27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 课件（共34张PPT）
文档属性
| 名称 | 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 课件（共34张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 3.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-22 06:26:29 | ||
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文档简介
(共34张PPT)
27.2.1相似三角形的判定
---第1课时
人教版
九年级下
教学目标
1.
理解相似三角形的概念.
2.
掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论.
(重点、难点)
3.
会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
(重点、难点)
回顾旧知
对应角
，对应边
的多边形，叫做相似多
边形。
2.对应边的比叫做
.
3.
如图，让△ABC
和
△A′B′C′
相似，需要满足什么条件？
相等
成比例
相似比
A
B
C
A′
B′
C′
∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1
△ABC∽△A1B1C1
｝
△ABC
与
△A′B′C′
的相似比是k，当k=1时，两个三角形全等。
合作探究
例如：
△ABC与△A′B′C′
相似记作“△ABC∽△A′B′C′”.
定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形，我们称为相似三角形.
三角形相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
注意：对应顶点写在对应位置.
探究一:相似三角形的概念
A
B
C
A′
B′
C′
趁热打铁
1、如图所示，△ABC∽△DEF，其中AC＝5，DF＝10，
指出对应边、对应角，并求出相似比．
解：对应边分别是：AB与DE，BC与EF，AC与DF.
对应角分别是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F.
∵AC∶DF＝5∶10＝1∶2，
∴相似比为1∶2.
趁热打铁
2、
如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝70°，∠A＝60°，则∠C等于( )
A．50°
B．60°
C．70°
D．110°
C
知识点拨：利用三角形相似解题时，要根据对应顶点在对应位置上．
趁热打铁
3、如图，在△ABC中，DE∥BC.
(1)求
的值；
(2)△ADE与△ABC相似吗？
为什么？
解：(1)由图形可知AB＝9，AC＝6.
(2)△ADE与△ABC相似．理由如下：
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
由(1)知
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.
判定两个三角形相似利用相似三角形的定义证出三个角分别相等，三条边成比例即可。还存在简便的判定方法吗？我们先来探究下面的问题。
合作探究
如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2，都相交的平行线l3，l4，l5.分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度.
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
探究二:平行线分线段成比例（基本事实）
(1)
计算
的值，
它们相等吗？
合作探究
(2)
任意平移
l5，根据上述
操作，度量AB，BC，DE，
EF，
同（1）中计算，它们还相等吗？
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
可以发现，当l3，l4，l5平行时，
，
,
,
等.
合作探究
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
若l3∥l4∥
l5，则
，
，
，
归纳总结：
A
B
C
D
E
F
l4
l5
l3
l2
l1
趁热打铁
1、如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是
(
)
A.
B.
C.
D.
D
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
趁热打铁
2、如图，已知直线
a
∥b
∥
c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.
若
则
等于( )
A.
B．
C.
D.
1
A
合作探究
观察与思考：如图，直线a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
把直线
n
向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
探究三:平行线分线段成比例的推论
合作探究
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
若把直线
n
向左平移到
B1
与A1
重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
(
)
合作探究
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
若把
直线
n
向左平移到
B2
与A2
重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
(
)
合作探究
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），
所得的对应线段成比例.
(“A”型和“X”型)
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
归纳总结：平行线分线段成比例的推论
符号语言：
如左图，∵A2B2∥
A3B3
趁热打铁
1、如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是( )
A.
B.
C.
D.
C
2、如图，DE∥BC，AD=4，DB=8，AE=3，则
AC=
；FG∥BC，AF=4.5，则AG=
.
A
B
C
E
D
F
G
9
6
趁热打铁
3、如图，在△ABC中，
EF∥BC.
(1)
如果E、F分别是
AB
和
AC
上的点，
AE
=
BE=7，FC
=
4
，那么
AF
的长是多少？
A
B
C
E
F
解：∵EF∥BC
，∴
∴
解得
AF
=
4.
(2)
如果AB
=
10，AE=6，AF
=
5，那么
FC
的长是多
少？
解：∵EF∥BC
，∴
∴
解得
AC
=
.
∴
FC
=
AC－AF
=
.
图中的△ABC与△AEF有什么关系？下面我们来探究一下！
合作探究
探究四:三角形相似的判定定理一
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
问题（1）
:△ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？
问题（2）
:它们的边长是否对应成比例？
B
C
A
D
E
（1）
由DE∥BC及∠A是公共角得三个内角
对应相等；
（2）由前面的结论可得
，而
中的DE不在△ABC的边BC上，不能直接利用前面的结论.
如何证明三边长对应成比例呢？
合作探究
B
C
A
D
E
要证明
，而除
DE
外，其他的线段都在
△ABC
的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，
需要怎样做呢？
合作探究
证明：
在
△ADE与
△ABC中，∠A=∠A.
∵
DE∥BC，
∴
∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
如图，过点
E
作
EF∥AB，交
BC
于点
F.
C
A
B
D
E
F
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
∵
DE∥BC，EF∥AB，
∴
∵
四边形DEFB为平行四边形，
∴
DE=BF.
