广西壮族自治区玉林市11高中2022届高三上学期9月月考数学（文科）试题 (Word版含答案解析)

2021-2022学年广西玉林十一中高三（上）月考数学试卷（文科）（9月份）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．在复平面内，复数z满足z（1﹣i）＝2，则z的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知集合A＝{（x，y）|y＝x3}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B的元素个数是（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
3．已知cos（α﹣π）＝，﹣π＜α＜0，则tanα＝（　　）
A．
B．
C．
D．﹣
4．给出下列两个命题：命题p：“a＝0，b≠0”是“函数y＝x2+ax+b为偶函数”的必要不充分条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（　　）
A．p∧q
B．p∧￢q
C．p∨q
D．p∨￢q
5．设a＝log318，b＝log424，c＝，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜c＜a
D．c＜b＜a
6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．函数f（x）＝ex?ln|x|（其中e是自然对数的底数）的大致图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x的值为（　　）
A．3或﹣2
B．2或﹣2
C．3或﹣1
D．﹣2或﹣1或3
10．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．函数g（x）的最小正周期是
B．函数g（x）的图象关于直线x＝对称
C．函数g（x）在（）上单调递减
D．函数g（x）在（0，）上的最大值是1
11．已知双曲线的左、右焦点为F1、F2在双曲线上存在点P满足，则此双曲线的离心率e的取值范围是（　　）
A．1＜e≤2
B．e≥2
C．
D．
12．已知三棱锥D﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，若AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，当三棱锥D﹣ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为（　　）
A．
B．2π
C．5π
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13．若，，且，共线，则k＝　
　．
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2，则b?cosC+c?cosB的值为　
　．
15．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，|AB|＝4，则该抛物线的方程为　
　．
16．已知A，B是函数f（x）＝（其中常数a＞0）图象上的两个动点，点P（a，0），若的最小值为0，则函数f（x）的最大值为　
　．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分
17．某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试（满分150分），若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；
（Ⅱ）该校推荐选拔测试成绩在110以上的学生代表学校参加市知识竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．
18．已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3＝3，S3＝9．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设且{bn}为递增数列，若，求数列{cn}的前n项和Tn．
19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1．
（1）求证：EF∥平面DCP；
（2）求F到平面PDC的距离．
20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线x﹣y+＝0相切，过点P（4，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若原点O在以线段AB为直径的圆内，求直线l的斜率k的取值范围．
21．已知函数f（x）＝xln（x+a）+1（a＜0）
（1）当a＝﹣1时，判断f（x）的单调性；
（2）证明：f（x）＜ex+cosx．
选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为．
（1）求直线和圆C的直角坐标方程；
（2）若点P（x，y）在圆C上，求的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+|
（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥1；
（2）求函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）的最小值．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．在复平面内，复数z满足z（1﹣i）＝2，则z的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解：由z（1﹣i）＝2，得z＝，
∴．
则z的共轭复数对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．
故选：D．
2．已知集合A＝{（x，y）|y＝x3}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B的元素个数是（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
解：解得，或或，
∴A∩B＝{（0，0），（﹣1，﹣1），（1，1）}，
∴集合A∩B有3个元素．
故选：B．
3．已知cos（α﹣π）＝，﹣π＜α＜0，则tanα＝（　　）
A．
B．
C．
D．﹣
解：∵cos（α﹣π）＝cos（π﹣α）＝﹣cosα＝，
∴，又﹣π＜α＜0，
∴，．
故选：A．
4．给出下列两个命题：命题p：“a＝0，b≠0”是“函数y＝x2+ax+b为偶函数”的必要不充分条件；命题q：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（　　）
A．p∧q
B．p∧￢q
C．p∨q
D．p∨￢q
解：①a＝0，b≠0?函数y＝x2+ax+b＝x2+b为偶函数，
函数y＝x2+ax+b为偶函数?x2+ax+b＝（﹣x）2﹣ax+b?a＝0，显然可以b＝0，
