高二 (下)文科数学自测题12
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．以下有关命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若，则”的逆否命题为“若,则”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若为假命题，则、均为假命题
D．对于命题，使得，则，则
2.设函数f（x）在处可导，则等于( )
A．不存在 B．0 C． D．
3.函数y＝f（x）的图象在点（3，f (3)）处的切线方程为y＝x－3，则f (3)＋f '(3)＝( )
A. 3 B.－3 C. 1 D.－1
4．对于R上可导的任意函数，若满足 ，则必有（ ）
f（0）＋f（2）2f（1） B. f（0）＋f（2）2f（1）
C. f（0）＋f（2）2f（1） D. f（0）＋f（2）2f（1）
5．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．设圆锥曲线G的两个焦点分别为F1，F2，若曲线G上存在点P满足=4:3:2，则曲线G的离心率等于
A． B．或2 C．2 D．
7．设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆
8．若函数的图象如右图所示，那么导函数的图象可能是（ ）
9. 设在内单调递增，，则是的（ ）
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
10． 函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。将答案填写在答题纸上。
11.命题“若且，则”的否命题为
12．过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 ， 切线的斜率为 .
13．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则＿＿．
14. 已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .
15.曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；
③若点P在曲线C上，则的面积不大于.
其中，所有正确结论的序号是____________.
16.给出下面四个命题：
①， ②，
③，④，函数在上为减函数
其中真命题的序号为_____________.
17．已知函数
(1)若函数在总是单调函数，则的取值范围是 .
(2)若函数在上总是单调函数，则的取值范围 .
（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数的取值范围是 .
三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（12分）已知动点与平面上两定点连线的斜率的积为定值．
（1）试求动点的轨迹方程；
（2）设直线与曲线交于M．N两点，当时，求直线的方程．
19(12分)如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，
且与抛物线交于两点．
（Ⅰ）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；
（Ⅱ）若为锐角，作线段的垂直平分线
交轴于点，证明为定值，
并求此定值．
20．(13分)一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积 为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b．
21．(14分)设函数，
（1）当时，求函数的单调递减区间；
（2）若函数有相同的极大值，且函数在区间上的
最大值为，求实数的值.（其中e是自然对数的底数）
22．(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2的焦点，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若＝m，＝n，求m＋n的值．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C D D A A A B B
11．__若或，则__ 12．___（1，e）____ ____ e ____
13．_______32_______________ 14．_______________
15．______②_③_______________16．_________②_④_____________
17．(1)
三、解答题
18．解：（1）设点，则依题意有，
整理得，由于，
所以求得的曲线C的方程为．
（2）由，消去得，
解得分别为M，N
的横坐标）由
得，所以直线的方程或
19．
解：（1）焦点坐标为 （2,0），准线方程为
(2)
设，，直线的斜率为，则直线方程为．
将此式代入得，故．
记直线与的交点为，则
，，
故直线的方程为，
令，得点的横坐标，故．
从而
为定值．
20．
解：由梯形面积公式，得S= （AD+BC）h．
其中AD=2DE+BC，DE=h，BC=b ∴AD=h+b．
∴S= ①
∵CD=，AB=CD．
∴l=×2+b ②
由①得b=h，代入② ∴l=
l′==0，∴h=．
当h<时，l′<0，h>时，l′>0．
∴h=时，l取最小值，此时b=．
21．
解：（ 1）定义域为，，
得到递减区间为.
（2）函数的极大值为0，且，而，
令，在上递增，在上递减，所以，
所以，则，根据题意得
，
令所以函数在上单调递减，，得。
22．
解 (1)设椭圆C的方程为＋＝1 (a>b>0)．
抛物线方程可化为x2＝4y，其焦点为(0,1)，
则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1.
由e＝＝＝.
得a2＝5，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线
l的斜率存在，设直线l的方程为
y＝k(x－2)，代入方程＋y2＝1，
得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又＝(x1，y1－y0)，＝(x2，y2－y0)，
＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)．
∵＝m， ＝n，
∴m＝，n＝，
∴m＋n＝
又2x1x2－2(x1＋x2)＝
＝－，
4－2(x1＋x2)＋x1x2
＝4－＋＝，
∴m＋n＝10.高二下文科数学自测题3
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、（ ）
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.下列说法错误的是： （ ）
A．命题“”的逆否命“”.
B．“x>1”是“”的充分不必要条件.
C．若且为假命题，则均为假命题.
D．命题 ，则.
3.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是（ ）
A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支
4．已知椭圆的焦点分别为，离心率，过的直线交椭圆于两点，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．椭圆(1－m)x2－my2=1的长轴长是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
6．设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知两椭圆ax2＋y2=8和9x2＋25y2=100的焦距相等，则a的值是（ ）。
（A）9或 （B）或 （C）9或 （D）或
8．设椭圆和双曲线的公共焦点为，是两曲线的一个公共点，则cos的值等于（ ）
A. B. C. D.
9．已知一个动点P到两个定点O(0, 0)、A(3, 0)的距离的比为，即：＝，则动点P的轨迹是（ ）。
（A）圆心为(0, －1)，半径为2的圆 （B）圆心为(－1, 0)，半径为2的圆
（C）焦点在x轴上的椭圆 （D）焦点在y轴上的椭圆
10．以为焦点且与直线有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是 （ ）
A． B． C D．高考资源网
二、填空题（本大题共7小题；每小题5分，共35分）
11．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点A(2, 0)，则椭圆的标准方程是
。
12、双曲线上的点P到点(5,0)的距离为8.5，则点P到点()的距离为 ；
13、过点且被点M平分的椭圆的弦所在直线方程为 ．
14．人造地球卫星的运行轨迹是以地心为一个焦点的椭圆、设地球半径为R，卫星近地点远地点离地面的距离分别为，卫星轨迹的离心率_____________.
15．过椭圆的左焦点作直线交椭圆于A、B，若|AB|恰等于短轴长，则直线方程为__________________
16．方程表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不可能为圆；
②若1③若曲线C为双曲线，则t<1或t>4；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．
17、椭圆上有两点P，Q，O为原点，若OP，OQ斜率之积为，则=___20_____.
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题（本大题共7小题；每小题5分，共35分）
11. ； 12. ；
13. ； 14. ；
15. ； 16. ；
17. 。
三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且这个焦点到长轴上较近顶点的距离是，求椭圆的标准方程。
19．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程.
20.求与圆及都外切的动圆圆心的轨迹方程．
21．椭圆的右焦点恰为圆x2＋y2－4x＝0的圆心，半长轴为此圆的直径，
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 过椭圆的右焦点，且倾斜角为45°的直线依次交椭圆和圆于A、B、C、D四点，求介于椭圆和圆之间的两条线段AB和CD的长度之和。
21．(1) 圆x2＋y2－4x＝0的圆心为(2, 0), 半径为2，直径为4,
∴ a=4, c=2, b2=12, ∴ 椭圆方程是 =1,
(2) 过椭圆的右焦点(2, 0)，且倾斜角为45°的直线方程为y=x－2,
将直线方程代入椭圆方程3x2＋4y2=48, 整理得
7x2－16x－32=0, x1＋x2=, x1x2=－,
∴ 弦长|AD|=|x1－x2|=, 又|AB|＋|CD|=|AD|－|BC|,
其中|BC|＝4 是圆的直径，∴ |AB|＋|CD|=.