∴△ADE∽△ABC.
∴
合作探究
三角形相似的两种常见类型：
“A
”型
“X
”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
相似三角形的判定定理（一）：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
趁热打铁
1、如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③
.
其中正确的有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
A
2、如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( )
A．0对
B．1对
C．2对
D．3对
D
趁热打铁
4、如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2.写出图中的相似三角形，并指出其相似比.
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴其相似比为：
3.
若
△ABC
的三条边长的为3
cm，5
cm，7
cm，与其相似的另一个
△A′B′C′
的最小边长为12
cm，
那么
A′B′C′
的最大边长是______.
28
cm
综合演练
2、如图，在△ABC中，DE∥BC，若
则
等于( )
A.
B.
C.
D.
C
如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:3，若
BC=2，则
EF
的长为
(
)
2
B.
4
C.
6
D.
8
B
C
A
E
F
D
C
综合演练
3、如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
C
4、如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么
＝______．
综合演练
5、如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且
过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB＝15，则EF＝________．
6、已知
△ABC
∽
△A1B1C1，相似比是
1:4，△A1B1C1
∽△A2B2C2，相似比是1:5，则△ABC与△A2B2C2的相似比为
.
1:20
综合演练
7.
如图，在
□ABCD
中，EF∥AB，
DE
:
EA
=
2
:
3，
EF
=
8，求
CD
的长．
解：∵
EF∥AB，DE
:
EA
=
2
:
3，
D
A
C
B
E
F
∴
即
∴
△DEF
∽
△DAB，
解得
AB
=
20.
又
∵
四边形
ABCD
为平行四边形，
∴
CD
=
AB
=
20.
综合演练
8、
如图，已知菱形
ABCD
在△AEF的内部，AE=5
cm，AF
=
4
cm，求菱形的边长.
解：∵
四边形
ABCD
为菱形，
B
C
A
D
E
F
∴CD∥AB，
∴
设菱形的边长为
x
cm，则
CD=
AD
=
x
cm，DF
=
(4－x)
cm，
∴
解得
x
=
∴菱形的边长为
cm.
提能训练
9、如图，F是
ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.求证：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC.
（平行于三角形一边
的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）.
同理可得：
课堂总结
说一说
1、平行线分线段成比例的基本事实是什么？
2、平行线分线段成比例的推论是什么？符合语言是什么？
3、三角形相似的判定定理一是什么？符号语言是什么？
本节课你有哪些收获？
作业布置
习题27.1
P42页：1、3、4
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
27.2.1相似三角形的判定
---第1课时
人教版
九年级下
教学目标
1.
理解相似三角形的概念.
2.
掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论.
(重点、难点)
3.
会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
(重点、难点)
回顾旧知
对应角
，对应边
的多边形，叫做相似多
边形。
2.对应边的比叫做
.
3.
如图，让△ABC
和
△A′B′C′
相似，需要满足什么条件？
相等
成比例
相似比
A
B
C
A′
B′
C′
∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1
△ABC∽△A1B1C1
｝
△ABC
与
△A′B′C′
的相似比是k，当k=1时，两个三角形全等。
合作探究
例如：
△ABC与△A′B′C′
相似记作“△ABC∽△A′B′C′”.
定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形，我们称为相似三角形.
三角形相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
注意：对应顶点写在对应位置.
探究一:相似三角形的概念
A
B
C
A′
B′
C′
趁热打铁
1、如图所示，△ABC∽△DEF，其中AC＝5，DF＝10，
指出对应边、对应角，并求出相似比．
解：对应边分别是：AB与DE，BC与EF，AC与DF.
对应角分别是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F.
∵AC∶DF＝5∶10＝1∶2，
∴相似比为1∶2.
趁热打铁
2、
如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝70°，∠A＝60°，则∠C等于( )
A．50°
B．60°
C．70°
D．110°
C
知识点拨：利用三角形相似解题时，要根据对应顶点在对应位置上．
趁热打铁
3、如图，在△ABC中，DE∥BC.
(1)求
的值；
(2)△ADE与△ABC相似吗？
为什么？
解：(1)由图形可知AB＝9，AC＝6.
(2)△ADE与△ABC相似．理由如下：
∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
由(1)知
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.
判定两个三角形相似利用相似三角形的定义证出三个角分别相等，三条边成比例即可。还存在简便的判定方法吗？我们先来探究下面的问题。
合作探究
如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2，都相交的平行线l3，l4，l5.分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度.
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
探究二:平行线分线段成比例（基本事实）
(1)
计算
的值，
它们相等吗？
合作探究
(2)
任意平移
l5，根据上述
操作，度量AB，BC，DE，
EF，
同（1）中计算，它们还相等吗？
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
可以发现，当l3，l4，l5平行时，
，
,
,
等.
合作探究
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
若l3∥l4∥
l5，则
，
，
，
归纳总结：
A
B
C
D
E
F
l4
l5
l3
l2
l1
趁热打铁
1、如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是
(
)
A.
B.
C.
D.
