江西省临川县第一重点高中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 （Word版含答案解析）

临川第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试
数学试卷
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
不等式的解集为（　　）
A.
{x|x＜0或x＞3}
B.
{x|x＜-2或0＜x＜3}
C.
{x|x＜-2或x＞0}
D.
{x|-2＜x＜0或x＞3}
等比数列{an}各项均为正数，若a1=1，an+2+2an+1=15an，则{an}的前6项和为（　　）
A.
364
B.
63
C.
D.
已知ab＞0，bc＞0，则直线ax+by=c通过（　　）
A.
第一、二、三象限
B.
第一、二、四象限
C.
第一、三、四象限
D.
第二、三、四象限
不等式cx2+5x+a＞0的解集为，则a、c的值（　　）
A.
a=6，c=1
B.
a=-6，c=-1
C.
a=1，c=1
D.
a=-1，c=-6
已知数列{an}为等比数列，其中a5，a9为方程x2+2019x+9=0的二根，则a7的值（　　）
A.
-3
B.
3
C.
±3
D.
9
已知直线2ax＋by－2＝0(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则＋的最小值是（）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
1
已知△ABC中，且，，则△ABC是（　　）
A.
正三角形
B.
直角三角形
C.
正三角形或直角三角形
D.
直角三角形或等腰三角形
已知数列{an}满足an+2=an+1-an，且a1=2，a2=3，Sn为数列{an}的前n项和，则S2019的值为（　　）
A.
0
B.
2
C.
5
D.
6
在△ABC中，b=19，c=20，B=60°，那么这样的三角形有（　　）
A.
0个
B.
1个
C.
2个
D.
3个
在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则的值等于（）
A.
B.
C.
D.
在△ABC中，tanA是以-4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tanB是以为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形为（　　）
A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
等腰三角形
已知数列{an}，{bn}，的前n项和分别为Sn，Tn，且an＞0，，若k≤Tx恒成立，则k的最大值为（　　）
A.
B.
C.
9
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知△ABC中，三边与面积的关系为，则cosC的值为______．
已知m≠0，则过点（1，-1）的直线ax+3my+2a=0的斜率为______．
我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为______日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
在函数①，②，③，④，⑤中，最小值为2的函数的序号是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A是锐角，且．
（Ⅰ）求∠A的度数；
（Ⅱ）若b2+c2=89，△ABC的面积为，求a的值．
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，，．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）令bn=n-61+log2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
已知函数f（x）=x2-2x-3．
（1）解不等式f（x）≥0；
（2）若对一切x＞1，不等式f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，求实数m的取值范围．
已知数列{an}和{bn}中，数列{an}的前n项和记为Sn．若点（n，Sn）在函数y=-x2+4x的图象上，点（n，bn）在函数y=2x的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．
如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是，点E，F在直径AB上，且．
（1）若，求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求该空地种植果树的最大面积．
已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=（n∈N
）．若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．
（Ⅰ）求an和bn；
（Ⅱ）设cn=（n∈N
