第五章函数应用知识点与综合提升检测题【新教材】2021-2022学年北师大版（2019）高一数学必修第一册（word版 含答案解析）

第五章函数应用知识点与综合提升检测题
知识点一
1．函数零点概念
对函数，把使的实数叫做函数的零点．
2.零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点.即存在，使得，这个c也就是方程的根.
3.零点存在唯一性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断一条曲线，并且有，且在上单调，那么，函数在区间内有唯一的零点.即存在唯一的，使得，这个c也就是方程的根.
函数零点、方程的根与函数图像的关系(牢记)
函数有零点
方程
有实数根
函数图像有交点.
求函数零点的方法：①直接解方程；②利用图象求其与轴的交点（交点的横坐标即是零点）；③将方程变为两个函数，通过图象看它们的交点情况（同时可以知道零点的个数）；④可通过二分法求函数的零点的近似值。
知识点二几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0，且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0，且a≠1)
幂函数型函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
知识点三
三种增长型函数之间增长速度的比较
1.指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)：
在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞xn.
2．对数函数y＝logax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)：
对数函数y＝logax(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何，总会慢于y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，当x＞x0时，有logax＜xn
由1、2可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞xn＞logax.
注意：《名师一号》P36
问题探究
问题1、2
问题1　解决实际应用问题的一般步骤是什么？
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，
初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转
化为符号语言，利用数学知识，
建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
问题2　在解决实际应用问题时应注意哪些易错的问题？
(1)函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型．
(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
(3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．
一、单选题
1．函数零点是（
）
A．和
B．和
C．和
D．和
2．下列函数图象均与轴有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的函数有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
3．为了求函数的一个零点，某同学利用计算器得到自变量和函数的部分对应值，如表所示：
1.25
1.3125
1.375
1.4375
1.5
1.5625
－0.8716
－0.5788
－0.2813
0.2101
0.32843
0.64115
则方程的近似解（精确到0.1）可取为（
）
A．1.2
B．1.3
C．1.4
D．1.5
4．把函数的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到函数的图像，则函数的零点是（
）
A．3
B．5
C．
D．
5．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2019年全年投入科研经费1
300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2
000万元的年份是(参考数据:lg
1.12≈0.05，lg
1.3≈0.11，lg
2≈0.30)（
）
A．2022年
B．2023年
C．2024年
D．2025年
6．某市家庭煤气的使用量和煤气费（元）满足关系已知某家庭今年前四个月的煤气费如下表：
月份
一月份
二月份
三月份
四月份
用气量
4
5
25
35
煤气费/元
4
4
14
19
若五月份该家庭使用了的煤气，则其煤气费为（
）
A．12.5元
B．12元
C．11.5元
D．11元
7．已知，若存在三个不同实数、、使得，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．对于下表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是（
）
1
2
3
3
5.99
12.01
A．
B．
C．
D．
9．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述所用的时间．若用表示学生掌握和接受概念的能力（越大，表示学生的接受能力越强），表示提出和讲授概念的时间（单位：），长期的实验和分析表明，与有以下关系：则下列说法错误的是（
）
A．讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散
B．讲课开始后第5分钟比讲课开始第20分钟，学生的接受能力更强一点
C．讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强
D．需要13分钟讲解的复杂问题，老师可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成
10．若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
11．对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，称为“局部奇函数”.若为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知是定义在上的奇函数，满足，下列说法：
①的图象关于对称；
②的图象关于对称；
③在内至少有个零点；
④若在上单调递增，则它在上也是单调递增．
其中正确的是（
）
A．①④
B．②③
C．②③④
D．①③④
二、填空题
13．用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点x0∈(0，1)，那么经过下一次计算可得x0∈___________(填区间).
14．已知函数，，，若与的图象上恰存在两个关于直线对称的点，则实数的取值范围是______．
15．若函数有且只有2个零点，则a的取值范围是___________.
16．迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为___________．（本题中取进行计算）
三、解答题
17．某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图象如图所示．则：
（1）月通话为分钟时，应交话费多少元；
（2）求与之间的函数关系式．
18．设函数.
（1）证明：在区间（-1,0）内有一个零点；
（2）借助计算器，求出在区间（-1,0）内零点的近似解.（精确到0.1）
19．张先生为提高家庭经济收入进行投资.他现有100万元资金可用于投资，有两种投资方式，一种是投资某科技公司，另一种是投资生态环保企业.已知投资科技公司的收益与投入的资金数(，单位：万元)的关系式为，而投资生态环保企业，其收益与投入的资金数(，单位：万元)的算术平方根成正比，且各投资一万元时，投资科技公司和生态环保企业的收益分别为万元和万元.
