3.3.2双曲线的简单性质
一、选择题
1．双曲线的焦距为（ ）
A．3 B．4 C．3 D．4
2．已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共2小题，把答案填在题中的横线上）
5．已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．
6．方程所表示的曲线为C，有下列命题：
①若曲线C为椭圆，则；
②若曲线C为双曲线，则或；
③曲线C不可能为圆；
④若曲线C表示焦点在上的双曲线，则。
以上命题正确的是 。（填上所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共2小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
7.已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程．(12分)
8.已知曲线的离心率，直线l过A(a，0)、B两点，原点O到l的距离是。
(1)求双曲线的方程；
(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若，求直线m的方程。
参考答案
一、选择题
1．D 解：由双曲线方程得，于是，故选Ｄ。
2．D 解：取顶点, 一条渐近线为
故选Ｄ。
3．B 解：如图在中，
，
，故选B。
4．A 解：由双曲线与曲线共焦点知焦点在轴上，可排除B、D，与曲线共渐近线可排除C，故选A。
二、填空题
5． 解：如图由题设，
，所以双曲线方程为
6．②④ 解：若曲线C为椭圆，则，∴①错误；
若曲线C为双曲线，则，∴②正确；
当时曲线C方程为，表示圆，∴③错误；
若曲线C表示焦点在上的双曲线，则，∴④正确。
三、解答题
7.解：由椭圆．
设双曲线方程为，则 故所求双曲线方程为
8.解：（1）依题意， 由原点O到l的距离为，得 又
故所求双曲线方程为
（2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx－1，则点M、N坐标（）、
（）是方程组 的解，消去y，得 ①
依设，由根与系数关系，知
===
∴=－23，k=±
当k=±时，方程①有两个不等的实数根故直线l方程为3.3.1 双曲线的标准方程
一. 选择题：
1. 方程表示双曲线，则（ ）
A.（5，10） B.（） C.（10，） D.
2. 已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线经过点A及点B（），则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 若方程表示双曲线，则它的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D. 根据的取值而定
4. 已知双曲线的方程为，点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点，，为另一焦点，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
5. 双曲线上点P到左焦点的距离为6，则这样的点P的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 、为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，则的面积是（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
7. 已知双曲线的焦距为26，且，则双曲线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D. 或
8. 已知中，B、C是两个定点，并且，则顶点A的轨迹方程是（ ）
A. 双曲线 B. 椭圆 C. 双曲线的一部分 D. 椭圆的一部分
二. 填空题：
1. P是双曲线的左支上一点，、分别是左、右焦点，则=
。
2. 若双曲线经过两点A（）、B（），则此双曲线的方程为 。
3. 已知双曲线的两个焦点为分别为F1、F2，点P在双曲线上且满足，则的面积是 。
4. 过点P（8，1）的直线与双曲线相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为 。
三. 解答题：
1. 过双曲线的一个焦点作轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离。
2. 一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处晚，已知坐标轴的单位长度为1m，声速为，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程。
3. 在中，已知，当动点M满足条件时，求动点M的轨迹方程。
参考答案
一.1. A 2. D 3. D 4. B 5. C 6. B 7. D 8. C
二. 1. 2. 3. 1 4.
三. 1. 解：∵ 双曲线方程为 ∴
于是焦点坐标为、，设过点且垂直于轴的直线交双曲线于（）
∴ ∴ ，即
又 ∵ ∴
故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为或。
2. 解：由声速为340m/s可知、两处与爆炸点的距离差为
因此爆炸点在以、为焦点的双曲线上
因为爆炸点离处比处更远，所以爆炸点应在靠近处的一支上。
设爆炸点P的坐标为（）则
，即，，而
∴
∵ ∴
∴ 所求双曲线方程为
3. 解：以NG所在的直线为轴，以线段NG的垂直平分线为轴建立直角坐标系
∵ ∴ 由正弦定理，得
∴ 由双曲线的定义知，点M的轨迹是以N、G为焦点的双曲线的右支（除去与轴的交点）
∴ ，即 ∴
∴ 动点M的轨迹方程为（，且）
