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14.2.2
勾股定理的应用
教案
课题
14.2.2
勾股定理的应用
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1.会用勾股定理解决简单的实际问题.2.树立数形结合的思想.
重点难点
用勾股定理解决简单的实际问题
教学过程
教学环节
教师活动
设计意图
讲授新课
怎么求立体图形中最短路线的问题？立体图形中路线最短的问题，往往是把立体图形展开，得到平面图形．根据“两点之间，线段最短”
确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离．例3
如图14.2.5,在3x3的方格图中，每个小方格的边长都为1,请在给定网格中按下列要求画出图形:(1)
画出所有从点A出发，另一个端点在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为
的线段;(2)
画出所有以题(1)中所画线段为腰的等腰三角形.
图14.2.5分析
只需利用勾股定理看哪一条以格点为端点的线段满足要求.解:
(1)图14.2.6中,AB、AC、AE、AD的长度均为.(2)图14.2.6中,△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△AED就是所要画的等腰三角形.
变式：如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（ ）A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个解：如图，
AB2=12+22
∵AB=
，∴①若AB=BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共3个点；
②若AB=AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点.故选D.例4
如图14.2.7,已知CD=6m,AD=8m,
∠ADC=90°,
BC=24m,
AB=26m.
求图中着色部分的面积.解
在Rt△ADC中，∵
AC2=AD2+CD2(勾股定理)82+62=100，
∴
AC=10.∵
AC2+BC2=102+242=676=262=AB2.∴
△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理)，∴
S阴影部分=S△ACB-S△ACD
=
x10x24-
x6x8=96(
m2
).变式
如图，笑笑将一张A4纸（A4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB）剪去了一个角，量得CF=90mm，BE=137mm，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ）A.
50?mm
B.
120?mm
C.
160?mm
D.
200?mm解：延长BE、CF相交于D，则EFD构成直角三角形，运用勾股定理得：EF2=（210-90)2+（297-137)2=1202+1602=40000，所以BC=200．则剪去的直角三角形的斜边长为200mm．故选：D．注意:
在解决勾股定理的应用问题时，关键是把实际问题中的量转化到直角三角形的三边中把实际问题中的数值转化为直角三角形的三边长。课堂练习：1、
我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈=10尺，那么折断处离地面的高度是______尺．
2、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米．
3、如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为30m，到公交站（D点）的距离为50m，现在公路边上建一个商店（C点），使商店到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．（结果保留整数）
4、
在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA=6.5千米，CD=6千米，AD=2.5千米．（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线BC的长．1、解：1丈=10尺，
设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2
解得：x=4.55．
答：折断处离地面的高度为4.55尺．
故答案为：4.55．2、解：如图，设大树高为AB=12m，小树高为CD=6m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=CD=6m，EC=BD=8m
AE=AB-EB=12-6=6m，在Rt△AEC中，AC=10m，故小鸟至少飞行10m．3、解：作AB⊥L于B，则AB=30m，AD=50m．
∴BD=40m．
设CD=x，则CB=40-x，
x2=（40-x）2+302，
x2=1600+x2-80x+302，
80x=2500，
x≈31，4、解：（1）是，
理由：∵62+2.52=6.52，
∴CD2+AD2=AC2，
∴△ADC为直角三角形，
∴CD⊥AB，
∴CD是从村庄C到河边最近的路；
（2）设BC=x千米，则BD=（x-2.5）千米，
∵CD⊥AB，
∴62+（x-2.5）2=x2，
解得：x=8.45，
答：路线BC的长为8.45千米．
以问题情境入手，提出课题利用勾股定理看哪一条以格点为端点的线段满足要求。通过变式培养学生解题能力。会用勾股定理解决简单的实际问题.在解决勾股定理的应用问题时，关键是把实际问题中的量转化到直角三角形的三边中把实际问题中的数值转化为直角三角形的三边长。
课堂小结
勾股定理的应用有哪些？
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14.2.2
勾股定理的应用
怎么求立体图形中最短路线的问题？
立体图形中路线最短的问题，往往是把立体图形展开，得到平面图形．根据“两点之间，线段最短”
确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离．
例3
如图14.2.5,在3x3的方格图中，每个小方格的边长都为1,请在给定网格中按下列要求画出图形:
(1)
画出所有从点A出发，另一个端点在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为
的线段;
(2)
画出所有以题(1)中所画线段为腰
的等腰三角形.
图14.2.5
分析
只需利用勾股定理看哪一条以格点为端点的线段满足要求.
解:
(1)图14.2.6中,AB、AC、AE、AD的长度均为
.
(2)图14.2.6中,△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△AED就是所要画的等腰三角形.
图14.2.6
变式：如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（ ）
A.
2个
B.
3个
C.
4个
D.
5个
解：如图，
AB2=12+22
∵AB=?
，
∴①若AB=BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共3个点；
②若AB=AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点.
故选D.
例4
如图14.2.7,已知CD=6m,AD=8m,
∠ADC=90°,
BC=24m,
AB=26m.
求图中着色部分的面积.
图14.2.7
A
B
C
D
解
在Rt△ADC中，
∵
AC2=AD2+CD2(勾股定理)
82+62=100，
∴
AC=10.
∵
AC2+BC2=102+242=676=262=AB2.
∴
△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理)，
∴
S阴影部分=S△ACB-S△ACD
=
x10x24-
x6x8=96(
m2
).
图14.2.7
A
B
C
D
变式
如图，笑笑将一张A4纸（A4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB）剪去了一个角，量得CF=90mm，BE=137mm，则剪去的直角三角形的斜边长为（ ）
A.
50?mm
B.
120?mm
C.
160?mm
D.