所以a＝0，b≠0是函数y＝x2+ax+b为偶函数的充分不必要条件，
所以命题p是假命题，
②函数的定义域是（﹣1，1），且f（﹣x）＝ln＝﹣ln＝﹣f（x），所以该函数是奇函数，
所以命题q是真命题．
综合①②知p∨q是真命题．
故选：C．
5．设a＝log318，b＝log424，c＝，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜c＜a
D．c＜b＜a
解：c＝，a＝，
又a＝，
∵且log64＞log63＞0，
∴，
∴log424＜log318，
∴c＜b＜a．
故选：D．
6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：直角三角形的斜边长为，
设内切圆的半径为r，则5﹣r+12﹣r＝13，解得r＝2．
∴内切圆的面积为πr2＝4π，
∴豆子落在内切圆外部的概率P＝1﹣＝1﹣，
故选：C．
7．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：∵ABCD是正方形，∴CB⊥AB，
∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，∴CB⊥面ABEF．
∵AG，GB?面ABEF，∴CB⊥AG，CB⊥BG，
又AD＝2a，AF＝a，ABEF是矩形，G是EF的中点，
∴AG＝BG＝a，AB＝2a，∴AB2＝AG2+BG2，∴AG⊥BG，
∵BG∩BC＝B，∴AG⊥平面CBG，而AG?面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．
在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC，∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角．
在Rt△CBG中，BH＝＝，
∵BG＝a，∴sin∠BGH＝＝．
故选：C．
8．函数f（x）＝ex?ln|x|（其中e是自然对数的底数）的大致图象为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：函数f（x）为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，
当x→+∞，f（x）→+∞，排除B，
故选：A．
9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x的值为（　　）
A．3或﹣2
B．2或﹣2
C．3或﹣1
D．﹣2或﹣1或3
解：当x＞2时，由y＝＝1得：x2﹣2x＝3，解得：x＝3，或x＝﹣1（舍）
当x≤2时，由y＝﹣2x﹣3＝1，解得：x＝﹣2，
综上可得若输出的结果为1，则输入x的值为3或﹣2，
故选：A．
10．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．函数g（x）的最小正周期是
B．函数g（x）的图象关于直线x＝对称
C．函数g（x）在（）上单调递减
D．函数g（x）在（0，）上的最大值是1
解：，最小正周期T＝，选项A错误；
当x＝时，g（）＝﹣1，即函数g（x）的图象关于点对称，选项B错误；
当时，，∴函数g（x）在（）上单调递减，选项C正确；
∵函数g（x）在（0.）上单调递增，，即函数g（x）在（0，）上没有最大值，
∴选项D错误，
故选：C．
11．已知双曲线的左、右焦点为F1、F2在双曲线上存在点P满足，则此双曲线的离心率e的取值范围是（　　）
A．1＜e≤2
B．e≥2
C．
D．
解：由OP为△F1PF2的中线，可得+＝2，
由2|+|≤||，
可得4||≤||，
由||≥a，|||＝2c，
可得4a≤2c，
可得e＝≥2．
故选：B．
12．已知三棱锥D﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，若AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，当三棱锥D﹣ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为（　　）
A．
B．2π
C．5π
D．
解：如图，当三棱锥D﹣ABC的体积取到最大值时，则平面ABC⊥平面DBC，
取BC的中点G，连接AG，DG，则AG⊥BC，DG⊥BC
分别取△ABC与△DBC的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的
垂线，相交于O，则O为四面体ABCD的球心，
由AB＝AC＝BC＝DB＝DC＝1，得正方形OEGF的边长为，则OG＝
∴四面体A﹣BCD的外接球的半径R＝
∴球O的表面积为，
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13．若，，且，共线，则k＝　　．
解：根据题意，，，
若，共线，则有2k＝1×3＝3，
解可得：k＝；
故答案为：
14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2，则b?cosC+c?cosB的值为　2　．
解：b?cosC+c?cosB＝+c＝a＝2，
故答案为：2
15．设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，|AB|＝4，则该抛物线的方程为　y2＝2x　．
解：直线l的方程为：y＝x﹣，
联立方程组，消去y可得x2﹣3px+＝0，
∴|AB|＝x1+x2+p＝4p＝4，
∴p＝1，
故抛物线方程为：y2＝2x．
故答案为：y2＝2x．
16．已知A，B是函数f（x）＝（其中常数a＞0）图象上的两个动点，点P（a，0），若的最小值为0，则函数f（x）的最大值为　﹣　．
解：A，B是函数f（x）＝（其中a＞0）图象上的两个动点，
当x＜a时，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x，
∴函数f（x）的图象关于直线x＝a对称．
当点A，B分别位于分段函数的两支上，
且直线PA，PB分别与函数图象相切时，?的最小值为0，
设PA与f（x）＝﹣e﹣x相切于点A（x0，y0），
∴f′（x）＝e﹣x，∴kAP＝f′（x0）＝e＝，解得x0＝a﹣1，
∵?的最小值为0，∴⊥，
∴kPA＝tan45°＝1，∴e＝1，∴x0＝0，
∴a＝1，∴f（x）max＝﹣．
故答案为：﹣
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分
17．某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试（满分150分），若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；
（Ⅱ）该校推荐选拔测试成绩在110以上的学生代表学校参加市知识竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．
【解答】解析：（Ⅰ）设平均成绩的估计值为，则：
＝80．
（Ⅱ）该校学生的选拔测试分数在[110，130）有4人，
分别记为A，B，C，D，分数在[130，150）有2人，分别记为a，b，
