3.3 幂函数 测试题 2021-2022学年高一上学期 人教A版（2019）必修第一册（word版 含答案解析）

3.3
幂函数测试题人教A（2019）必修第一册第三章
函数的概念与性质
一．选择题（共8小题）
1．已知幂函数，则下列结论正确的是　　
A．的定义域为，
B．在定义域上为减函数
C．是偶函数
D．是奇函数
2．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是　　
A．
B．
C．
D．
3．若幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为　　
A．
B．
C．
D．
4．已知幂函数的图象经过点，则等于　　
A．
B．
C．2
D．3
5．若为幂函数，且在上单调递减，则的解析式可以是　　
A．
B．
C．
D．
6．若函数为幂函数，且在单调递减，则实数的值为　　
A．0
B．1或2
C．1
D．2
7．已知幂函数的图象经过点，则函数的最小值等于　　
A．
B．
C．1
D．
8．点在幂函数的图象上，则函数的值域为　　
A．，
B．，
C．，
D．，
二．多选题（共4小题）
9．若幂函数在上单调递增，则　　
A．
B．
C．
D．
10．下列结论中错误的是　　
A．函数是幂函数
B．函数既是偶函数又是奇函数
C．函数的单调递减区间是，，
D．所有定义在闭区间上连续的单调函数都有最值
11．已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有　　
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则
12．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，，且（a）（b）的值为负值，则下列结论可能成立的有　　
A．，
B．，
C．，
D．，
三．填空题（共4小题）
13．已知幂函数的图象过点，则的定义域为
　　．
14．若函数是幂函数，且其图像过点，则的单调递增区间为
　　．
15．已知幂函数过定点，且满足，则的范围为
　　．
16．如果，则的取值范围是　　．
四．解答题（共6小题）
17．设为实数，，已知幂函数在区间上是严格增函数，试求满足的的取值范围．
18．已知幂函数的图象经过点．
（1）求的解析式．
（2）证明：函数在区间上单调递减．
19．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若正数，满足，求的最小值．
20．已知幂函数在区间上单调递增．
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明函数在区间上单调递减．
21．已知幂函数，且（2）（3）．
（1）求实数的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数，使函数，在区间，上的最大值为5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．已知函数为幂函数，且为奇函数，设函数．
（1）求实数的值及函数的零点；
（2）是否存在自然数，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知幂函数，则下列结论正确的是　　
A．的定义域为，
B．在定义域上为减函数
C．是偶函数
D．是奇函数
解：幂函数，
对于，的定义域为，故错误；
对于，在定义域上为减函数，故正确；
对于，是非奇非偶函数，故错误；
对于，是非奇非偶函数，故错误．
故选：．
2．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是　　
A．
B．
C．
D．
解：根据幂函数的图像以及性质得：
①是，②是，③是，④是，
故选：．
3．若幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为　　
A．
B．
C．
D．
解：设幂函数为，
幂函数的图象经过点，
，
解得，
该函数的解析式为．
故选：．
4．已知幂函数的图象经过点，则等于　　
A．
B．
C．2
D．3
解：幂函数的图象经过点，
，解得，，
则．
故选：．
5．若为幂函数，且在上单调递减，则的解析式可以是　　
A．
B．
C．
D．
解：由幂函数的图像都过，故，错误；
又在上单调递减，故错误，正确；
故选：．
6．若函数为幂函数，且在单调递减，则实数的值为　　
A．0
B．1或2
C．1
D．2
解：函数为幂函数，且在单调递减，
，
解得．
故选：．
7．已知幂函数的图象经过点，则函数的最小值等于　　
A．
B．
C．1
D．
解：幂函数的图象经过点，
，，
，，
函数，
当时，的值最小，最小值为，
故选：．
8．点在幂函数的图象上，则函数的值域为　　
A．，
B．，
C．，
D．，
解：点在幂函数的图象上，
，
解得，，
函数，
，，
或时，函数取最小值1，
当时，函数取最大值，
