第二单元 一元二次函数、方程和不等式检测题（基础题）【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册（word版 含答案）

第二单元
一元二次函数、方程和不等式检测题（基础题）
一、单选题
1．不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．或
2．若，则下列不等式中不一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知，，若，则的最小值为（
）
A．4
B．
C．2
D．
4．已知三角形的任意两边之和大于第三边，设△ABC的三边长为a，b，c，将上述文字语言用不等式(组)可表示为（
）
A．a＋b>c
B．
C．
D．
5．设实数、满足，，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5
cm，人跑开的速度为每秒4
m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100
m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知，.若，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．若，是正常数，，，，则当且仅当时取等号．利用以上结论函数，取得最小值时的值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（
）
A．的最小值是
B．的最小值是
C．的最小值是
D．的最小值是
10．下列说法中正确的是（
）
A．若a>b，则
B．若-2C．若a>b>0，m>0，则
D．若a>b，c>d，则ac>bd
11．某公司一年购买某种货物吨，现分次购买，设每次购买吨，运费为万元/次.已知一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则下列说法正确的是（
）
A．当时，取得最小值
B．当时，取得最小值
C．
D．
12．下列结论中正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
13．已知0＜a＜1，则a，，a2的大小关系是________．
14．函数的最小值为___________.
15．函数过原点的一个充分条件是____
16．若正数满足，则的最大值是________．
四、解答题
17．解下列不等式：
（1）
（2）
18．若二次函数满足f（x＋1）－f（x）＝2x且f（0）＝1.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在-1≤x≤1上不等式f（x）>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围.
19．（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．
20．已知命题实数满足不等式，命题实数满足不等式.
（1）当时，命题，均为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
21．已知，.
求（1）的取值范围；
（2）的取值范围.
22．某单位每年需向自来水公司缴纳水费约4万元，为节约用水，决定安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式.假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为（，k为常数），x为安装这种净水设备的占地面积（单位：平方米）记为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后第一年向自来水公司缴水费之和.
（1）解释的实际意义；
（2）求y的最小值.
参考答案
1．D
【分析】
解二次不等式即可得解.
【详解】
解不等式可得或，故原不等式的解集为或.
故选：D.
2．B
【分析】
结合已知条件，根据不等式的性质对选项A、B、C、D逐一分析即可求解.
【详解】
解：对选项A：因为，所有由倒数法则有，故选项A正确；
对选项B：取，满足，但，故选项B不正确；
对选项C：因为，所以，由不等式的性质有成立，故选项C正确；
对选项D：因为，所以，即，故选项D正确；
故选：B.
3．A
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
则，即最小值为4.
故选：A.
4．D
【分析】
任意两边之和，任一边都作为第三边，因此出现三个不等式．
【详解】
由任意两边之和大于边，可任选一边为第三边，其余两边之和大于此边，有三个不等式，
故选：D．
5．B
【分析】
利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】
由已知得，，，故，
故选：B.
6．C
【分析】
为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间.
【详解】
导火索燃烧的时间秒，人在此时间内跑的路程为m．
由题意可得．
故选：C.
7．C
【分析】
由展开利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为，
故选：C.
8．A
【分析】
根据所给结论，直接套用即可得解.
【详解】
，
当且仅当时，即时等号成立，
故选：A
9．AB
【分析】
利用基本不等式直接判断A,利用根式判断B,利用等号不成立判断C,利用特值判断D
【详解】
当时，（当且仅当，即时取等号），A正确；
，因为，所以，B正确；
，当且仅当，即时，等号成立，显然不成立，故C错误；
当时，，D错误.
故选:AB.
10．AC
【分析】
利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.
【详解】
对于A，因c2+1>0，于是有>0，而a>b，由不等式性质得，A正确；
对于B，因为1对于C，因为a>b>0，所以，又因为m>0，所以，C正确；
对于D，且，而，即ac>bd不一定成立，D错误.
故选：AC
11．AC
【分析】
根据题意列出总存储费用之和的表达式，再利用基本不等式求最值即可判断选项
【详解】
一年购买某种货物吨，每次购买吨，则需要购买次，又运费是万元/次，一年的总存储费用为万元，
所以一年的总运费与总存储费用之和万元.
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最小值，.
故选：AC.
12．CD
【分析】
由可判断A；由基本不等式可判断B、C、D.
【详解】
当时，，故A错误；
当时，，则，故B错误；
当，时，，，相加可得，故C正确；
当，时，，故D正确.
故选：CD.
13．a2＜a＜
【分析】
利用不等式的性质即可求解.
【详解】
因为a－＝＜0，
所以a＜.
又因为a－a2＝a(1－a)＞0，
所以a＞a2，所以a2＜a＜.
故答案为：a2＜a＜
14．
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】
因为，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以函数的最小值为，
故答案为：.
15．c=0
【分析】
根据充分条件的定义确定参数的值即可.
【详解】
根据题意函数过原点即，时，
由函数解析式可知，时，，所以当时函数过原点
所以函数过原点的一个充分条件为：
故答案为：.
16．2
【分析】
利用基本不等式进行转化即可得解.
【详解】
由，得
，
当且仅当时等号成立，
∴
，即，
∴
的最大值为．
故答案为：2
17．（1）或；（2）
【分析】
（1）根据二次项系数为正，大于零取两边，小于零取中间的原则即可解不等式；
（2）变二次项系数为正，再根据根据二次项系数为正，大于零取两边，小于零取中间的原则即可解不等式.
【详解】
解：（1）由，
则不等式的解为：或，
所以不等式的解集为或；
（2）由，则，
所以，
所以不等式的解集为.
18．（1）f（x）＝x2－x＋1；（2）m<－1.
【分析】
（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则由f（0）＝1可求出，由f（x＋1）－f（x）＝2x可求出，从而可求出函数的解析式，
（2）将问题转化为x2－3x＋1－m>0在-1≤x≤1上恒成立，构造函数g（x）＝x2－3x＋1－m，然后利用二次函数的性质求出其最小值，使其最小值大于零即可求出实数m的取值范围
【详解】
（1）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝1，
∴c＝1，∴f（x）＝ax2＋bx＋1.
∵f（x＋1）－f（x）＝2x，
∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，
∴f（x）＝x2－x＋1.
（2）由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立.
令g（x）＝x2－3x＋1－m＝2－－m，其对称轴为x＝，
∴g（x）在区间[－1，1]上是减函数，
∴g（x）min＝g（1）＝1－3＋1－m>0，
∴m<－1.
19．（1）7；（2）.
【分析】
（1）由题设知，利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件；
（2）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件.
【详解】
（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为.
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）分别求出命题，均为真命题时的取值范围，再求交集即可.
（2）利用集合间的关系求解即可.
【详解】
实数满足不等式，即
命题实数满足不等式，即
（1）当时，命题，均为真命题，则且
则实数的取值范围为2（2）若是的充分不必要条件，则是的真子集
则且
解得
故的取值范围为.
【点睛】
判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
21．（1）；（2）.
【分析】
利用不等式的基本性质求解.
【详解】
解：（1）因为，所以，
所以，即.
（2）因为，，
所以，，
所以.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质及应用，属于简单题.
22．（1）表示不安装设备时，每年缴交水费为4万元；（2）的最小值为3万元.
【分析】
（1）根据题意，即可知道实际意义
（2）建立关于的函数，求最值即可.
【详解】
解（1）表示不安装设备时，每年缴交水费为4万元.
（2）由
∴
∵
∴
∴（万元）
当且仅当即时取“=”
答：的最小值为3万元.
试卷第1页，总3页
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