22．如图，在由圆O：x2＋y2＝1和椭圆C：＋y2＝1(a>1)构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A，B.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 是否存在直线l，使得·＝2，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．（本小题满分13分）
22． （本小题满分12分）[解析] (1)∵e＝＝，c2＝a2－1，∴＝，
解得：a2＝3，所以所求椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在直线l，使得·＝2
易得当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y＝kx＋b，
由直线l与圆O相切可得，b2＝k2＋1①
把直线y＝kx＋b代入椭圆C：＋y2＝1中，整理得：
(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0
则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
·＝x1·x2＋y1·y2＝x1·x2＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝(1＋k2)x1·x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝(1＋k2)＋＋b2＝＝②
由①②两式得k2＝1，b2＝2，
故存在直线l，其方程为y＝±x±.高二 (下)文科数学自测题11
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．由下列各组命题构成为真，为假，为真的是 （ ）
A.
B.等腰三角形是锐角三角形，正三角形都相似
C.
D.
2. 已知函数（为常数），则（ ）
A. B.0 C. D.
3. 设a≠ 0，a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为 （ ）
A.（a，0） B.（0，a） C.（0，） D.随a符号而定
4.若椭圆＋＝1（p＞0）的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p为
A. 3 B. C. 6 D.
5．双曲线的渐近线上任意一点P到两个焦点的距离之差的绝对值与2a的大小关系为（ ）
A．恒等于2a B．恒大于2a C．恒小于2a D．不确定
6．已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为（ ）
A B C D
7．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，且的取值范围是，则实数的值等于 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知函数f(x)的定义域为［－1,4］，部分对应值如下表，f(x)的导函数的图象如上右图所示。
x －1 0 2 3 4
f(x) 1 2 0 2 0
当1＜a<2时，函数y=f(x)－a的零点的个数为
A.2 B.3 C.4 D.5
9. 已知函数在处的导数为1，则 =
A．3 B． C． D．
10. 已知,有三个不同零点,则实数的
取值范围是( )
A B C D
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。将答案填写在答题纸上。
11. 双曲线的渐近线方程为则
12.已知函数，则 .
13．已知是两个正数的等比中项，则圆锥曲线的离心率为_ _______;
14.若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是 .
15. 函数y＝2x＋cosx的单调递增区间是
16.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，点A(2，)在抛物线内．若抛物线上一动点P到A、F两点距离之和的最小值为4，则抛物线C的方程 ．
17．如图，已知|AB|＝10，图中的一系列圆是圆心分别
为A，B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1,2,
3，…，n，….利用这两组同心圆可以画出以A，B为焦
点的双曲线，若其中经过点M，N，P的双曲线的离心率
分别记为eM，eN，eP，则它们的大小关系是________
(用“<”连接)．
三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（12分）A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B的北偏西30°相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角．
19．（12分）抛物线的焦点为，在抛物线上，
存在实数，使，求直线的方程；
( 2 )以为直径的圆过点，证明直线过定点，并求出定点坐标.
20（13分）已知椭圆的左右焦点为F1，F2，离心率为,以线段F1 F2为直径的圆的面积为，
(1)求椭圆的方程；
(2) 设直线l过椭圆的右焦点F2（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m,0），试求m的取值范围.
21、（14分）已知函数 ，．
(Ⅰ）当 时，求函数 的最小值；
(Ⅱ）当 时，讨论函数 的单调性；
22. （14分）定长为3的线段AB两端点A、B分别在轴， 轴上滑动，M在线段AB上，且（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设过且不垂直于坐标轴的动直线交轨迹C于A、B两点，问：线段上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明。
题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10
答案 B A C D C B D C B A
二、填空题
11．______________________ 12．_____________________
13．_____或__________ 14．_____________
15．________________16．___________________
17．_____ eM三、解答题
18．解：
以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立平面
直角坐标系，
则B(－3,0)，A(3,0)，C (－5,2 )
∵|PB|＝|PC|，
∴点P在线段BC的垂直平分线上
∵kBC＝－，BC中点D (－4，)
∴直线PD：y－＝(x＋4)①
又|PB|－|PA|＝4，
∴P在以A、B为焦点的双曲线右支上
设P(x，y)则双曲线方程为－＝1(x＞0)②
联立①、②式得x＝8，y＝5，
∴P(8,5)，因此kPA＝＝.
故炮击的方位角为北偏东30°.
19．
解：（1）设点，则依题意有，
整理得，由于，
所以求得的曲线C的方程为．
（2）由，消去得，
解得分别为M，N的横坐标）
由
得，所以直线的方程
或．
20．
解： (1)由离心率为得: = ①
又由线段F1 F2为直径的圆的面积为得: c2=,
c2=1 ② ……………2分
由①, ②解得a=,c=1,∴b2=1,
∴椭圆方程为 ………………5分
由于
………………………13分
21．
解；（Ⅰ）显然函数的定义域为， ...1分
当．...2分
∴ 当，．
∴在时取得最小值，其最小值为 ．... 7分
(II) ，。。。9分
（1）当时，
，为增函数；
时，，为减函数；
时，，为增函数；
（2）当时，，为增函数；
（3）当时，
，，为增函数
，，为减函数
，，为增函数 14分
22．
（1）设
则
------5分
（2）存在满足条件的D点．设满足条件的点D（0，m），
则设l的方程为：，
代入椭圆方程，
得 ----- 6分
设 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) ---8分
以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，
的方向为（1，k），
-------10分
存在满足条件的点D． ----------14分
x
y
2
3
－1
O
4高二下文科数学自测题5
一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1． ，则方程表示的曲线不可能是
A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
2．已知对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线为x－2y=0，则该双曲线的离心率为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或5
3.过双曲线的一个焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 （ ）
A． B． C．2 D．
4．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是 ( )
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x＞3) D.－＝1(x＞4)
解析：如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞3)．
答案：C
5如果方程表示双曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 （ ）
A． B．
C． D．
D．由题意知,.若,则双曲线的焦点在轴上,而在选择支A,C中,椭圆的焦点都在轴上,而选择支B,D不表示椭圆;
若,选择支A,C不表示椭圆,双曲线的半焦距平方,双曲线的焦点在轴上,选择支D的方程符合题意.
6、若椭圆+=1(m>n>0)和双曲线－=1(a>b>0)有相同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是
A.m－a B.(m－a) C.m2－a2 D.－
解析:|PF1|+|PF2|=2,|PF1|－|PF2|=2,
∴|PF1|=+ ,|PF2|=－.
∴|PF1|·|PF2|=m－a.
7. 设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.双曲线－=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，且直线PF1、PF2倾斜角之差为,则△PF1F2的面积为
A.16 B.32 C.32 D.42
解析:由题意可知|PF1|－|PF2|=6，∠F1PF2=,|F1F2|=10.
由余弦定理，得|F1F2|2=(|PF1|－|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
∴|PF1|·|PF2|=64.
∴S=×64sin=16,选A.
答案:A
9.下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①、②、③中的双曲线离心率分别为e1、e2、e3，则（ ）
A．e1 > e2 > e3 B．e1 < e2 < e3 C．e1＝e2 < e3 D．e1＝e3> e2
10.设椭圆的离心率为，右焦点F(c,0)，方程的两个实根分别为，则点
A. 必在圆上 B. 必在圆外
C.必在圆内 D.以上三种情况都有可能
二、填空题（本大题共7小题；每小题5分，共35分）
11．以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程为
12．双曲线的一个焦点是（0，2），则m的值是 。
13、已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∠PF1F2=90°,∠PF2F1=30°,则椭圆的离心率是__________.
解析:因为e===,
于是在△PF1F2中，由正弦定理知e==.
答案:
14. 在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．
15．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得| PQ | = | PF2 |，那么动点Q的轨迹是___圆______.
16．当ab<0时，ax2+by2+ab=0的离心率为 .
17．设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为_________.