函数的值域为，．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．若幂函数在上单调递增，则　　
A．
B．
C．
D．
解：幂函数在上单调递增，
，求得，或．
当时，，满足在上单调递增；
当时，，不满足在上单调递增，
故，，，
故选：．
10．下列结论中错误的是　　
A．函数是幂函数
B．函数既是偶函数又是奇函数
C．函数的单调递减区间是，，
D．所有定义在闭区间上连续的单调函数都有最值
解：由于函数是指数函数，故错误；
由于函数，它既是偶函数又是奇函数，故正确；
由于函数的单调递减区间是和，故错误；
由于所有定义在闭区间上连续的单调函数都有最值，故正确，
故选：．
11．已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有　　
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则
解：设幂函数，为实数，
其图像经过点，所以，
解得，
所以，定义域为，，为非奇非偶函数，错误；
且在，上为增函数，正确；
且时，（9），选项正确；
因为函数是凸函数，所以对定义域内任意的，
都有成立，选项错误．
故选：．
12．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，，且（a）（b）的值为负值，则下列结论可能成立的有　　
A．，
B．，
C．，
D．，
解：函数是幂函数，，求得
或．
对任意，，且，满足，故在上是增函数，
，，．
若，，且（a）（b）
的值为负值．
若成立，则（a）（b），不满足题意；
若成立，则（a）（b），满足题意；
若成立，则（a）（b），满足题意；
若成立，则（a）（b），不满足题意，
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．已知幂函数的图象过点，则的定义域为
　　．
解：设幂函数，由于它的的图象过点，
，，．
故，，，
故函数的的定义域为，
故答案为：．
14．若函数是幂函数，且其图像过点，则的单调递增区间为
　　．
解：函数是幂函数，且其图象过点，
，且，求得，，可得，
则函数，
而的对称轴是，令，解得：或，
故函数在递增，
故答案为：．
15．已知幂函数过定点，且满足，则的范围为
　　．
解：设幂函数，，
由图象过点，则，解得；
所以，且是上的单调增函数且为奇函数；
所以不等式（2）等价于；
解得：或，
所以的取值范围是，，，
故答案为：，，．
16．如果，则的取值范围是　　．
解：，
，
解得．
故的取值范围为：．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
17．设为实数，，已知幂函数在区间上是严格增函数，试求满足的的取值范围．
解：设为实数，，
幂函数在区间上是严格增函数，
，解得．
，
，，
当时，；当时，成立，
满足的的取值范围是，，．
18．已知幂函数的图象经过点．
（1）求的解析式．
（2）证明：函数在区间上单调递减．
解：（1）设幂函数，
幂函数的图象经过点．
，解得，
的解析式为．
（2）证明：函数，
在上任取，
，
，，，
，函数在区间上单调递减．
19．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若正数，满足，求的最小值．
解：（1）幂函数是偶函数，且在上单调递增．
，解得，，
．
（2），
，，
，
当且仅当，即，时，取“”，
的最小值为2．
20．已知幂函数在区间上单调递增．
（1）求的解析式；
（2）用定义法证明函数在区间上单调递减．
（1）解：由题可知：，解得或．
若，则在区间上单调递增，符合条件；
若，则在区间上单调递减，不符合条件．
故．
（2）证明：由（1）可知，．
任取，，令，
则．
因为，所以，，，
所以，即，故在区间上单调递减．
21．已知幂函数，且（2）（3）．
（1）求实数的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数，使函数，在区间，上的最大值为5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）（2）（3），
幂函数在上单调递增，
，，，
，．
（2），
开口方向向下，对称轴，
当时，在区间，上递增，在区间，上递减．
，，均不符合题意舍去，
当时，在区间，上递增，（1），
，符合题意，
综上，．
22．已知函数为幂函数，且为奇函数，设函数．
（1）求实数的值及函数的零点；
（2）是否存在自然数，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）令，解得或．（1分）
当时，，它不是奇函数，不符合题意；
当时，，它是奇函数，符合题意．
所以．
（3分）
此时．
令，即，解得．
所以函数的零点是．（5分）
（2）设函数，．因为它们都是增函数，所以是增函数．（7分）
又因为（9），．
（9分）
由函数的单调性，可知不存在自然数，使成立．（10分）