D
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
趁热打铁
2、如图，已知直线
a
∥b
∥
c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.
若
则
等于( )
A.
B．
C.
D.
1
A
合作探究
观察与思考：如图，直线a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，
把直线
n
向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
探究三:平行线分线段成比例的推论
合作探究
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
若把直线
n
向左平移到
B1
与A1
重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
(
)
合作探究
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
若把
直线
n
向左平移到
B2
与A2
重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？
得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
(
)
合作探究
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），
所得的对应线段成比例.
(“A”型和“X”型)
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
归纳总结：平行线分线段成比例的推论
符号语言：
如左图，∵A2B2∥
A3B3
趁热打铁
1、如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是( )
A.
B.
C.
D.
C
2、如图，DE∥BC，AD=4，DB=8，AE=3，则
AC=
；FG∥BC，AF=4.5，则AG=
.
A
B
C
E
D
F
G
9
6
趁热打铁
3、如图，在△ABC中，
EF∥BC.
(1)
如果E、F分别是
AB
和
AC
上的点，
AE
=
BE=7，FC
=
4
，那么
AF
的长是多少？
A
B
C
E
F
解：∵EF∥BC
，∴
∴
解得
AF
=
4.
(2)
如果AB
=
10，AE=6，AF
=
5，那么
FC
的长是多
少？
解：∵EF∥BC
，∴
∴
解得
AC
=
.
∴
FC
=
AC－AF
=
.
图中的△ABC与△AEF有什么关系？下面我们来探究一下！
合作探究
探究四:三角形相似的判定定理一
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
问题（1）
:△ADE与△ABC的三个内角分别相等吗？
问题（2）
:它们的边长是否对应成比例？
B
C
A
D
E
（1）
由DE∥BC及∠A是公共角得三个内角
对应相等；
（2）由前面的结论可得
，而
中的DE不在△ABC的边BC上，不能直接利用前面的结论.
如何证明三边长对应成比例呢？
合作探究
B
C
A
D
E
要证明
，而除
DE
外，其他的线段都在
△ABC
的边上，要想利用前面学到的结论来证明三角形相似，
需要怎样做呢？
合作探究
证明：
在
△ADE与
△ABC中，∠A=∠A.
∵
DE∥BC，
∴
∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
如图，过点
E
作
EF∥AB，交
BC
于点
F.
C
A
B
D
E
F
用相似的定义证明△ADE∽△ABC
∵
DE∥BC，EF∥AB，
∴
∵
四边形DEFB为平行四边形，
∴
DE=BF.
∴△ADE∽△ABC.
∴
合作探究
三角形相似的两种常见类型：
“A
”型
“X
”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
相似三角形的判定定理（一）：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
趁热打铁
1、如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③
.
其中正确的有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
A
2、如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( )
A．0对
B．1对
C．2对
D．3对
D
趁热打铁
4、如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD=3，DB=2.写出图中的相似三角形，并指出其相似比.
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴其相似比为：
3.
若
△ABC
的三条边长的为3
cm，5
cm，7
cm，与其相似的另一个
△A′B′C′
的最小边长为12
cm，
那么
A′B′C′
的最大边长是______.
28
cm
综合演练
2、如图，在△ABC中，DE∥BC，若
则
等于( )
A.
B.
C.
D.
C
如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:3，若
BC=2，则
EF
的长为
(
)
2
B.
4
C.
6
D.
8
B
C
A
E
F
D
C
综合演练
3、如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
C
4、如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么
＝______．
综合演练
5、如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且
过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB＝15，则EF＝________．
6、已知
△ABC
∽
△A1B1C1，相似比是
1:4，△A1B1C1
∽△A2B2C2，相似比是1:5，则△ABC与△A2B2C2的相似比为
.
1:20
综合演练
7.
如图，在
□ABCD
中，EF∥AB，
DE
:
EA
=
2
:
3，
EF
=
8，求
CD
的长．
解：∵
EF∥AB，DE
:
EA
=
2
:
3，
D
A
C
B
E
F
∴
即
∴
△DEF
∽
△DAB，
解得
AB
=
20.
又
∵
四边形
ABCD
为平行四边形，
∴
CD
=
AB
=
20.
综合演练
8、
如图，已知菱形
ABCD
在△AEF的内部，AE=5
cm，AF
=
4
cm，求菱形的边长.
解：∵
四边形
ABCD
为菱形，
B
C
A
D
E
F
∴CD∥AB，
∴
设菱形的边长为
x
cm，则
CD=
AD
=
x
cm，DF
=
(4－x)
cm，
∴
解得
x
=
∴菱形的边长为
cm.
提能训练
9、如图，F是
ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E.求证：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC.
（平行于三角形一边
的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）.
同理可得：
课堂总结
说一说
1、平行线分线段成比例的基本事实是什么？
2、平行线分线段成比例的推论是什么？符合语言是什么？
3、三角形相似的判定定理一是什么？符号语言是什么？
本节课你有哪些收获？
作业布置
习题27.1
P42页：1、3、4
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