三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18、（本大题满分12分）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆离心率与双曲线的离心率之比为3：7，求椭圆方程和双曲线方程。
设焦点在x轴上的椭圆方程为，
双曲线方程为，由已知得
∴椭圆方程为，
若焦点在y轴上，同样可得方程为，
。
19、（本大题满分12分）设P是以F1、F2为焦点的椭圆上的任一点，∠F1PF2．
（1）求证：； （2）若，求椭圆离心率．
解 （1）设PF1=r1，PF2=r2，F1F2=2c．
∵P是以F1、F2为焦点的椭圆上的点，
∴PF1 +PF2=r1+ r2=2a．
在△F1PF2中，由余弦定理得：
，
（当且仅当r1 =r2时，取最小值）．
（2）∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴椭圆离心率．
20．设椭圆的右焦点为，直线与轴交于点，若（其中为坐标原点）.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上的任意一点，为圆的任意一条直径（、为直径的两个端点），求的最大值．
20．（1）由题设知，，，
由，得．
解得．所以椭圆的方程为．
（2）设圆的圆心为，
则
．
从而求的最大值转化为求的最大值．
因为是椭圆上的任意一点，设
所以，即．
因为点，所以．
因为，所以当时，取得最大值12．
所以的最大值为11．
21．（本小题满分14分）设椭圆C：的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与轴正半轴于点P、Q，且．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：
相切，求椭圆C的方程．
解 （1）设椭圆C的焦距为2c，Q（x0，0），
P（x1，y1），由F（－c，0），A（0，b）得．
∵，∴，即．
又∵，
∴，
∴．
又∵点P在椭圆上，∴，整理得，
又∵，∴，即，
解得，故椭圆的离心率为．
（2）由（1）知，，故，
于是Q（）、F（），△AQF的外接圆圆心为
（），半径．
∵△AQF的外接圆与直线相切，
∴，解得a=2，∴，
故椭圆C的方程为．
22、(本小题满分15分)已知椭圆过点过点，且长轴长等于4，是椭圆的两个焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）圆是以为直径的圆，直线与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点，若，求的值。22、解：（I）由题意椭圆的长轴，
在椭圆上，
椭圆的方程为-------4分
（II）由直线l与圆O相切得-6分
设，由消去，
整理得
由题可知圆O在椭圆内，
所以直线必与椭圆相交，
--8分
----10分
-------12分
的值为----15分
②
③
M
N
F1
F2
F1
F2
F2
F1
M
N
N
M
①高二下文科数学自测题7
一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1．已知函数，若，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
2. 设，若，则( )
A. B. C. D.
3. 曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ）
A. B. C. 和 D. 和
设切点为，，
把，代入到得；把，代入到得，所以和
4、若，则（ ）
A. B. C. D.
D
5．如图，和分别是双曲线的
两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双
曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的
离心率为（ ）
A. B. C. D.
6．如图所示，为双曲线的左
焦点，双曲线上的点与关于轴对称，
则的值是（ ）
A．9 B．16 C．18 D．27
[解析]由定义知： ，选C
7.经过原点且与曲线y=相切的方程是( )
A. x+y=0 或 +y=0 B. x－y=0 或 +y=0
C. x+y=0 或 －y=0 D. x－y=0或－y=0
解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=,另一方面，y′=()′=,故
y′(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,y0(2)=－15,对应有y0(1)=3,y0(2)=,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,),从而得y′(A)= =－1及y′(B)= ,由于切线过原点，故得切线：lA:y=－x或lB:y=－.
答案：A
8、设，则( )
A．; B．;
C． D．
9.一个圆形纸片，圆心为，为圆内一定点，是圆周上一动点，把纸片折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于，则的轨迹是( )
A. 双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆
10.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且，则 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共7小题；每小题5分，共35分）
11若函数y=x·2x 且y’=0 ，则x=
12．.若抛物线y=x2－x+c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________.
解析：∵y′=2x－1，∴y′|x=－2=－5.
又P（－2，6+c），∴=－5.
∴c=4.
答案：4
13．已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x,y)满足，则|AC|+|BC|等于 ___．
14.给出下列命题：
(1)若函数f(x)=|x|，则f’(0)=0；
(2)若函数f(x)=2x2+1图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则=4+2Δx
(3)加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数；
(4)y=2cosx+lgx，则y’=2cosx·sinx+
其中正确的命题有 个
15.已知两点M(－5,0)，N(5,0)，给出下列直线方程：①5x－3y=0；②5x+3y－32=0;③x－y－4=0；④4x－3y+15=0，在直线上存在点P，满足|MP|=|PN|+6的所有直线方程是 . （把你认为正确的序号都填上）
16. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则
．
17、长度为的线段AB的两个端点A、B都在抛物线上滑动，则线段AB的中点M到轴的最短距离是 .
三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. （本小题满分12分）若直线y=3x+1是曲线y=x3－a的一条切线，求实数a的值.
19. （本小题满分12分）(1)曲线y=x3+3x2+6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程.
(2)点P在曲线y=x3－x+上移动，设点P处切线的倾斜角为，求的范围.
20. （本小题满分13分）已知曲线C1:y=－x2与C2:y= (x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.
21. （本小题满分13分）如图,已知不垂直于轴的动直线交抛物线于A、B两点,若A、B两点满足∠AQP=∠BQP,其中Q(-4,0),原点O为PQ的中
(1)求证:A、P、B三点共线;
(2)当=2时,是否存在垂直于的直线，使得被以AP为直径的圆所截得的弦长L为定值 若存在,求出的方程;若不存在,说明理由.
22（本小题满分15分）
已知椭圆的方程为：，其焦点在轴上，离心率.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点满足，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值.
（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点，使得为定值？
若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.
4 1 4 ②③ 3
18. 解：设切点为P（x0，y0），
对y=x3－a求导数是
=3x2，∴3x02=3.∴x0=±1.
（1）当x=1时，
∵P（x0，y0）在y=3x+1上，
∴y=3×1+1=4，即P（1，4）.
又P（1，4）也在y=x3－a上，
∴4=13－a.∴a=－3.
（2）当x=－1时，
∵P（x0，y0）在y=3x+1上，
∴y=3×（－1）+1=－2，即P（－1，－2）.
又P（－1，－2）也在y=x3－a上，
∴－2=（－1）3－a.∴a=1.
综上可知，实数a的值为－3或1.
19.解：
（1）=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，
∴x=－1时，
切线最小斜率为3，此时，
y=（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14.
∴切线方程为y+14=3（x+1），即3x－y－11=0.
（2）∵tan3x2－1 ，
∴tan∈［－1，+∞）.
当tan∈［0，+∞）时，∈［0，）；
当tan∈［－1，0）时，∈［，π）.
∴∈［0，）∪［，π）.
20.解：设l与C1相切于点P(x1, －x12),
与C2相切于Q(x2, (x2－2)2)
对于C1：y′=－2x,则与C1相切于点P的
切线方程为+x12=－2x1(x－x1),
即y=－2x1x+x12 ①
对于C2：y′=2(x－2),与C2相切于点Q的
切线方程为y－(x2－2)2=2(x2－2)(xx2),
即y=2(x2－2)x－x22+4 ②
∵两切线重合，∴－2x1=2(x2－2)且x12=－x22+4,
解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0
∴直线l方程为y=0或y=－4x+4
21.证明: (1)设,
则由已知得
∴
要证A、P、B三点共线,即证
即
即
即
而此式恒成立.
∴A、P、B三点共线.
(2)设,则由及圆心C,
半径,
假设存在满足题设条件.
则被⊙C截得的弦长L应有:
要使L为定值,只要
∴ 此时L=.
