广东省广州市天河区普通高中2022届高三毕业班综合测试（一模）数学试题( Word版含简答）

2022届天河区普通高中毕业班综合测试（一）
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
设集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.
已知，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
3.
设，则“”是“”的
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
4.
若，则
A.
B.
C.
1
D.
5.
等比数列前项和为，若，，则公比的值为（
）
A.
B.
1
C.
或1
D.
或1
6.
下列表述中，正确的个数是（
）
①将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；
②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位；
③设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于0，，之间的线性相关程度越高；
④在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大．
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
7.
若关于的不等式，对恒成立，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
8.
通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，笫二部分为由阿拉伯数字与英文字母组成的序号．其中序号的编码规则为：①由0，1，2，…，9这10个阿拉伯数字与除，之外的24个英文字母组成；②最多只能有2个位置是英文字母，如：粤，则采用5位序号编码的粤牌照最多能发放的汽车号牌数为（
）
A.
586万张
B.
682万张
C.
696万张
D.
706万张
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.
已知函数，，则下列结论正确是（
）
A.
函数的图象关于原点对称，函数的图象关于轴对称
B
对任意，且，都有
C.
对任意，且，都有
D.
函数与既无最小值，也无最大值
10.
函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（
）
A.
B.
函数的零点为
C.
函数图象的对称轴为直线
D.
若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
11.
在数列中，若（，，为常数），则称数列为“开方差数列”，则下列判断正确是（
）
A.
是开方差数列
B.
若是开方差数列，则是等差数列
C.
若是开方差数列，则也是开方差数列（，为常数）
D.
若既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
12.
对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（
）
A.
B.
C.
向量与共线
D.
过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
若复数满足，则的虚部为______.
14.
的展开式中，常数项为______．（用数字作答）
15.
过定点作曲线的切线，恰有2条，则实数的取值范围是______．
16.
复印纸幅面规格采用系列，其幅面规格为：①所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；；如此对开至规格，现有纸各一张，若纸的幅宽为，则纸的面积为______，这9张纸的面积之和等于______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
已知数列中，，其前项和为，且对任意，都有．
（1）求、、，并求数列的通项公式．
（2）求数列的前项和．
18.
如图，在四棱柱中，平面平面，底面是菱形，，E为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.
在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且2c－b＝2acos
B，a＝．
（1）若c＝，求的面积；
（2）若为锐角三角形，求b－c的取值范围．
20.
已知椭圆：的离心率为，且过点．
（1）求椭圆方程；
（2）斜率为l的直线与椭圆交于、两点，以为底边作等腰三角形，顶点为，求△的面积．
21.
绿水青山就是金山银山，生态环境日益受大家重视．2021年广州市某公司为了动员职工积极参加植树造林，在3月12日植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满15棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满25棵获得一次乙箱内摸奖机会．每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中个红球、个黄球、5个黑球（），乙箱内有4个红球和6个黄球．每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．
（1）经统计，每人的植树棵数服从正态分布，现有100位植树者，请估计植树的棵数在区间内的人数（结果四舍五入取整数）；
（2）某人植树50棵，有两种摸奖方法：方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大？
附参考数据：若，则，．
22.
设函数，其中．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，
（ⅰ）证明：函数恰有两个零点；
（ⅱ）设为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：．
2022届天河区普通高中毕业班综合测试（一）
数学
答案版
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
设集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：D
2.
已知，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：B
3.
设，则“”是“”的
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
答案：B
4.
若，则
A.
B.
C.
1
D.
答案：A
5.
等比数列前项和为，若，，则公比的值为（
）
A.
B.
1
C.
或1
D.
或1
答案：C
6.
下列表述中，正确的个数是（
）
①将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变；
②设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位；
③设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，那么越接近于0，，之间的线性相关程度越高；
④在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值，若的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大．
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
答案：C
7.
若关于的不等式，对恒成立，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：A
8.
通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，笫二部分为由阿拉伯数字与英文字母组成的序号．其中序号的编码规则为：①由0，1，2，…，9这10个阿拉伯数字与除，之外的24个英文字母组成；②最多只能有2个位置是英文字母，如：粤，则采用5位序号编码的粤牌照最多能发放的汽车号牌数为（
）
A.
586万张
B.
682万张
C.
696万张
D.
706万张
答案：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.
已知函数，，则下列结论正确是（
）
A.
函数的图象关于原点对称，函数的图象关于轴对称
B
对任意，且，都有
C.
对任意，且，都有
D.
函数与既无最小值，也无最大值
答案：AB
10.
函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（
）
A.
B.
函数的零点为
C.
函数图象的对称轴为直线
D.
若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
答案：ACD
11.
在数列中，若（，，为常数），则称数列为“开方差数列”，则下列判断正确是（
）
A.
是开方差数列
B.
若是开方差数列，则是等差数列
C.
若是开方差数列，则也是开方差数列（，为常数）
D.
若既是开方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
答案：CD
12.
对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（
）
A.
B.
C.
向量与共线
D.
过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
答案：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
若复数满足，则的虚部为______.
答案：.
14.
的展开式中，常数项为______．（用数字作答）
答案：
15.
过定点作曲线的切线，恰有2条，则实数的取值范围是______．
答案：
16.
复印纸幅面规格采用系列，其幅面规格为：①所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；；如此对开至规格，现有纸各一张，若纸的幅宽为，则纸的面积为______，这9张纸的面积之和等于______．
答案：
①.
②.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.
已知数列中，，其前项和为，且对任意，都有．
（1）求、、，并求数列的通项公式．
（2）求数列的前项和．
答案：（1），；（2）
18.
如图，在四棱柱中，平面平面，底面是菱形，，E为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
答案：（1）证明见解析；（2）.
19.
在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且2c－b＝2acos
B，a＝．
（1）若c＝，求的面积；
（2）若为锐角三角形，求b－c的取值范围．
答案：（1）；（2）(，)．
20.
已知椭圆：的离心率为，且过点．
（1）求椭圆方程；
（2）斜率为l的直线与椭圆交于、两点，以为底边作等腰三角形，顶点为，求△的面积．
答案：（1）；（2）.
21.
绿水青山就是金山银山，生态环境日益受大家重视．2021年广州市某公司为了动员职工积极参加植树造林，在3月12日植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满15棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满25棵获得一次乙箱内摸奖机会．每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中个红球、个黄球、5个黑球（），乙箱内有4个红球和6个黄球．每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．
（1）经统计，每人的植树棵数服从正态分布，现有100位植树者，请估计植树的棵数在区间内的人数（结果四舍五入取整数）；
（2）某人植树50棵，有两种摸奖方法：方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大？
附参考数据：若，则，．
答案：（1）人；（2）第二种方法所得奖金期望值大.
22.
设函数，其中．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，
（ⅰ）证明：函数恰有两个零点；
（ⅱ）设为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：．
答案：（1）上单调递增；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.