（1）分别写出收益，与投资金额的函数关系式；
（2）张先生如何安排这100万元资金，才能使得总收益最大，最大收益是多少？
20．已知函数
（1）已知，请求出函数的零点；
（2）判断并证明函数在区间上的单调性．
21．已知函数．
（1）不等式在时恒成立，求实数的取值范围；
（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．
22．2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口．目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线．某校数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为
①（其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率，表示年后的人口数，单位：万人）．根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为时的人口数，求得①式人口增长模型．经检验，1950~1959年的实际人口数与此模型基本吻合，如图．
（1）若你是该小组成员，请求出①式的人口增长模型，并以该模型计算从1950年末开始，大约多少年后我国人口达到13亿？（年数取不小于的最小整数）
（2）根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为（其中表示经过的时间，表示第年的粮食年产量，单位：万吨）．（）表示从1950年末开始第年的年人均粮食占有量，单位：吨/人．
（ⅰ）求满足的正整数的最小值；
（ⅱ）按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由．
参考数据：，，，．
参考答案
1．B
【分析】
解方程，即可得出函数的零点.
【详解】
解方程，即，解得或.
因此，函数的零点是和.
故选：B.
2．C
【分析】
根据二分法求函数零点的前题条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即该函数的图象穿过轴，并且在零点附近函数图象连续不间断，分析选项可得出结果.
【详解】
由题意可知，若能利用二分法求零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，即该函数的图象穿过轴，且该函数在零点附近的函数图象连续，
因此，②④中的函数能用二分法求零点，①③中的函数不能用二分法求零点.
故选：C.
3．C
【分析】
根据二分法结合零点存在定理求解.
【详解】
因为，
所以方程的解在区间内，
又精确到0.1，
所以可取1.4
故选：C
4．A
【分析】
根据平移变换得到，令，解方程可得结果.
【详解】
依题意得，
由得，得，得.
故选：A
【点睛】
关键点点睛：掌握函数零点的概念是本题解题关键.
5．B
【分析】
设经过x(x∈N
)年科研经费超过2
000万元，依题意列出关系式1300×(1+0.12)x>2
000，即1.12x>，两边取对数，求解即可.
【详解】
设经过x(x∈N
)年，该校全年投入的科研经费超过2000万元，依题意得1300×(1+0.12)x>2
000，即1.12x>，
因此x>
又x∈N
，故x≥4，即从2023年起，该校全年投入的科研经费超过2
000万元.
故选：B.
6．A
【分析】
根据表格数据列方程组解出未知数，即可求得.
【详解】
根据表格可得：，
根据三月和四月的数据可得：，解得：
所以，.
故选：A
7．D
【分析】
本题可通过绘出函数的图像以及对数的运算法则的应用得出结果.
【详解】
如图所示，绘出函数的图像，
可令、、依次从左到右，
结合图像易知，，，，，
故，
故选：D.
8．A
【分析】
结合增长速度及3组数据，进行判断即可．
【详解】
根据题意，这3组数据可近似为，，；
得到增长速度越来越快，排除，对于选项，三组数据都不满足，
对于选项，三组数据代入后近似满足，
则模拟效果最好的函数是．
故选：．
9．D
【分析】
根据函数的意义，结合一次函数，二次函数的性质作出函数图像，对选项一一分析即可.
【详解】
由函数解析式作出函数图像如图所示，
讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散，故A正确；
由，，知讲课开始后第5分钟比讲课开始第20分钟，学生的接受能力更强一点，故B正确；
讲课开始后第10分钟到第16分钟，达到最大值，此时学生的接受能力最强，故C正确；
对于D，当，解得或，
而，故学生的注意力达到55以上的情况下，不能讲完13分钟的题，故D错误.
故选：D
10．D
【分析】
由题设知有四个不同的实数解，易知即可求m的范围.
【详解】
由题设，有四个不同的实数解，
∴，即，故，
则，可得.
故选：D
11．B
【分析】
由“局部奇函数”可得，方程转化为：，利用换元设（），则问题转化为只需让方程存在大于等于2的解即可，分类讨论可得答案.
【详解】
由“局部奇函数”可得：，
整理可得：，
考虑到，从而可将视为整体，
方程转化为：，
利用换元设（），
则问题转化为只需让方程存在大于等于2的解即可，
故分一个解和两个解来进行分类讨论，设，
（1）当时，，解得：.
（2）当时，则，即，解得，
综上所述：，
答案：B.
12．C
【分析】
推导出，可判断①②的正误；分析得出，可判断③的正误；利用函数的单调性与奇偶性、周期性的关系可判断④的正误.