故存在直线 适合题意.
22.解：（1）由，，解得，
故椭圆的标准方程为. ………3分
（2）设,
则由，得，
即，
∵点M，N在椭圆上，
∴ ……6分
设分别为直线的斜率，由题意知，
，∴， ……8分
故
，
即（定值） ………10分、
（3）由（2）知点P是椭圆上的点，
该椭圆的左右焦点A（，0）、B（，0）
满足为定值，因此存在两个定点A、B，
使得为定值。 15分高二下文科数学自测题8
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.一个物体的运动方程为，其中S的单位是米， t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )
A、7米秒 B、6米/秒 C 、5米/秒 D、8米/秒
2.函数是减函数的区间为( )
A. (2，+∞) B.(一∞，2) c.(一∞，0) D. (0， 2)
3.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数y=f(x)的图象可能为 （ D ）
4.对于R上可导的任意函数，满足，则必有（ ）
A B
C D
5.己知双曲线方程为，过P (1. 0)的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有( )
A. 4条 B. 3条 c. 2条 D. 1条
6.己知函数y = f(x)的导函数y =f'(x)的图像如右，则( )
A. 函数有1个极小值点， 1个极小值点
函数有1个极小值点， 2个极小值点
C。函数有3个极大值点， 1个极小值点
D.函数有l个极大值点， 3个极小值点
7.在同→坐标系中，方程与 (a> b >0)的曲线大致是 ( D )
8过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线\，若L与双曲线M的两条渐近线
分别相交于点B、c，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是( )
A B C D
9.点P在椭圆上运动，Q、R分别在两圆和上运动，则的最大值为( )
A.3 B . 4 C .5 D. 6
10..己知所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，
且AD，BC， AD = 4， BC = 8， AB =10，
若tanADP+ 2 tanBCP=8，则点P在平面α内的轨迹是 ( )
A. 圆的一部分 B.双曲线的一部分
C .椭圆的一部分 D.抛物线的一部分
二、填空题(本大题共7小题:每小题5分，共35分)
11.函数f(x) = xlnx的单调递增区间是
12. 已知 ，则等于
13.若函数f(x) =+(α+6)x+ 1有极大值和极小值，则实数α的取值范围是
14.己知动圆圆心在抛物线x2=4y上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点
15. 己知二函数的导数为，,对于任意实数x，有，则的最小值为 2
16 f ( x ) = x3 - 3x +α有3个不同的零点，则实数α的取值范围是
17.椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径忽略不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是
三、解答题(本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骥)
18. (本小题满分12分)已知命题P: 函数在区间上是单调递增函数，命题Q:不等式对任意实数恒成立·若是真命题，求实数α的取值范围？
19.(本小题满分12分)己知过抛物线=2px(p>0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求的最大面积·
21(本小题满分13分〉己知抛物线E:(p>0)的准线方程是
(I) 求抛物线E的方程；
（2)过点F的直线l与抛物线E交于P、Q两点，设N(O，a)(a < 0)，且
PNQ90°恒成立，求实数的最大值。
22.(本小题满分15分)
设函数
(1)当a=0时，求的极值:
(2)设g(x)=，在上单调递增，求的取值范围；
(3)当时，求f(x)的单调区间.
③当时，，或，；
，，
④当，，，
当a=2时，在上单调递减。高二下文科数学自测题1
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． “”是“”的（ ）.
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
2．已知命题(R), 命题函数在区间上单调递增, 则下列命题中为真命题的是（ ）.
A. B. C. D.
3．方程=10,化简的结果是 （ ）
A. B. C. D.
4．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
5．椭圆和具有 （ ）
A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴
6.命题“”的否命题是( )．
A. B.
C. D.
7. 已知命题：，，则 （ ）
A．：， B．：，
C．：， D．：，
8．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是 （ ）
A． B． C． D．
9．已知＜4，则曲线和有 （ ）
A. 相同的准线 B. 相同的焦点 C. 相同的离心率 D. 相同的长轴
10. 椭圆上的点到直线的最大距离是 （ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上）
11．设是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则的
最大值为 4 ；最小值为 1 。
12．已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 。
13、命题“若 则方程有实数根”的逆命题是 _________________________________________ ．
14已知：对，恒成立，则实数的取值范围是
15. 有以下四个命题：
①两直线m,n与平面所成的角相等的充要条件是m//n；
②命题“，”的否定是，
③不等式上恒成立；
④设有四个函数，其中在R上是增函数的函数有3个.
其中真命题的序号是 .（漏填、多填或错填均不得分）
一．选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二．填空题
11 12
13
14 15
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本题满分12分）命题p：方程有一正根和一负根.
命题q：函数轴有公共点.
若命题“”为真命题，而命题“”为假命题，求实数的取值范围。
17．（本题满分12分）已知p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．
18．（本题满分12分）已知一个动圆与圆C： 相内切，且过点A（4，0），求这个动圆圆心的轨迹方程。
解:设动圆圆为M(x,y),半径为r,那么;,|AC||=8
因此点M的轨迹是以A、C为焦点，长轴长为10的椭圆．
a=5,c=4,b=3,其方程是：．
19．中心在原点，一焦点为F1（0，5）的椭圆被直线y=3x－2截得的弦的中点横坐标是，求此椭圆的方程。
20. （本题满分13分）已知为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点。
（1）求的最大值；
（2）若且的面积为，求的值；
解：（1）（当且仅当时取等号），
（2）， ①
又 ②
21（本题满分14分）在直角坐标系中，点到两点的距离之和为4，设点的轨迹为,直线与交于两点。
（Ⅰ）写出的方程; （Ⅱ）若，求的值。
解:（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，
故曲线C的方程为．
（Ⅱ）设，其坐标满足
消去y并整理得，
故．
若，即．
而，
于是，
化简得，所以．高二（下）文科数学自测题14
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题中的真命题是( )
A．若,则 B．若则
C．若则 D．若则
2．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是（ ）
A．不幸福的人们不拥有 B．不幸福的人们可以拥有
C．不拥有的人们也幸福 D．不拥有的人们不幸福．
3双曲线的一个焦点是（0，-3），则m的值为（ ）
(A) -1 （B） （C） （D）
4. 到两定点和的距离之和为4的点M的轨迹是 （ ）
A. 椭圆 B. 线段 C. 圆 D. 以上都不对
5．已知定义在实数集上的函数满足，且的导数在上恒有
，则不等式的解集为 （ ） A． B． C． D．
6.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数y=f(x)=lnx－x,在区间(0,e］上的最大值为
A.1－e B.－1 C.－e D.0
8、已知是上的单调增函数，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.如下左图是二次函数的部分图象，则函数在点（b,g(b)）处切线的斜率的最小值是（ ）
A．1 B. C.2 D.
10.椭圆C1：的左准线为，左、右焦点分别为、，抛物线C2的准线也为，焦点为，记C1与C2的一个交点为P，则等于（ ）
A B 1 C 2 D 与、的值有关
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。将答案填写在答题纸上。
11已知函数是定义在R上的奇函数,,,则不等式的解集是 .
12. 若函数在上有最大值，则实数的取值范围为_____________
13．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为__________．
14．过双曲线16x2―9y2=144的右焦点作倾斜角为的弦AB，则|AB|等于 .