）．记数列{cn}的前n项和为Sn．
??（i）求Sn；
?（ii）求正整数k，使得对任意n∈N
均有Sk≥Sn．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：原不等式可转化为x（x+2）（x-3）＞0，
结合数轴标根法可得，x＞3或-2＜x＜0．即不等式的解集为{x|x＞3或-2＜x＜0}．
故选：D．
先把分式不等式转化为高次不等式，然后结合数轴标根法即可求解．
本题主要考查了高次不等式的求解，体现了转化思想的应用，属于基础试题．
2.【答案】A
【解析】解：因为an+2+2an+1=15an，
所以an?q2+2q?an=15an，
∴q2+2q-15=0，
解可得，q=3或q=-5（舍），
若a1=1，则S6==364．
故选：A．
由已知结合等比数列的性质可求q，然后代入等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．
3.【答案】B
【解析】解：直线ax+by=c化为．
∵ab＞0，bc＞0，
∴＜0，＞0，
∴直线通过第一、二、四象限．
故选：B．
利用直线斜率与截距的意义即可得出．
本题考查了直线斜率与截距的意义，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题意可知，是方程式cx2+5x+a=0的根，且a＜0，
所以，解可得c=-6，a=-1．
故选：D．
由题意可知，是方程式cx2+5x+a=0的根，且a＜0，结合方程的根与系数关系可求．
本题主要考查了二次不等式的解集与二次方程的根的关系的应用，属于基础试题．
5.【答案】A
【解析】解：∵数列{an}为等比数列，设公比为q，其中a5，a9为方程x2+2019x+9=0的二根，
∴a5+a9=+a7q2=-2019，∴a7＜0．
再根据?a5?a9==9，∴a7=-3，
故选：A．
由题意利用韦达定理、等比数列的性质，求得a7的值．
本题主要考查韦达定理、等比数列的性质，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
?根据直线过点（1，2），求出a，b的关系．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
【解答】
解：直线2ax+by-2=0（a＞0，b＞0）过点（1，2），
可得：2a+2b=2，即a+b=1．
则=（）（a+b）=2+=4．当且仅当a=b=时取等号．
∴的最小值为4．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：∵由，得：=-，
即tan（A+B）=-，
∴A+B=120°，C=60°，
又sinBcosB=，
∴sin2B=，
则2B=60°或2B=120°，即B=30°或B=60°，
若B=30°，则A=90°，tanA不存在，不合题意；
若B=60°，则A=C=60°，△ABC为正三角形．
故选：A．
利用两角和的正切求得A+B，再由倍角公式求得B，则答案可求．
本题考查三角形形状的判定，考查了两角和的正切及倍角公式的应用，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：∵数列{an}满足an+2=an+1-an，则有an+3=an+2-an+1，
∴an+3=-an，?an+6=an，
故数列{an}是周期为6的周期数列．
∵a1=2，a2=3，∴a3=1，a4=-2，a5=-3，a6=-1，
Sn为数列{an}的前n项和，则S2019=336×（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+（a1+a2+a3）=6．
故选：D．
数列{an}满足an+2=an+1-an，则有an+3=an+2-an+1，即可得an+3=-an，?an+6=an，求得数列{an}是周期为6的周期数列，只需求出前6项即可．
本题考查了数列的周期性，考查了归纳推理，属于中档题．
9.【答案】C
【解析】解：∵在△ABC中，b=19，c=20，B=60°，
∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得：361=400+a2-2×a×20×cos60°，得：a2-20a+39=0，（
）
∵△=202-4×1×39=244＞0，且两根之和、两根之积都为正数，
∴方程（
）有两个不相等的正实数根，即有两个边a满足题中的条件．
由此可得满足条件的△ABC有两个解．
故选：C．
据余弦定理b2=a2+c2-2accosB的式子，代入题中数据化简得c2-20c+39=0，由根的判别式与韦达定理得到该方程有两个不相等的正实数根，由此可得△ABC有两个解．
本题给出三角形的两条边和其中一边的对角，判断三角形解的个数．着重考查了利用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判断式与韦达定理等知识，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了正余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题.
利用三角形面积公式求c=4，利用余弦定理求a，再借助正弦定理求解.