则6人中随机选取2人，总的事件有
（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），
（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），
（C，D），（C，a），（C，b），
（D，a），（D，b），
（a，b）共15个基本事件，
其中符合题设条件的基本事件有8个．
故选取的这两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为．
18．已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3＝3，S3＝9．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设且{bn}为递增数列，若，求数列{cn}的前n项和Tn．
解：（1）设数列{an}的公比为q，
①当q＝1时，符合条件a1＝a3＝3，an＝3．
②当q≠1时，
所以解得a1＝12，，
所以．
综上所述：数列{an}的通项公式为an＝3或．
（2）若an＝3，则bn＝0，与题意不符；
故，
故，
故，
故．
19．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1．
（1）求证：EF∥平面DCP；
（2）求F到平面PDC的距离．
解：（1）取PC中点M，连接DM，MF，
∵M，F分别是PC，PB中点，∴，
∵E为DA中点，ABCD为正方形，∴，
∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，
∴EF∥DM，∵EF?平面PDC，DM?平面PDC，
∴EF∥平面PDC．
（2）∵EF∥平面PDC，∴F到平面PDC的距离等于E到平面PDC的距离，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，∵PA＝AD＝1，在Rt△PAD中，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，
∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥PB，则，
∵PD2+DC2＝PC2，∴△PDC为直角三角形，
∴，
∴VE﹣PDC＝VC﹣PDE，设E到平面PDC的距离为h，
则，
解得，∴F到平面PDC的距离为．
20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线x﹣y+＝0相切，过点P（4，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若原点O在以线段AB为直径的圆内，求直线l的斜率k的取值范围．
【解答】解（1）由，得，可得，
又b＝，∴b2＝3，a2＝4．
故椭圆的方程为；
（2）由题意知直线l方程为y＝k（x﹣4）．
联立，得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0．
由△＝（﹣32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0，得k2＜．①
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，．
∴+16k2．
∵原点O在以线段AB为直径的圆内，
∴
＝＝＜0，②
由①②，解得＜k＜．
∴当原点O在以线段AB为直径的圆内时，直线l的斜率k∈（）．
21．已知函数f（x）＝xln（x+a）+1（a＜0）
（1）当a＝﹣1时，判断f（x）的单调性；
（2）证明：f（x）＜ex+cosx．
解：（1）当a＝﹣1时，f（x）的定义域为（1，+∞），
当f（x）＝xln（x﹣1）+1得，
设，则，
令m'（x）＝0?x＝2，则当x∈（1，2）时m'（x）＜0；
当x∈（2，+∞）时，m'（x）＞0，m（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴m（x）＞m（2）＝2＞0，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）单调递增；
（2）证明：f（x）的定义域为（﹣a，+∞），
∵a＜0，x＞﹣a，
∴x＞0，f（x）＝xln（x+a）+1＜xlnx+1，
要证明f（x）＜ex+cosx，
只需证明xlnx＜ex+cosx﹣1，
（ⅰ）当0＜x≤1时，
∵ex+cosx﹣1＞0，xlnx≤0，
所以xlnx＜ex+cosx﹣1成立，
（ⅱ）当x＞1时，设g（x）＝ex+cosx﹣xlnx﹣1，则g'（x）＝ex﹣lnx﹣sinx﹣1，
设h（x）＝g'（x），则，
∵x＞1，
∴h'（x）＞e﹣1﹣1＞0，即h（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（1）＝e﹣sin1﹣1＞0，即g'（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，g（x）＞g（1）＝e+cos1﹣1＞0，即xlnx＜ex+cosx﹣1，
综上可知，a＜0时，f（x）＜ex+cosx．
选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为．
（1）求直线和圆C的直角坐标方程；
（2）若点P（x，y）在圆C上，求的取值范围．
解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），
∴消去参数t，得直线l的直角坐标方程为x+﹣2＝0，
∵圆C的极坐标方程为，
∴，
∵ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，
∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣）2＝4．
（Ⅱ）∵点P（x，y）在圆C上，
∴设P（1+2cosθ，），
∴＝＝4sin（θ+），
∴的取值范围是[﹣4，4]．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|x+|
（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥1；
（2）求函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）的最小值．
解：（1）当a＝2时，|2x﹣2|+|x+1|≥1，
x≤﹣1时，2﹣2x﹣x﹣1≥1，得x≤0，即有x≤﹣1，
﹣1＜x＜1时，2﹣2x+x+1≥1，得x≤2，即有﹣1＜x＜1，
x≥1时，2x﹣2+x+1≥1，得x≥，即有x≥1，
综上，不等式f（x）≥1的解集为R．
（2）g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝|2x﹣a|+|x+|+|﹣2x﹣a|+|﹣x+|
＝|2x﹣a|+|2x+a|+|x+|+|x﹣|
≥|（2x﹣a）﹣（2x+a）|+（x+）﹣（x﹣）|
＝|2a|+||
≥2＝4，
当且仅当（2x﹣a）（2x+a）≤0，（x+）（x﹣）≤0且|2a|＝||时取“＝”
函数g（x）的最小值为4．