15、设线段的两个端点分别在轴、轴上滑动，且，
若，则点的轨迹方程为
16已知、是三次函数的两个极值点，且，，则的取值范围是
17.在平面直角坐标系XOY中，O为坐标原点，定义两点P（x1,y1），Q(x2,y2)之间“直角距离”为d（P，Q）=|x1－x2|+|y1－y2|,已知B（1,0），点M为直线x－y+2=0上的动点，则d(B,M)的最小值为
三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分12分）
设函数．（1）求不等式的解集；
（2）对任意的，使成立，求实数的取值范围．
解：（1），----------------------------------3分
当 当
当
综上所述 ----------------------6分
(2)易得 - ---------------------8分
若对任意的，使成立，即-----------9分
即： ----------------------10分
故： ----------12分
19. （本题满分12分）8.今有一块边长的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按右图那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，值应为多少？
解：折成盒子后底面正三角形的边长为，高为
设：容积为V，则
令得（舍去）
当时，；当时，
时，
答：为时，盒子的容积最大为
20、（本大题满分13分）设点为平面直角坐标系中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点的距离比点P到轴的距离大.
(1)求点P的轨迹方程；
（2）若直线与点P的轨迹相交于A、B两点，且，求的值.
（3）设点P的轨迹是曲线C，点是曲线C上的一点，求以Q为切点的曲线C 的切线方程.
20、解：（1）过P作轴的垂线且垂足为N，由题意可知
而，，
化简得为所求的方程。……4分
（2）设，联立得
而， ……8分
（3）因为是曲线C上一点，
切点为，由求导得
当时
则直线方程为即是所求切线方程.……14分
21. （本小题满分14分）已知点，动点满足条件，记点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；
（2）若直线过点且与轨迹交于、两点.①设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
②过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围.
【解析】（1）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，∴，故轨迹E的方程为…………3分（2）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得
，设、，
∴， 解得 ……………5分
①∵
……………………7分
假设存在实数，使得，
故得对任意的恒成立，
∴，解得
∴当时，.
当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立，
综上，存在，使得. …………………………………………9分
②∵，∴直线是双曲线的右准线，…………………………10分
由双曲线定义得：，，
方法一：∴
…………………………………………11分
∵，∴，∴………………………………………12分
注意到直线的斜率不存在时，，综上，…13分
方法二：设直线的倾斜角为，由于直线与双曲线右支有二个交点，∴，
过作，垂足为，则，
∴ ………………………（10分）
由，得故： …………………（12分）
22、（本题满分14分）设函数
（1）若证明：。
（2）若不等式对于及恒成立，求实数的取值范围。
解：解：令则在上是增函数。
故即。
（2）原不等式等价于。
令则。21世纪教育网
令得列表如下（略）
当时，。
令则解得或。
y
x
O
1
1
a高二下文科数学自测题2
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】将方程转化为 , 根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足所以.
【答案】C
2.若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0), F2 (2,0)，则这个椭圆的离心率等于 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，
因为，，所以
==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C。
5．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若为直角三角形，则点P到x轴的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
6.椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，为坐标原点，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
7．设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
8.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在变点第二次变轨进入仍以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：
①; ②; ③; ④＜.
其中正确式子的序号是 （ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
9、已知椭圆上一点P，求P点到椭圆短轴端点距离的最大值为 （ ）
A、 B、2 C、 D、
10．椭圆(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(-a, 0), B(0,b)的直线的距离等于，则椭圆的离心率为（ ）.
A、 B、 C、 D、
分析:本题条件不易用平面几何知识转化，因而过A、B的方程为，左焦点F(-c,0)，则，化简，得5a2-14ac+8c2=0 得或（舍），
∴ 选A.
11. 在平面直角坐标系XOY中，已知三角形 ABC 顶点 和 ，顶点B 在椭圆上，则 _____．
12．椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .
【答案】
13.若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为_
14.过点引椭圆的弦,则弦的中点N的轨迹方程是
15.已知F1、F2是椭圆=1(5＜a＜10)的两个焦点，B是短轴的一个端点，则△F1BF2的面积的最大值是
答案
一．选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二．填空题
11 12
13 14
15
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.若长度为8的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，点M在AB上且，求点M的轨迹方程。
17.已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，求.
【解析】依题意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，
故有b＝3。
【答案】3
18.已知椭圆的离心率，求k的值。
19.设点在椭圆的长轴上，点是椭圆上任意一点． 当的模最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，求实数的取值范围．
解：设为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故．
因为，所以
推出．
依题意可知，当时，取得最小值．而，
故有，解得．
又点在椭圆的长轴上，即． 故实数的取值范围是．
20. 已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 .斜率为1的直线l与椭圆G 交于A,B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P .
（1）求椭圆G 的方程；
（2）求PAB 的面积.
解：（1）由已知得 解得 又
所以椭圆G的方程为
（2）设直线 的方程为 由 得 ①
设A、B的坐标分别为 AB中点为E ，
则 ，
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率
解得m=2.此时方程①为 解得
所以 所以|AB|= .
此时，点P（—3，2）到直线AB： 的距离
所以△PAB的面积S=
21．设分别是椭圆C： 的左右焦点
（1）设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程
（3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为 试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。
解：（1）由于点在椭圆上，
2=4,
椭圆C的方程为
焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）
（2）设的中点为B（x, y）则点
把K的坐标代入椭圆中得
线段的中点B的轨迹方程为
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称
设
，得
==
故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，梅川高中2012年高二下文科数学测自测题9
一、选择题本大题共10个小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1.若函数f（x）=2x2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx，1+Δy），则等于 ( )
A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2Δx2
2．过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为 （ ）
A． B． C． D．
3．观察若定义在上的函数满足，记为的导函数，则( )
A． B． C． D．
4．已知命题：；命题：．则下列判断正确的是 ( )
A．是真命题 B．是假命题
C．是假命题 D．是假命题
5．已知f（x）=（x－1）2+2，g（x）=x2－1，则f［g（x）］
A. 在（－2，0）上递增 B .在（0，2）上递增
C. 在（－，0）上递增 D. 在（0，）上递增
6．已知函数，则的大致图象是 （ ）
A B C D
7、函数＝ x +2cosx在[ 0 ,]上的最大值点为 （ ）
A 0 B C D
8.设函数则 ( )
A．在区间内均有零点。 B．在区间内均无零点。
C．在区间内无零点，在区间内有零点。
D． 在区间内有零点，在区间内无零点。
9、下列说法正确的是 （ ）
A、函数在闭区间上的极大值一定比极小值大.
B、函数在闭区间上的最大值一定是极大值.
C、对于函数，若，则无极值.
D、函数在区间上一定存在最值.
10. 设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,恒成立,则称函数在上为“凸函数”.已知当时,在上是“凸函数”.则在上 ( )
A.既有极大值,也有极小值 B.既有极大值,也有最小值
C.有极大值,没有极小值 D.没有极大值,也没有极小值
二．填空题:本大题共7个小题，每小题5分，共35分，将答案填写在题中的横线上.
11.在处的导数值是___________.
12．函数y=x+2cosx在区间[0，]上的最大值是 。
其中正确的判断是_____________ __.
14．设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在 处的切线的斜率为 0
15.如果函数y=f（x）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:
①函数y=f（x）在区间（－3,－）内单调递增;
②函数y=f（x）在区间（－,3）内单调递减;
③函数y=f（x）在区间（4,5）内单调递增;
④当x=2时,函数y=f（x）有极小值;
⑤当x=－时,函数y=f（x）有极大值.
则上述判断中正确的是_________________.
16、设函数，（是两两不等的常数），则
= 。
17、给出下列命题：
①，使得； ②曲线表示双曲线；
③的递减区间为 ④对，使得
其中真命题为 （填上序号）
三．解答题:（本大题共5个小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．（共12分）设函数
（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）若函数f（x）在区间（－∞，1）上是增函数，求实数a的取值范围.