【解答】
解：∵∠A=60°，b=1，
S△ABC==bcsinA=，
∴c=4，
∴a2=b2+c2-2bccosA=1+16-2×=13，
∴a=，
∴===．
故选A．
11.【答案】A
【解析】解：由题意可得，
tanA==2，tanB==3，
故tan（A+B）==-1，
∵0＜A+B＜π，
∴A+B=，
∴∠C=；
又∵tanA＞0，tanB＞0，0＜A＜π，0＜B＜π，
∴0＜A＜，0＜B＜，
故△ABC为锐角三角形．
故选：A．
首先，由等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，结合已知可得tanA=2，tanB=3，然后利用两角和的正切公式可求出tan（A+B）=-1，从而求出∠C，再结合题意确定A、B的范围，从而确定△ABC的形状．
本题通过解三角形问题，考查了等差数列和等比数列的通项公式，两角和的正切公式，综合性较强，难度中等．
12.【答案】B
【解析】解：由①令n=1得，所以a1=3或a1=0（舍）
当n≥2时，②
①-②得
即（an+an-1）（an-an-1）-3（an+an-1）=0
因为an＞0，∴上式可化为an-an-1=3
故数列{an}是以3为首项，公差为3的等差数列，
所以an=3n．
所以=
所以……+=
因为x∈N
，Tx随着x的增大而增大，故x=1时T1=最小，
所以若k≤Tx恒成立，则k的最大值为．
故选：B．
先令n=1求出a1，然后利用an=Sn-Sn-1求出{an}通项公式，再利用裂项法求出{bn}的前n项的和，借助于数列的单调性求出最值即可解决问题．
本题考查了数列由和求项的基本思路，裂项法求和以及不等式恒成立问题的思路．是一道对数列与函数综合考查的题目．注意弄清楚最后是求最大值还是最小值．
13.【答案】
【解析】解：==absinC，
∴tanC=1，C∈（0，π）．
∴C=．
则cosC=．
故答案为：．
利用余弦定理、三角形面积计算公式可得==absinC，化简即可得出．
本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】-
【解析】解：把点的坐标代入方程可得：a-3m+2a=0，解得a=m，
故直线的方程可化为：mx+3my+2m=0，由因为m≠0，
上式两边同除以m可得：x+3y+2=0，可得斜率为，
故答案为：
由题意可得a=m，代入方程并同除以m可得x+3y+2=0，即可得斜率．
本题考查直线方程的一般式，由点在直线上得出m的值是解决问题的关键，属基础题．
15.【答案】2.6
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{an}，其中a1=3，公比为，其前n项和为An．莞（植物名）的长度组成等比数列{bn}，其中b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．
【解答】
解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{an}，其中a1=3，公比为，其前n项和为An．
莞（植物名）的长度组成等比数列{bn}，其中b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．
则An=，Bn=，
由题意可得：=，化为2n+=7，
解得2n=6，或2n=1（舍去）．
∴n==1+≈2.6．
∴估计2.6日蒲、莞长度相等，
故答案为：2.6．
16.【答案】③⑤
【解析】解：当x＜0时，①不符合条件；
∵0＜x＜π时，0＜sinx≤1，
②，没有最小值；
③=2，当且仅当即ex=2时取等号，
④∵，则==＞2，没有最小值；
⑤≥2，当且仅当x=即x=±1时取等号．
故答案为：③⑤
结合基本不等式，要注意检验一正，二定，三相等条件的检验即可判断．
本题主要考查了基本不等式求解最值成立条件的检验，要注意一正，二定，三相等的检验．
17.【答案】解：（Ⅰ）∵．
∴由正弦定理可得sinB=2sinAsinB，
∵sinB≠0，
∴可得sinA=，
∵A是锐角，
∴A=．
（Ⅱ）∵A=，△ABC的面积为=bcsinA=bc，
∴bc=40，
又b2+c2=89，
∴由余弦定理可得a====7．
【解析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理可得sinB=2sinAsinB，结合sinB≠0，可得sinA=，结合A是锐角，可求A的值．
（Ⅱ）由已知利用三角形的面积公式可求bc的值，进而根据余弦定理可求a的值．
本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：（1）由题意，设等比数列{an}的公比为q，则
S3=a1+a2+a3=，
S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6
=（a1+a2+a3）+a1q3+a2q3+a3q3
=S3+S3?q3
=（1+q3）S3，
∴（1+q3）?=，解得q3=8，即q=2．
S3=a1+a2+a3=a1+2a1+4a1=7a1=，解得a1=，
∴等比数列{an}的首项为，公比为2，
∴an=?2n-1=2n-2，n∈N
．
（2）由（1）知，bn=n-61+log2an=n-61+log22n-2=n-61+n-2=2n-63，
