第五章函数应用知识点与基础巩固检测题【新教材】2021-2022学年北师大版（2019）高一数学必修第一册（word版 含答案解析）

第五章函数应用知识点与基础巩固检测题
知识点一
1．函数零点概念
对函数，把使的实数叫做函数的零点．
2.零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根.
3.零点存在唯一性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，且在上单调，那么，函数在区间内有唯一的零点.即存在唯一的，使得，这个c也就是方程的根.
函数零点、方程的根与函数图像的关系(牢记)
函数有零点
方程
有实数根
函数图像有交点.
求函数零点的方法：①直接解方程；②利用图象求其与轴的交点（交点的横坐标即是零点）；③将方程变为两个函数，通过图象看它们的交点情况（同时可以知道零点的个数）；④可通过二分法求函数的零点的近似值。
知识点二几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0，且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0，且a≠1)
幂函数型函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
知识点三
三种增长型函数之间增长速度的比较
1.指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)：
在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞xn.
2．对数函数y＝logax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)：
对数函数y＝logax(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何，总会慢于y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，当x＞x0时，有logax＜xn
由1、2可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞xn＞logax.
注意：《名师一号》P36
问题探究
问题1、2
问题1　解决实际应用问题的一般步骤是什么？
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，
初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转
化为符号语言，利用数学知识，
建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
问题2　在解决实际应用问题时应注意哪些易错的问题？
(1)函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型．
(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
(3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．
一、单选题
1．设用二分法求方程在区间上近似解的过程中，计算得到，则方程的根落在区间（
）
A．
B．
C．
D．
2．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：为时间，单位为分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度)，假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过多少分钟水温降为？（
）(参考数据：，)
A．5
B．6
C．7
D．8
3．某地区植被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷?0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是（
）
A．y=0.2x
B．
C．y=x2+2x
D．
4．函数零点所在的整区间是（
）
A．
B．
C．
D．
5．王叔叔从家门口步行20分钟到离家900米的书店，停留10分钟后，用15分钟返回家里，图中能表示王叔叔离家的时间与距离之间的关系的图像是（
）
A．
B．
C．
D．
6．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位：）满足等式，其中为常数.现有62℃的物体放到22℃的空气中冷却2分钟后，物体的温度为42℃，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到（
）
A．22
B．24.5
C．25
D．27
7．已知函数的部分函数值如下表所示：
x
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6321
0.2776
0.0897
那么函数的一个零点近似值（精确度为0.1）为（
）
A．0.45
B．0.57
C．0.78
D．0.89
8．从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了20%.如果这五年平均每年降低的百分率为x，那么x满足的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
9．函数的零点是（
）
A．
B．
C．
D．
10．下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．三个变量，，随着变量的变化情况如下表：
1
3
5
7
9
11
5
135
625
1715
3645
6655
5
29
245
2189
19685
177149
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于分别呈对数函数?指数函数?幂函数变化的变量依次为（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
12．已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他8台未感染病毒的计算机.现有5台计算机被第1轮病毒感染，那么被第4轮病毒感染的计算机有_________台.
14．函数的零点在区间，则________．
15．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________(填序号)．
①(－∞，1]；②[1，2]；③[2，3]；④[3，4]；⑤[4，5]；⑥[5，6]；⑦[6，＋∞).
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
16．若函数有4个零点，则实数a的取值范围为___________.
三、解答题
17．已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率（不考虑其他因素）．
（1）若经过年该城市人口总数为万，试写出关于的函数关系式；
（2）如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年（精确到1年）？
18．某人向天上掷一小石子，设秒后离地面的高度为米．
（1）几秒后，小石子离地面的高度为米？
（2）几秒后，小石子落到地面？
19．某城市出租车，乘客上车后，行驶3km内（包括3km）收费都是10元，之后每行驶收费2元，超过15km，每行驶1km收费为3元．
（1）写出付费总数与行驶路程收费之间的函数关系式；
（2）乘客甲需要乘坐出租车与在15km处等候的乘客乙共同到达20km处的目的地，当出租车行驶了15km后，乘客甲和乙有两种选择：两人一起换乘一辆出租车或者继续乘坐这辆出租车行驶完余下的5km路程，请给出你对甲和乙的选择建议，并说明理由．
20．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.