解：（1）当a=1时，
令
列表
x （－∞，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞）
+ 0 － 0 +
极大值 极小值
∴f（x）的极大值为f（1）=5，f（x）的极小值为f（2）=4
（2）
①若a=0，则上单调递增，满足题意
②若a≠0，则令上是增函数
即当x＜1时，≥0恒成立若a＞0，则只须
若a＜0，则上不是增函数
综上所述，实数a的取值范围是[0，1]
19．已知函数处有极值，处的切线l不过第四象限且倾斜角为，坐标原点到切线l的距离为
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值.
解：（Ⅰ）由
有极值， ①
处的切线l的倾斜角为 ②
由①②可解得a =－4,b = 5.
设切线l的方程为y = x + m，由坐标原点（0，0）到切线l的距离为，可得m =±1，
又切线不过第四象限，所以m =1，切线方程为y = x + 1∴切点坐标为（2，3），
故a=－4,b = 5,c =1.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，∴函数在区间[－1，1]上递增，在上递减，又，
∴在区间上的最大值为3，最小值为－9.
20.已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
求椭圆C的方程；
E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
解 ：（Ⅰ）由题意，c＝1,可设椭圆方程为。
因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。
所以椭圆方程为 ．
（Ⅱ）证明 设直线ＡＥ方程：得，代入得
设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，
所以，。
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得
，。
所以直线EF的斜率。
即直线EF的斜率为定值，其值为。
21.如图所示，曲线段OMB是函数f（x）=x2（0（1）试用t表示切线PQ的方程；
（2）试用t表示△QAP的面积g（t），
若函数g（t）在［m，n］上单调递减，试求出m的最小值.
解：（1）（x）=2x，
∴k=2t，切线PQ的方程为
y－t2=2t（x－t），即2tx－y－t2=0.
（2）由（1）可求得P（，0），Q（6，12t－t2），
∴g（t）=S△QAP=（6－t）（12t－t2）=t3－6t2+36t（0考虑到0∴m的最小值为4.
22、已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若1是其中一个零点，求的取值范围；
（III）若，试问过点（）可作多少条直线与曲线相切？请说明理由。
解:（Ⅰ）∵，∴,∵在上是减 4分
（Ⅱ）有（1）知,∵是的一个零点,∴，则
∵的两个根分别为和.∵在上是增函数且在上有三个零点.∴，即有∴.
故的取值范围为 8分
（III）当时，得,设过点（）与曲线g (x)的切线的切点坐标为
∴，即,∴
令,∴=0得,∴在（0，2）上单调递减，在（2，）上单调递增,∴在时有唯一的极小值，也是最小值.又，h(2)=ln2-1<0，,∴有两实根，即与x轴有两个交点,∴过点（）可作2条曲线的切线. 15分
O
y
x
y
x
y
O
x
O
x
y
O
20070410高二（下）文科数学自测题13
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1. 命题 “有些三角形是等腰三角形”，则是（ ）
A．有些三角形不是等腰三角形 B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形不是等腰三角形 D．所有三角形是等腰三角形
2．已知双曲线的实轴在轴上且焦距为，则双曲线的渐近线的方程为（ ）
A. B. C. D.
3、 1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星.卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km，远地点为n km地球的半径为R km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于（ ）
A.2 B. C.2mn D.mn
4．若a，b∈R，则使|a|＋|b|＞1成立的充分不必要条件是( )
A．|a＋b|1 B．|a|且|b| C．a1 D．b＜－1
5．点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离最短时的坐标为 （ ）
A． （,） B. （1，-1） C.（） D. （1,1）
6．设在曲线，则 （ ）
A． B．
C．上为增函数 D．上为减函数
7．已知点在曲线上，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8．圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与底面半径的比为（ ），才能使材料最省？
A． B．2 C． D．3
9．若，则下列各结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知两点M（－5，0），N（5，0），若直线上存在点P ，使 ，则称该直线为“B型直线”。给出下列直线 :①, ②, ③, ④,其中为“B型直线”的是 （ ）
①③ B．①② C．③④ D．①④
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。将答案填写在答题纸上。
11．曲线在点处的切线方程为 ．
12．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，线段的中点的纵坐标为2，则线段长为 ．
13．已知命题“”，命题“”，若命题“且”是真命题，则实数的取值范围是 .
14.已知椭圆与双曲线具有相同的焦点、，设两条曲线的一个交点为，∠，则双曲线的离心率为 .
15.设抛物线的焦点为，准线为，
点在抛物线上，，垂足为，且，
则的值为
16.已知函数在上单调递减，在上单调递增，且函数的导数记为，有以下结论（ ）
① 是方程的根 ② 1是方程的根 ③ 有极小值 ④有极大值 ⑤ 其中正确的结论有 （只填序号）
17．有以下命题：①一个命题的原命题为假，则它的否命题也一定为真；
②椭圆的离心率为，则越接近于1，椭圆越圆；越接近于0，椭圆越扁；
③不是奇函数的函数的图像不关于原点对称；
④已知函数的定义域为，若在定义域内有极大值，则在定义域内必有最大值.其中，错误的命题是 .（写出所有你认为错误的命题的序号）
三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分12分）一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线所得的弦长为，求抛物线的方程。
19. (本题满分12分)已知，且，求证：．
20．(本题满分13分)某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20 m，拱顶距水面6 m，桥墩高出水面4 m，现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18 m，目前吃水线上部分中央船体高5 m，宽16 m，且该货船在现在状况下还可多装1000 t货物，但每多装150 t货物，船体吃水线就要上升0.04 m，若不考虑水下深度，该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么
21．(本题满分14分)设椭圆 C1：（）的一个顶点与抛物线 C2： 的焦点重合，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点 F2 的直线 与椭圆 C 交于 M，N 两点．
（I）求椭圆C的方程；
（II）是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由；
（III）若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦，MN//AB，求证： 为定值．
22．(本题满分14分)已知函数=，在x＝1处取得极值2．
(1)求函数的解析式；
(2)m满足什么条件时，区间为函数的单调增区间？
(3)设直线l为曲线=的切线，求直线l的斜率的取值范围．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A D D A C B D B
11．____x-y+2=0_____________ 12．_____________________
13．______________ 14．_____________________
15．________2_____________16．___①②③④⑤____________
17．_____①②④___________
三、解答题
18．
解：设抛物线方程为
将直线方程代入抛物线方程，并整理得：
设方程的两个根为 ， 则根据韦达定理有
由弦长公式得：
即：
故所求抛物线的方程
19．
证明：因为，且，
所以，，要证明原不等式成立，
只需证明，
即证，从而只需证明，
即证，
因为，，
所以成立，故原不等式成立．
20．
解：如下图，建立直角坐标系，设抛物线方程为y=ax2，
则A（10，－2）在抛物线上，
∴－2=ax2，a=－，方程即为y=－x2
让货船沿正中央航行.
∵船宽16 m，而当x=8时，y=－·82=1.28 m，
∴船体在x=±8之间通过.由B（8，－1.28），
∴B点离水面高度为6+（－1.28）=4.72（m），
而船体水面高度为5 m，
∴无法直接通过.又5－4.72=0.28（m），0.28÷0.04=7，
而150×7=1050（t），
∴要用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降
21．
解：椭圆的顶点为，即
，解得，
椭圆的标准方程为 ……4分
（2）由题可知,直线与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．
②设存在直线为，且
由得
，，
=
所以，故直线的方程为
或 …… 9分
（3）设,
由消去y，并整理得： ，
| AB|=，
∴ 为定值 … 14分
22．解： (1)已知函数=，
.
又函数在x=1处取得极值2
即
当a=4,b=1,
，
当，..
