
∴与轴有两个交点，
把x＝0代入得y＝3，
∴图象经过点（0，3），
故A、B、D结论正确，结论C不正确，
故选：C．
2．A
解：
∴
故选择：A．
3．B
解：①∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b＋c＞0，所以①结论正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②结论错误；
③∵b＝﹣2a，
∴3a＋b＝3a﹣2a＝a＜0，所以③结论错误；
④∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴＝n，
∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以④结论正确；
故选：B．
4．C
解：在抛物线中，
∵，
∴开口向下，
∵，
∴，即对称轴在轴右侧，
∵，
∴函数交于原点，
∴画简图如图，
∴它的图象经过第一、三、四象限．
故选C．
5．C
解：∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故选项A错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝3，
∴﹣＝3，
∴6a+b＝0，故选项B错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝3，与x轴的一个交点坐标为（0，0），
∴与x轴的一个交点坐标为（6，0），故选项C正确；
当x＜3时，y随x增大而减小，故选项D错误；
故选：C．
6．B
解：∵二次函数y＝x2?2x＋1＝（x-1）2
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x＝1．
∵点，，都在二次函数y＝x2?2x+1的图象上，
而三点横坐标离对称轴x＝1的距离按由远到近为：
∴y3＜y2＜y1．
故选B．
7．A
解：∵抛物线过点A(2，6)，
∴，即：c=2-2b，
∵抛物线的对称轴为直线：与线段有交点，
∴，即：，
∴，
∴6≤c=2-2b≤14，
∴5不可能取到，
故选A．
8．D
解：∵二次函数的解析式为，
∴，
∴二次函数有最大值，
∵，
∴当x=1时，二次函数有最大值5，
故选D．
9．D
解：∵二次函数（为常数），
∴抛物线的对称轴为直线x==m，
当m＜-1时，-1＜x＜2表示的数在对称轴的右侧，
∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，函数y取得最小值，即1+2m=-2，解得m=；
当-1＜m＜2时，
∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,函数有最小值，
∴当x=m时，y取得最小值，即=-2，
解得m=
或m=-（不在范围内，舍去）；
当m＞2时，
∵二次函数（为常数）中，a=1＞0,
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴当x=2时，函数y取得最小值，即4-4m=-2，解得m=，（不在范围内，舍去）
综上所述，m的值为或，
故选D．
10．D
解：∵抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是，
∴，
解得，
经检验均符合
∴该抛物线的解析式为.
故选D.
11．D
解：∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1、3，
∴对称轴，
∴b＝﹣2a，
∴2a﹣b＝2a+2a＝4a≠0，故A错误；
由图象可知：x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故B错误；
∵x＝﹣1，y＝0，
∴y＝a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴c+3a＝﹣3a+3a＝0，
即c＝﹣3a，故C错误；
当x＝1时，y＝a+b+c，
若ax2+bx+c+2＝0有实数解时，
∴此时y＝a+b+c≤﹣2，
即a﹣2a﹣3a≤﹣2
∴a≥0.5，故D正确；
故选D．
12．B
解：对于y=x2+ax+b，二次项系数为1＞0，
∴抛物线开口向上，
当图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线，图象与x轴的一个交点为（3，0）时，
图象与x轴的一个交点为（-1，0），图象与x轴的交点在原点两侧，
∴乙是假命题，
故选B．
13．3
解：∵抛物线过点（1，0），
∴1﹣b+2＝0，
∴b＝3．
故答案为：3．
14．直线x＝3
解：由表中数据知，x＝2和x＝4时对应函数值都是0.2，
∴（2，0.2）与（4，0.2）是关于对称轴对称的两个点，
∴对称轴直线为x＝＝3，
故答案为：直线x＝3．
15．0＜m≤5
解：由当x＜时，y的值随x的增大而减小可知，抛物线开口向上，m＞0，
且对称轴，
解得m≤5，
故答案为：0＜m≤5．
16．
解：∵
∴二次函数的对称轴为
，
∵
，
∴该函数图象开口向下，
∵，
∴此时图象位于对称轴的右边，
∴此时
随
的增大而减小，
∴当
时，函数有最大值，则最大值为
，
故答案为：
．
17．＞
解：抛物线开口向上，
∴a＞0，
对称轴直线在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＜0，
而抛物线与y轴交点在负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故答案为：＞．
18．
，图形见解析
解：根据题意可设二次函数解析式为
，
∵当x＝﹣3时，y＝3，
∴
，
解得：
，
∴该二次函数的解析式为：
，
列表得：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
1
3
…
画出图形：
．
19．不正确，二次函数的最大值为4，最小值为1
解：彤彤的解答不正确，
∵
∴二次函数的的对称轴，
∵，且2＞0，
∴当时，二次函数有最小值，
二次函数在时，y随x增大而减小，二次函数在时，y随x增大而增大，
∵，
∴当时，二次函数有最大值，
∴二次函数的最大值为4，最小值为1．
20．（1）
；（2）S关于m的函数关系式为
，
S的最大值为4．
解：解（1）将A（﹣4，0），C（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4，得：
，解得：
，
∴抛物线解析式为：
；
（2）如图，过点M作MN⊥AC于点N，
∵抛物线与y轴交于点B，
当
时，
，
∴
，即OB=4，
∵点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，
∴，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴当
时，S有最大值，最大值为
，
∴S关于m的函数关系式为
，
S的最大值为4．
21．（1）a＝1时，顶点坐标为（-1，0）；（2）；（3）
解：（1）∵函数顶点在x轴上
∴
即
解得：（舍去）
当
时，
∴a＝1时，顶点在x轴上，坐标为（-1，0）
（2）∵
∴对称轴为：
∵如果函数过点（1，0），其对称点为（-3，0），与()冲突
∴函数图象必过（2，-3）
∴
解得：
∴函数的解析式为：
（3）当a＞0时，二次函数开口向上，距离对称轴越远的点，纵坐标值越大
∵m＞n，对称轴为：
∴
，即
①当
时，
成立
②当
时，
解得：
③当
时，
不成立
∴b的取值范围为：
．