3.2.1 抛物线的标准方程
一. 选择题：
1.抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为y轴,且焦点到准线的距离为4,则该抛物线的方程为（ ）
A.x2=4y B.x2=-4y C.x2=±4y D.x2=±8y
2．抛物线的焦点坐标是 （ ）
A． B． C． D．
3.若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
4．直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，且交抛物线C于A，B两点，分别从A，B两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A1，B1，则∠A1FB1是( )
A．锐角 B．直角
C．钝角 D．直角或钝角
二. 填空题：
5.抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5,则线段AB的中点到y轴的距离是_____________.
6.如图过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为 .
三. 解答题：
7．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(，)，求抛物线与双曲线方程．
8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程．
3.3.1 参考答案
一. 选择题：
1. 【答案】D
【解析】由题意知所求抛物线方程为x2=±2py形式,又p=4,∴x2=±8y.
2.【答案】C
3.【答案】D
【解析】选D.抛物线的焦点为F(，0)，椭圆中c2＝6－2＝4，
∴c＝2，其右焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.
4.【答案】B
二. 填空题：
5.【答案】2
【解析】设A、B、P在抛物线的准线l的射影分别是A1、B1、P1,则由抛物线的定义知|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|=5.
∴|PP1|=
∴ P到y轴的距离.
6【答案】y2＝3x
【解析】如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，|AE|＝3，|AC|＝3＋3a，故有2|AE|＝|AC| 3＋3a＝6，从而得a＝1，再由BD∥FG，则有＝ p＝，因此抛物线方程为y2＝3x.
三. 解答题：
7.解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c.设抛物线方程为y2＝4c·x，
∵抛物线过点(，)，∴6＝4c·.
∴c＝1，故抛物线方程为y2＝4x.
又双曲线－＝1过点(，)，
∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，∴－＝1.
∴a2＝或a2＝9(舍)．
∴b2＝，故双曲线方程为：4x2－＝1.
8.解：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2＝2px.
因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p＝1.
因此，抛物线C的标准方程是y2＝2x.
(2)由(1)可得焦点F的坐标是(，0)，又直线OA的斜率为＝1，故与直线OA垂直的直线的斜率为－1.
因此，所求直线的方程是x＋y－＝0.3.2.2 抛物线的简单性质
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）
1．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（ ）。
A． B． C． D．
3．设为过抛物线的焦点的弦，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
5．已知点P是抛物线y2=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为 （ ）
A．5 B．4 C． （D）
6．抛物线上两点、关于直线对称，且
，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
7．抛物线的准线方程为 .
8．若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______。
9．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是 .
10．要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边的柱长应为____________.
三、解答题：（本大题共2小题，每小题10分，满分30分）
11．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
12．已知抛物线．过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点
A、B，．
（Ⅰ）求的取值范围;
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值．
参考答案
一、选择题
1．B ，而焦点到准线的距离是
2．C 点到其焦点的距离等于点到其准线的距离，得
3． C 垂直于对称轴的通径时最短，即当
4．D
5.C
【思路分析】：由于点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，所以过焦点F到直线x+2y+10=0的距离即是
【命题分析】：考察抛物线的几何性质及距离的转化思想
6．A ，且
在直线上，即
二、填空题
7.
8．
中点坐标为
9． 【思路分析】：的准线是. ∴到的距离等于到焦点的距离，故点到点的距离与到=的距离之和的最小值为.
【命题分析】：考查圆锥曲线的定义及数形结合，化归转化的思想方法.
10．1米. 由题意知,设抛物线的方程为,又抛物线的跨度为16,拱高为4,所以点(8,-4)为抛物线上的点,所以.即抛物线方程为.所以当时,,所以柱子的高度为1米.
三、解答题
11．[解析]：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得
，解之得或，
故所求的抛物线方程为，
12． [解析]：（Ⅰ）直线的方程为，将，
得 ． 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，
则 又，
∴ ． ∵， ∴ ． 解得 ．
（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为，则由中点坐标公式，得
， ．
∴ ． 又 为等腰直角三角形，
∴ ， ∴
即面积最大值为