(2)由.
x (－1，1) 1
－ 0 + 0 －
极小值－2 极大值2
所以的单调增区间为.若为函数的单调增区间，则有 解得
即时，为函数的单调增区间.
(3)，.
设切点为P(x0, y0),则直线l的斜率为
.
令，则直线l的斜率， .
F
A
B
x
y
l高二 (下)文科数学自测题10
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1． “”是“或”的（ ）
A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
2、已知命题，则，那么“”是（ ）
A、若，则 B、若，则不一定有
C、若，则 D、若，则
3.双曲线的焦点到渐近线的距离为 （ ）
A. B. C. D.
4. 抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值是（ ）
A． B． C．8 D．
5．已知点M(x, y)在(x－2)2+2y2=1上，则的最大值为( )
A B C D
6．下列结论正确的是( )
当且时，则 当时，
当≥时，的最小值为 当时，无最大值
7.已知曲线在点M处的瞬时变化率为6，则点M的坐标是（ ）
A、（2，8） B、（6，48） C、（4，24） D、不确定
8、双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8,则半焦距的取值范围是（ ）
A.［4-4,4) B.［4-4,2］ C.(4-4,2) D.［4-4,2)
9、已知函数f(x)＝2ln3x＋8x，则的值为（ ）
A、－20 B、10 C、－10 D、20
10.点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（ ）
A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 直线
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分。将答案填写在答题纸上。
11、已知, 则x2y的最大值为 __________36
12. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若
，则=__________
13．已知P（x0，y0）是抛物线y2=2px(p>0)上的一点，过P点的切线的斜率可通过如下方式求得：在y2=2px两边同时对x求导，得:2yy′=2p，则，所以过P的切线的斜率：,试用上述方法求出双曲线在处的切线方程为_______________ .
14.已知双曲线的两个焦点，是此双曲线上的一点，且，，则双曲线的方程为 .
15．已知函数在上为减函数，则的取值范围为 。
16．经过点的直线与抛物线交于不同两点，抛物线在这两点处的切线互相垂直，则直线的斜率是
17、如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北
偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点
到A的距离比到B的距离远2 km．现要在曲线PQ上选一处
M建一座码头，向B、C两地转运货物．那么这两条公路MB、
MC的路程之和最短是 km
三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．
解：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，因为x＝±1是函数f(x)的极值点，所以x＝±1是方程f′(x)＝0即3ax2＋2bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系，得又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1.③ 由①②③，
解得a＝，b＝0，c＝－. (2)因为f(x)＝x3－x，所以f′(x)＝x2－＝(x－1)·(x＋1)．当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－119. (本小题满分12分)抛物线与过点的直线相交于两点，为原点.若和的斜率之和为1，（1）求直线的方程; （2）求的面积.
解：（1）显然直线的斜率必存在，设直线的方程为，,
由得,
，解得
所以直线的方程为 ………………6分
（2）…………12分
20、(本小题满分13分)某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高
科技工业园区．已知⊥，∥，且，,曲线
段是以点为顶点且开口向上的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落
在，上，且一个顶点落在曲线段上．问：应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到）．
20、以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）
依题意可设抛物线的方程为x2=2py，且C（2,4）.∴22=2 p·4，∴p =.
故曲线段OC的方程为y=x2().
设P(x，x2)()是曲线段OC上的任意一点，则，
∴工业园区面积S=·==8-x3-2x2+4x.
∴S′=-3x2-4x+4，令S′=0x1=, x2=-2，又∵0x＜2，∴x=.
当x∈［）时，S′＞0，S是x的增函数；
当x∈（）时，S′＜0，S是x的减函数.
∴x=时，S取到极大值，此时，，S==≈9.5(km2).而当x=0时，S=8.
所以当x=即，，矩形的面积最大为Smax=9.5(km)2.
答：把工业园区规划成长为km,宽为km时，工业园区的面积最大，最大面积为9.5(km)2.
21．（本小题满分13分）设函数（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，取极小值．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若对任意的，恒有成立，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，函数图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（IV）设表示的曲线为G，过点作曲线G的切线，求的方程．
21．[解答]（Ⅰ）∵对任意实数，
∴，
即恒成立，，
，
时，取极小值
，解得，
∴所求的函数解析式即为； …………4分
（Ⅱ）由已知，， ∴在区间上的最小值为，
依题意恒成立，∴，
解得即为所求的范围； …………7分
（Ⅲ）假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，
则由知两点处的切线斜率分别，
且，、，，矛盾，故假设不成立，
∴当时，图象上不存在这样的两点使结论成立； …………10分
（IV）设切点为P，切线方程则为，
且，消去得，
∴，∴，，
即切点为（3，6），∴所求的切线方程为； …………14分
22. （本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M、N两点在椭圆C上，且，定点A（－4，0）.
（1）求证：当时.，；
（2）若当时有，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，当M、N两点在椭圆C运动时，当 的值为6时, 求出直线MN的方程.
22．解：（1）设，则，
当时，， （2分）
由M，N两点在椭圆上，
若，则（舍去）， （4分）
。（5分）
（2）当时，不妨设 （6分）
又，， （8分）
椭圆C的方程为。 （9分）
（3）因为=6, （10分）
由(2)知点F(2,0), 所以|AF|=6, 即得|yM-yN|= （11分）
当MN⊥x轴时, |yM-yN|=|MN|=, 故直线MN的斜率存在, （12分）
不妨设直线MN的方程为
联立，得，
=, 解得k=±1。
此时，直线的MN方程为，或。 （14分）高二下文科数学自测题4
一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1．下列有关命题的说法正确的是 （ ）
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”
B．命题“若，则”的逆否命题为真命题
C．命题“存在使得”的否定是：“对任意 均有”
D．“”是“”的必要不充分条件
2．椭圆 (a>b>0)离心率为,则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
3.对于椭圆C1：( ab0)焦点为顶点，以椭圆C1的顶点为焦点的双曲线C2，下列结论中错误的是（ ）
A. C2的方程为 B. C1、C2的离心率的和是1
C. C1、C2的离心率的积是1 D.短轴长等于虚轴长
4．到定点A(5, 0)及定直线l：x=的距离之比为的点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，已知椭圆中心在原点，F是焦点，A为顶点，准线l交x轴于点B，点P, Q在椭圆上，且PD⊥l于D，QF⊥AO, 则椭圆的离心率是
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
6、若双曲线与有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，则双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
7.和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是
A． B． C． D．
8.下列命题是真命题的是 （ ）
A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
B．到定直线和定点F(c，0)的距离之比为的点的轨迹是椭圆
C．到定点F(－c，0)和定直线的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹 是左半个椭圆
D．到定直线和定点F(c，0)的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是椭圆
9.若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是（ ）
A.4 B.2 C.1 D.
10知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，
且,则此双曲线的离心率e的最大值为：（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共7小题；每小题5分，共35分）
11．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则
12．已知, A、B分别在y轴和x轴上运动, O为原点, 则动点P的轨迹方程是
13、与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程
是 或 。
14.点P在以F1、F2为焦点的椭圆上运动, 则△PF1F2的重心G的轨迹方程是
15．若椭圆经过原点,且焦点为,则其离心率为
16．对于椭圆和双曲线有下列命题：
①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;
②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;
③双曲线与椭圆共焦点;
④椭圆与双曲线有两个顶点相同.
其中正确命题的序号是 .
17．已知点A(1,0)，B(2,0)．若动点M满足·＋||＝0，则点M的轨迹方程为________．
三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18、（本大题满分12分）
已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；
命题q：双曲线的离心率，若p、q有且只有一个为真，求m的取值范围.