（1）求及的值；
（2）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围.
21．已知函数且点在函数的图象上．
（1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；
（2）求不等式的解集；
（3）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
22．已知函数．
（1）若，求函数f（x）的零点；
（2）针对实数a的不同取值，讨论函数f（x）的奇偶性．
参考答案
1．B
【分析】
利用零点存在性定理求解.
【详解】
函数在单调递增，又因为，
所以由零点存在性定理知，在区间上有零点，
即在区间上的根落在区间上.
故选：B.
2．A
【分析】
根据给定的温度冷却模型，代入即可求解.
【详解】
由温度冷却模型函数，可得分钟.
故选：A.
3．B
【分析】
将三点代入函数模型，分析取值与实际数据的差值，得出近似的函数模型.
【详解】
由题意得图像上三点：，
对于A选项：y=0.2x，将三点代入y=0.2x，
当时，函数值与0.76相差较大；
对于B选项：，将三点代入，
当时，函数值与0.76相差仅有0.04；
对于C选项：y=x2+2x，将三点代入y=x2+2x，
当时，函数值都与实际数值相差较大；
对于D选项：，将三点代入，
当时，函数值都与0.76相差较大；
综上：沙漠增加值y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是.
故选：B.
4．C
【分析】
直接利用零点存在性定理求解即可.
【详解】
因为函数为单调递增函数，
且，
所以零点所在的区间是，
故选：C．
5．D
【分析】
按照王叔叔的行程时间段可知函数图象分三段.
【详解】
由题意0-20分钟，步行到离家900米的书店，离家路程增加到900米，
20-30分钟停留，离家路程不变，
30-45分钟返回家，离家路程减少为0米。
故选：D.
6．D
【分析】
根据已知条件求得，进而求得正确结论.
【详解】
依题意，，
故再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到
故选：D
7．B
【分析】
由表格数据结合零点存在性定理得出零点的近似值.
【详解】
根据给的数据知道方程的根在区间内，所以近似解为0.57
故选：B
8．D
【分析】
根据题设逐年列出生产总值能耗后可得正确的选择.
【详解】
设2015年该企业单位生产总值能耗为，则2016年该企业单位生产总值能耗，
2017年该企业单位生产总值能耗，2018年该企业单位生产总值能耗，
2019年该企业单位生产总值能耗，2020年该企业单位生产总值能耗，
由题设可得即，
故选：D.
9．B
【分析】
分别令解方程即可.
【详解】
由题意可得：解得：；
，解得：.
综上：.
故选：B
【点睛】
求函数零点类问题分为两大类：
(1)零点直接解出来：方程可解；
(2)二分法估计：方程不可解，用零点存在定理判断零点存在范围，用二分法求近似值.
10．A
【分析】
根据二分法求零点的条件，直接判断即可.
【详解】
根据题意，利用二分法求函数零点的条件是：
函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过x轴，
据此分析选项：A选项中函数不能用二分法求零点，
故选：A.
11．B
【分析】
根据表格中的数据，得出三个变量都是越来越大，但是增长速度不同，结合指数函数、对数函数的增长趋势，即可求解.
【详解】
从题设中表格中的数据可以看出，三个变量都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，呈指数函数变化，变量的增长速度变慢，呈对数型函数的变化.
故选：B.
12．A
【分析】
画出的图象，根据图象将表示为只含的形式，结合函数的单调性求得的取值范围.
【详解】
.
先作图象，由图象可得
因此为，
，
从而.
故选：A
13．2560
【分析】
根据给定条件列出被第4轮病毒感染的计算机台数的表达式，再经计算即得解.
【详解】
依题意，相邻两轮被病毒感染的计算机台数，后一轮是前一轮的8倍，
所以被第4轮病毒感染的计算机台数为.
故答案为：2560
14．0
【分析】
函数是递增函数，找出x取某两个相邻整数值时的函数值一正一负即可得解.
【详解】
因函数与在R上都是单调递增的，
于是得函数在R上单调递增，而，
则在区间内存在唯一零点，而函数的零点在区间，
所以0.
故答案为：0
15．③④⑤
【分析】
根据零点存在定理判断即可.