故Tn=b1+b2+…+bn
=（2×1-63）+（2×2-63）+…+（2n-63）
=2×（1+2+…+n）-63?n
=2×-63n
=n2-62n．
【解析】本题第（1）题先设等比数列{an}的公比为q，然后根据等比数列的通项公式将S6转化成S3与q的表达式，然后代入具体数值进行计算可得q的值，再将q的值代入计算出首项a1值，即可计算出数列{an}的通项公式an；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用分组求和法计算前n项和Tn．
本题主要考查等比数列性质的应用，以及运用分组求和法求前n项和．主要考查了方程思想，转化与化归思想，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．
19.【答案】解：（1）x2-2x-3≥0，即（x-3）（x+1）≥0，
解得x≥3或x≤-1，
则原不等式的解集为{x|x≥3或x≤-1}；
（2）对一切x＞1，不等式x2-2x-3≥（m+2）x-m-15恒成立，
∴x2-4x+12≥m（x-1），（x＞1），
∴对一切x＞1，均有不等式≥m成立，
而=（x-1）+-2
≥2-2=4（当x=4时等号成立），
则m≤4，
∴实数m的取值范围是（-∞，4]．
【解析】（1）运用二次不等式的解法：因式分解，可得所求解集；
（2）由题意可得对一切x＞1，均有不等式≥m成立，只需（）min≥m，对不等式的左边变形，结合基本不等式可得所求最小值，可得m的范围．
本题考查二次不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和参数分离，以及基本不等式，考查运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）由已知得Sn=-n2+4n
∵当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2n+5
又当n=1时，a1=S1=3，
∴an=-2n+5
（2）由已知得bn=2n，
∴anbn=（-2n+5）2n，
∴Tn=3×2+1×4+（-1）×8…+（-2n+5）2n，
2Tn=3×4+1×8+（-1）×16…+（-2n+5）2n+1，
两式相减得Tn=-6+（23+24+…+2n-1）+（2n+5）n-1=（-2n+7）2n+1-14
【解析】（1）先根据题设知Sn=-n2+4n，再利用an=Sn-Sn-1求得an，验证a1是符合，最后答案可得．
（2）由题设可知bn=2n，把an一同代入anbn然后用错位相减法求和．
本题主要考查了数列的递推式解决数列的通项公式和求和问题．
21.【答案】解：（1）由已知得△ABC为直角三角形，因为AB=8，，
所以，AC=4，
在△ACE中，由余弦定理：CE2=AC2+AE2-2AC?AEcosA，且，
所以13=16+AE2-4AE，
解得AE=1或AE=3，
（2）因为，，
所以∠ACE=α，
所以，
在△ACF中由正弦定理得：，
所以，
在△ACE中，由正弦定理得：，
所以，
由于：，
因为，所以，所以，
所以当时，S△ECF取最大值为．
【解析】（1）由已知利用余弦定理，即可求AE的长；
（2）设∠ACE=α，求出CF，CE，利用三角形面积公式可求S△CEF，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．
本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用，考查三角形面积的计算，考查了正弦函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22.【答案】解：（Ⅰ）∵a1a2a3…an=（n∈N
）①，
当n≥2，n∈N
时，?②，
由①②知：，
令n=3，则有．
∵b3=6+b2，
∴a3=8．
∵{an}为等比数列，且a1=2，
∴{an}的公比为q，则=4，
由题意知an＞0，∴q＞0，∴q=2．
∴（n∈N
）．
又由a1a2a3…an=（n∈N
）得：
，
，
∴bn=n（n+1）（n∈N
）．
（Ⅱ）（i）∵cn===．
∴Sn=c1+c2+c3+…+cn
=
=
=
=；
（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；
当n≥5时，
，
而
=＞0，
得
，
所以，当n≥5时，cn＜0，
综上，对任意n∈N
恒有S4≥Sn，故k=4．
【解析】本题考查了等比数列通项公式、求和公式，还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想，证明可以用二项式定理，还可以用数学归纳法．本题计算量较大，思维层次高，要求学生有较高的分析问题解决问题的能力．本题属于难题．
（Ⅰ）先利用前n项积与前（n-1）项积的关系，得到等比数列{an}的第三项的值，结合首项的值，求出通项an，然后现利用条件求出通项bn；
（Ⅱ）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．
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