【详解】
因为且是定义在上的奇函数，则，
故函数是周期为的周期函数，且，
所以，，故函数的图象关于对称，①错误，②正确；
由题意可知，，
因为，令，可得，即，
所以，，从而，故函数在内至少有个零点，③正确；
因为，，且函数在上单调递增，
则函数在上也为增函数，故函数在上也是单调递增，④正确.
故选：C.
13．
【分析】
根据零点存在性定理判断零点所在区间.
【详解】
，，
所以下一次计算可得.
故答案为：
14．
【分析】
求出函数关于直线的对称函数，令与的图象有两个交点得出的范围即可．
【详解】
关于直线对称的直线为，
∴直线与在上有两个交点，
作出与的函数图象，如图所示：
若直线经过点，则，
解得，
若直线与相切，
设切点为，则，解得．
与的图象有两个交点
则，解得，
故答案为：.
15．或.
【分析】
等价于与有两个交点，数形结合得解.
【详解】
令，
因为函数有且只有2个零点，
所以与有两个交点，
由图象得或.
故答案为：或.
16．
【分析】
设圆弧的半径为x，根据平面几何知识写出关于x的函数关系式，运用基本不等式求解函数的最大值即可.
【详解】
设圆弧的半径为，根据题意可得：
令，则，
根据基本不等式，，当却仅当
，即时取“=”.
，
时，
故答案为：.
17．（1）元；（2）．
【分析】
（1）设，代入可求得解析式，代入即可得到结果；
（2）设，代入，可求得解析式，结合（1）中结论可得分段函数解析式.
【详解】
（1）由题意可知：当时，设函数的解析式，
函数过点，，解得：，解析式为，
当月通话为分钟时，应交话费元．
（2）当时，设与之间的函数关系式为，
函数过点，，，解得：，
当时，；
结合（1）中结论可知：与的函数关系式为：.
18．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）令，转化为函数的交点问题，利用数形结合法证明；
（2）利用函数零点存在定理，根据（1）的建立求解.
【详解】
（1）令，
则，
令，
在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：
因为，即，
所以在区间（-1,0）内有零点，
再由图象知在区间（-1,0）内有一个零点.
（2）由；
由；
由；
由，
所以.
19．（1）；（2）投资生态环保企业万元，投资科技公司万元，总收益最大，最大收益为万元.
【分析】
（1）设函数的解析式，然后利用投资一万元的收益代入解析式求解即可；（2）设投资生态环保企业的资金为万元，总收益为，表示出与的函数关系式，然后换元，将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质即可求解出最大值.
【详解】
（1）根据题意可设，
由题意知，得，，
所以.
（2）设投资生态环保企业的资金为万元，则投资科技公司的资金为万元，
设总收益为(单位：万元)，则，
设，则，
，即时，总收益取得最大值，为万元，此时投资生态环保企业万元，投资科技公司万元.
20．（1），；（2）函数在区间上是严格增函数.
【分析】
（1）由得，再解方程即可；
（2）用定义法判断并证明函数在区间上的单调性即可.
【详解】
（1）
，，．
，解方程，分类讨论
当时，，得，符合；
当时，得，符合；
综上，函数零点为，．
（2）任取，且，
则
因为，所以
所以函数在区间上是严格增函数
21．（1）；（2）．
【分析】
（1）设，问题转化为关于的不等式在上恒成立，分离参数后结合二次函数性质得结论；
（2）令，由函数的图象得问题转化为关于的二次方程，有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一根大于0且小于1，讨论有根为1的情况，再讨论根不为1的情况，求得参数范围．
【详解】
解：（1）设，不等式可化为：
问题等价于在时恒成立；
即：＝在时恒成立，而此时
所以
（2）令，作出函数的图象，如图，由图象知时，有两解，时，有一解．
方程有三个不同的实数解
关于的方程有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一根大于0且小于1；
可化为：
化简得：，
若方程有一根为1，则，此时方程为，方程有两个相等实根1，不合一时间，
因此它的两根分别介于和，
只要，∴为所求的范围．
22．（1）40，（2）（ⅰ）24，（ⅱ）按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克
【分析】
（1）由题意得，两边取自然对数求出，所以，然后代入求出的值；
（2）（ⅰ）由题意得，解不等式可得答案，（ⅱ）由（ⅰ）可知当时，，然后求出的值与400千克比较可得结论
【详解】
解：（1）由题意可得，则，
，
所以，
所以，
所以，
当时，，
所以，
，
所以
所以大约40年后我国人口达到13亿，
（2）（ⅰ）由，得，
所以，
化简得，
即，
解得，
因为为正整数，
所以正整数的最小值为24，
（ⅱ）由（ⅰ）当时，，
所以当时，最大，
，
即，
所以按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克
试卷第1页，总3页
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