【详解】
由表知f(2)·f(3)<0，
f(3)·f(4)<0，
f(4)·f(5)<0，所以存在零点的区间为③④⑤.
故答案为：③④⑤.
【点睛】
本题主要考查函数的零点存在定理，属于简单题.
16．
【分析】
将函数转化为方程，作出的图像，结合图像分析即可.
【详解】
令得，
作出的函数图像，如图，
因为有4个零点，
所以直线与的图像有4个交点，
所以.
故答案为：
17．（1）；（2）5年．
【分析】
（1）利用指数型函数增长模型得出函数关系式；
（2）令，计算即可.
【详解】
（1）；
（2）令，即在R上单调递增
，所以．
故至少要经过5年该城市人口总数达到210万．
18．（1）秒或秒；（2）秒.
【分析】
记秒后小石子离地面的高度为，则；
（1）令，得到对应方程求解，即可得出结果；
（2）令，得到对应方程求解，即可得出结果.
【详解】
记秒后小石子离地面的高度为，则；
（1）令，则，解得或，
则秒或秒后，小石子离地面的高度为米；
（2）令，则，解得（舍）或，
则秒后，小石子落到地面.
【点睛】
本题主要考查二次函数模型的应用，属于基础题型.
19．（1）；（2）两人一起换乘一辆出租车更划算．理由见解析.
【分析】
（1）由题可知，分三段、和，写出与的函数关系即可；
（2）根据（1）中的函数关系，分别求出两人一起换乘一辆出租车和两人继续乘坐这辆出租车的付费总数，比较大小后，选择较小者即可．
【详解】
解：（1）当时，；
当时，；
当时，
综上所述，
（2）若两人一起换乘一辆出租车，则元，
若两人继续乘这辆出租车，则，
故两人一起换乘一辆出租车更划算．
【点睛】
此题考查函数的实际应用，考查逻辑推理能力和计算能力，属于基础题
20．（1），；（2）
【分析】
（1）根据函数的解析式，以及函数的对称性，即可求解；
（2）由已知只需时，有两个解的即可.
【详解】
（1）是定义在上的偶函数，
且当时，，
；
（2）函数是定义在上的偶函数，
关于的方程有四个不同的实数解，
只需时，有两个解，
当时，，
所以
【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用，以及由方程根的个数求参数，熟练掌握二次函数图像与性质是解题的关键，属于基础题.
21．（1），图像见解析（2）（3）
【分析】
（1）将点代入中,即可求解的值,进而求得函数的解析式,画出函数f（x）的图象.
（2）分为两种情况分别求解不等式,再取并集即可得不等式的解集.
（3）欲求满足方程有两个不相等的实数根的取值范围,可使函数与有两个不同的交点,画出二者的图象即可判断出实数的取值范围.
【详解】
解：（1）由的图象经过点,
可得,即,解得,
则,
函数的图象如下图：
（2）即为或,
即或,
则解集为；
（3）有两个不相等的实数根,
即有的图象和直线有两个交点,
由图象可得,即,
可得的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查函数的概念与图象、对数与对数函数、函数与方程以及一次函数和二次函数.
22．（1）；（2）当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．
【分析】
（1）根据解析式，求得定义域，当时，令，解得∈[﹣1，1]，所以零点为.
（2）若f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0，代入求得a不存在，若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1），解得a=0，经检验符合题意，即可得答案.
【详解】
（1）根据题意，函数，则有1﹣x2≥0，解可得﹣1≤x≤1，
即函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，
由，得，
化简得，即，则∈[﹣1，1]，
所以，函数f（x）的零点为；
（2）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，若函数f（x）为奇函数，则必有f（﹣1）+f（1）＝0；
代入得|a+1|+|a﹣1|＝0于是无解，所以函数f（x）不能为奇函数，
若函数f（x）为偶函数，由f（﹣1）＝f（1）得|﹣1+a|＝|1+a|解得a＝0；
又当a＝0时，，
则；
对任意x∈[﹣1，1]都成立，
综上，当a＝0时，函数f（x）为偶函数，当a≠0时，函数f（x）为非奇非偶函数．
试卷第1页，总3页
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