200?mm
解：延长BE、CF相交于D，则EFD构成直角三角形，
运用勾股定理得：
EF2=（210-90)2+（297-137)2
=1202+1602=40000，
所以BC=200．
则剪去的直角三角形的斜边长为200mm．
故选：D．
注意:
在解决勾股定理的应用问题时，关键是把实际问题中的量转化到直角三角形的三边中把实际问题中的数值转化为直角三角形的三边长。
最短路线的问题
生活中的实际问题
勾股定理的应用
往往是把立体图形展开，得到平面图形．根据“两点之间，线段最短”
确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离
面积
树高
路长问题
1、
我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈=10尺，那么折断处离地面的高度是______尺．
课堂练习
解：1丈=10尺，设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2
解得：x=4.55．
2、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米．
解：如图，设大树高为AB=12m，
小树高为CD=6m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=CD=6m，EC=BD=8m
AE=AB-EB=12-6=6m，
在Rt△AEC中，AC=10m，故小鸟至少飞行10m．
3、如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为30m，到公交站（D点）的距离为50m，现在公路边上建一个商店（C点），使商店到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．（结果保留整数）
解：作AB⊥L于B，则AB=30m，AD=50m．∴BD=40m．设CD=x，则CB=40-x，x2=（40-x）2+302，x2=1600+x2-80x+302，80x=2500，x≈31，
4、
在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA=6.5千米，CD=6千米，AD=2.5千米．
（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线BC的长．
解：（1）是，理由：∵62+2.52=6.52，∴CD2+AD2=AC2，∴△ADC为直角三角形，∴CD⊥AB，∴CD是从村庄C到河边最近的路；（2）设BC=x千米，则BD=（x-2.5）千米，∵CD⊥AB，∴62+（x-2.5）2=x2，解得：x=8.45，答：路线BC的长为8.45千米．
基础作业：
课本P123练习第1、2、3题
练习册基础
能力作业：
课本P123练习第4、5题中小学教育资源及组卷应用平台
14.2.2勾股定理的应用
学案
课题
14.2.2
勾股定理的应用
单元
第14章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.会用勾股定理解决简单的实际问题.
2.树立数形结合的思想.
重点
难点
用勾股定理解决简单的实际问题
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？
2、如图，为了求出分别位于池塘两岸的点A与点B的距离，小亮在点C处立一标杆，使∠ABC是直角．测得AC的长为85m，BC的长为75m，那么点A与点B的距离是多少？
合
作
探
究
探究一：
例3
如图14.2.5,在3x3的方格图中，每个小方格的边长都为1,请在给定网格中按下列要求画出图形:
(1)
画出所有从点A出发，另一个端点在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为
的线段;
(2)
画出所有以题(1)中所画线段为腰的等腰三角形.
图14.2.5
探究二：
例4
如图14.2.7,已知CD=6m,AD=8m,
∠ADC=90°,
BC=24m,
AB=26m.
求图中着色部分的面积.
注意:
在解决勾股定理的应用问题时，关键是把实际问题中的量转化到直角三角形的三边中把实际问题中的数值转化为直角三角形的三边长。
当
堂
检
测
1、
我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈=10尺，那么折断处离地面的高度是______尺．
2、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米．
3、如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为30m，到公交站（D点）的距离为50m，现在公路边上建一个商店（C点），使商店到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．（结果保留整数）
4、
在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA=6.5千米，CD=6千米，AD=2.5千米．
（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线BC的长．
课
堂
小
结
勾股定理的应用有哪些？
参考答案
自主学习：
1、解：设水深x尺，那么荷花径的长为（x+1）尺，
由匀股定理得：x2+32=（x+1）2．
解得：x=4．
答：水池的水深有4尺．
2、解：由题意得，AC=85米，BC=75米，
在Rt△ABC中，AB===40米
即A、B两点间的距离为40米．
合作探究：
探究一：
分析
只需利用勾股定理看哪一条以格点为端点的线段满足要求.
解:
(1)图14.2.6中,AB、AC、AE、AD的长度均为
.
(2)图14.2.6中,△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△AED就是所要画的等腰三角形.
探究二：
解
在Rt△ADC中，
AC2
=
AD2
+
CD2(勾股定理)
82+62=
100，
AC=
10.
AC2+
BC2
=
102+242=
676
=
262=
AB2.
△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理)，
S阴影部分=S△ACB一S△ACD=×10×24-×6×8=96(
m2
).
当堂检测：
1、解：1丈=10尺，
设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2
解得：x=4.55．
答：折断处离地面的高度为4.55尺．
故答案为：4.55．
2、解：如图，设大树高为AB=12m，
小树高为CD=6m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB=CD=6m，EC=BD=8m
AE=AB-EB=12-6=6m，
在Rt△AEC中，AC=10m，故小鸟至少飞行10m．
3、解：作AB⊥L于B，则AB=30m，AD=50m．
∴BD=40m．
设CD=x，则CB=40-x，
x2=（40-x）2+302，
x2=1600+x2-80x+302，
80x=2500，
x≈31，
4、解：（1）是，
理由：∵62+2.52=6.52，
∴CD2+AD2=AC2，
∴△ADC为直角三角形，
∴CD⊥AB，
∴CD是从村庄C到河边最近的路；
（2）设BC=x千米，则BD=（x-2.5）千米，
∵CD⊥AB，
∴62+（x-2.5）2=x2，
解得：x=8.45，
答：路线BC的长为8.45千米．
课堂小结：
1、最短路线的问题
往往是把立体图形展开，得到平面图形．根据“两点之间，线段最短”
确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离
2、生活中的实际问题
面积
树高
路长问题
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精品试卷·第
2
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