18.解：将方程改写为，
只有当即时，方程表
示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，
所以命题p等价于；………4分
因为双曲线的离心率，
所以，且1，解得，
所以命题q等价于；……8分
若p真q假，则；
若p假q真，则
`19、（本题满分12分）已知椭圆，
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程。
（2）过A（2，1）的直线L与椭圆相交，求L被截得的弦的中点轨迹方程；
19.解(1)设这些平行弦的方程为y=2x+m,弦的中点为M(x,y).
联立直线方程和椭圆方程:y=2x+m,消去y得,
,
因此=-,
.
M的坐标是:x=,y=2x+m,,
消去m得:y=.
(2)设弦的端点为P(),Q(),其中点是M(x,y).
因此:=,
化简得: (去除包含
在椭圆内部的部分).
20、（本大题满分13分）已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上.
（1）求双曲线C的方程；
（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程.
20、解：（1）由已知双曲线C的焦点为
由双曲线定义
所求双曲线为…………6分
（2）设，因为、在双曲线上
①－②得
弦AB的方程为
即
经检验为所求直线方程. ……12分
21．（本题13分）已知双曲线中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上.离心率e=
且过点（４，）,（1）求双曲线方程.
（2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：
21 [证明] ∵e＝，则＝2，∴a＝b.
故可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
由于双曲线过点(4，－)，
∴42－(－)2＝λ.
∴λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6，即－＝1.
由双曲线方程可得F1(－2，0)，F2(2，0)，M(3，)，N(3，－)．
∴kF1M＝，kF2M＝.
∴kF1M·kF2M＝－1.
∴F1M⊥F2M.
22.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，
为动点，且直线与的斜率之积等于.
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线、分别与直线交于点，问是否存在点，使
，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）设，则,
即为动点的轨迹方程. ----- 5
（Ⅱ）设直线的方程
代入得
---- 7
设则是方程的两根，
有,
,
把代入得
,
把代入得
, ------- 10
，
即 , ----- 12
整理得,
解得或，----- 13
，，
故存在点满足题意.- ------15
①
②高二下文科数学自测题6
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件．
C．命题“使得 ( http: / / www. / )”的否定是：“ 均有 ( http: / / www. / )”．
D．命题“若，则 ( http: / / www. / )”的逆否命题为真命题．
2.设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为 （ ）
A.（a，0） B.（0，a） C.（0，） D.随a符号而定
3．抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．0
4.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．
A.2 B.3 C. D.
解析：如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为P到F的距离，由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2，故选A.
5、若抛物线C以坐标原点为顶点，以双曲线的顶点为焦点且过第二象限，则抛物线C的准线方程是（ ）
A．x=3 B．y=－4 C．x=3或y=－4 D．x=4或y=－3
6. 直线与曲线的交点个数为（ ）
A. 4个 B 1个 C. 2个 D. 3个
7．以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e为
A.－1 B．2－ C. D.
[解析] 由题意知，MF1⊥MF2，|MF2|＝|OF2|＝c，又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝c，
由椭圆的定义，|MF1|＋|MF2|＝2a，∴c＋c＝2a，∴e＝＝－1.
8.在直角坐标系中，到点（1，1）的距离与到直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是
A.直线 B.圆 C.抛物线 D.射线
9．设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
10．如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A．B，交其准线于点C，若，且，则此抛物线的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共7小题；每小题5分，共35分）
11、在抛物线 内，通过点（2，1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是________．
解析：设所求直线与y2=16x相交于点A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2).
即kAB=8.
故所求直线方程为y=8x－15.
答案：8x－y－15=0
12﹑过抛物线（）的焦点F作倾斜角为θ的弦，则弦长等于_____
13.已知动点M满足，则M点的轨迹曲线为 抛物线 .
14. 已知直线与抛物线交于A、B两点，若抛物线上存在点M，使△MAB的重心恰好是抛物线C的焦点F，则 2 ．
15．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．
解析：抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，准线方程：x＝－1，如图，
则直线AB的方程为y＝x－1，由得
x2－6x＋1＝0，①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，
∴x1x2＝1，x1＝3＋2.
根据抛物线定义，得|FA|＝x1＋1，
|FB|＝x2＋1(x1>x2)，
∴＝＝＝＝x1＝3＋2.
16.已知抛物线，过P（4，0）的直线与抛物线交于A(,)﹑B()两点，则+的最小值是_____
17﹑点P到A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线l：y＝x的距离等于，则这样的点P的个数为________．
解析：由抛物线定义，知点P的轨迹为抛物线，其方程为y2＝4x，设点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)()，由点到直线的距离公式，知＝，即y－4y0±4＝0，易知y0有三个解，故点P个数有三个．
答案：3
三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18、设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O。
19、是否存在同时满足下列两个条件的直线：①与抛物线 有两个不同的交点A,B ；②线段AB 被直线 垂直平分．若不存在，说明理由；若存在，求出的方程.
20.已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.
(1)求a的取值范围.
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.
21.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线被抛物线C所截得的弦AB的中点M的纵坐标为2，（1）求抛物线C的方程；（2）试问：是否存在定点，使过的动直线与抛物线C交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过原点？
22、Ａ、Ｂ是抛物线上的两点，且OAOB，
（1）求Ａ、Ｂ两点的横坐标之积和纵坐标之积；
（2）求证：直线AB过定点；
（3）求弦AB中点P的轨迹方程；
（4）求AOB面积的最小值；
8x－y－15=0 抛物线 2 3＋2 32 3
18.证：因为，
而
所以所以A、B、O 三点共线。
即直线AC经过原点O。
19.解：同时满足①、②两个条件的直线存在。
直线与直线 垂直，
设直线方程为：，
又直线与抛物线 有两个不同的交点
A,B，
，
由韦达定理得
，
线段AB 被直线1垂直平分
A、B中点M（）在直线1上，
，，
直线方程为：
20解：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程
得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0
∴|AB|=≤ 2p.
∴4ap+2p2≤ p2,即4ap≤－p2
∵p＞0又,
∴a≤－.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y),
由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,
则有x==p.
∴线段AB的垂直平分线的方程为
y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）?
点N到AB的距离为
从而S△NAB=
当a有最大值－时，S有最大值为p2.
当PQ的斜率不存在时,可以验证结论仍然成立.
22.解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)．
(1)∵OA⊥OB，∴，∴x1x2＋y1y2＝0.
∵y＝2px1，y＝2px2，∴·＋y1y2＝0.
∵y1≠0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.
(2)∵y＝2px1，y＝2px2，
∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)．
∴＝，∴kAB＝.
∴直线AB：y－y1＝(x－x1)．
∴y＝＋y1－.
∴y＝＋.
∵y＝2px1，y1y2＝－4p2，∴y＝＋.
∴y＝(x－2p)．∴AB过定点(2p,0)．
(3)如图，设OA：y＝kx，代入y2＝2px得：
x＝0或x＝，∴Aeq \b\lc\(\rc\)().
同理，以－代k得B(2pk2，－2pk)．
设中点坐标P(x0，y0)，
∴.
∵k2＋＝eq \b\lc\(\rc\)()2＋2，∴＝eq \b\lc\(\rc\)()2＋2，
即y＝px0－2p2.
∴中点P的轨迹方程为y2＝px－2p2.
(4)设M(2p,0)，S△AOB＝S△AOM＋S△BOM
＝|OM|(|y1|＋|y2|)＝p(|y1|＋|y2|)
≥2p＝4p2，当且仅当|y1|＝|y2|＝2p时，等号成立．
F
x
y
A
B
C
O
x
y
A
B
O
M
P
