山东省平邑县第一重点高中（西校区）2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题 (Word版含答案解析）

2022届平邑一中西校高二月考试题（考查内容空间向量与立体几何
一．选择题（共8小题）
1．已知空间两点，1，，，2，，下列选项中的与共线的是　　
A．，0，
B．，1，
C．，，
D．，2，
2．在空间四边形中，，点在上，且，为的中点，则　　
A．
B．
C．
D．
3．已知平面内的三点，0，、，1，、，0，，平面的一个法向量为，，，且与不重合　　
A．
B．
C．与相交但不垂直
D．以上都不对
4．已知空间向量，0，，，1，，且，则向量与的夹角为　　
A．
B．
C．
D．
5．已知，，，，4，，，3，，若、、三向量共面，则实数等于　　
A．1
B．2
C．3
D．4
6．若，，是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是　　
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
7．在正方体中，直线与平面所成的角为　　
A．
B．
C．
D．
8．已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，且，，，则　　
A．
B．
C．1
D．
二．多选题（共4小题）
9．已知直线、的方向向量分别是，若，且，则的值可以是　　
A．
B．7
C．1
D．
10．已知直线、的方向向量分别是，4，，，，，若且，则的值可以是　　
A．
B．
C．1
D．3
11．已知空间三点，0，，，2，，，0，，则下列说法正确的是　　
A．
B．
C．
D．，
12．如图，平面，，，，．，，则　　
A．
B．平面
C．二面角的余弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
三．填空题（共4小题）
13．在平行六面体中，设，，，用、、作为基底向量表示　　．
14．已知，，三点不共线，为平面外一点，若向量，且点与，，共面，则实数　　．
15．如图，在三棱锥中，平面，为等腰直角三角形，，点在上，且，则与平面所成角的正弦值为　　．
16．四棱锥中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，则与面所成角的正弦值为　　．
四．解答题（共6小题）
17．已知空间三点，2，，，1，，，，．
（1）求的面积；
（2）若向量，且，求向量的坐标．
18．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
19．如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，．
（1）证明：、、、四点共面．
（2）若，求．
20．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小．
21．如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，．．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角为，求二面角的余弦值．
22．如图1，四边形是等腰梯形，，，，为的中点，将沿折起，如图2，点是棱上的点．
（1）若为的中点，证明：平面平面；
（2）若，试确定的位置，使二面角的余弦值等于．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知空间两点，1，，，2，，下列选项中的与共线的是　　
A．，0，
B．，1，
C．，，
D．，2，
解：由点，1，，，2，，
所以，1，，
对于，，0，，不满足，所以与不共线；
对于，，1，，不满足，所以与不共线；
对于，，，，不满足，所以与不共线；
对于，，2，，满足，所以与共线．
故选：．
2．在空间四边形中，，点在上，且，为的中点，则　　
A．
B．
C．
D．
解：由点在上，且，所以，
由为的中点，所以，
所以
．
故选：．
3．已知平面内的三点，0，、，1，、，0，，平面的一个法向量为，，，且与不重合　　
A．
B．
C．与相交但不垂直
D．以上都不对
解：点，0，，，1，，，0，，
，1，，，0，，
设平面的一个法向量为，，，
则，且；
即，
令，则，
，1，；
它与的一个法向量共线，且、不重合，
．
故选：．
4．已知空间向量，0，，，1，，且，则向量与的夹角为　　
A．
B．
C．
D．
解：，
解得；
又，，1，，
，，
且，，，
与的夹角为．
故选：．
5．已知，，，，4，，，3，，若、、三向量共面，则实数等于　　
A．1
B．2
C．3
D．4
解：向量、、共面，则，其中，；
则，3，，，，，，，，
，
解得，，．
故选：．
6．若，，是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是　　
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
解：对于中、、，
中、、，
中、、，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；
对于，、、，
满足，是共面向量，不能构成空间的一个基底．
故选：．
7．在正方体中，直线与平面所成的角为　　
A．
B．
C．
D．
解：如图建立空间直角坐标系，设棱长为1，
是平面的法向量，，1，
，0，
直线与平面所成的角为
所以
故选：．
8．已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，且，，，则　　
A．
B．
C．1
D．
解：分别以、、为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，0，，，，，，0，，
所以，，，，，，
所以，，，
所以，，，
所以．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．已知直线、的方向向量分别是，若，且，则的值可以是　　
A．
B．7
C．1
D．
解：直线、的方向向量分别是，且，且，
，解得，
或，
或．
故选：．
10．已知直线、的方向向量分别是，4，，，，，若且，则的值可以是　　
A．
B．
C．1
D．3
解：直线、的方向向量分别是，4，，，，，且，
，解得，
或，
或．
故选：．
11．已知空间三点，0，，，2，，，0，，则下列说法正确的是　　
A．
B．
C．
D．，
解：，0，，，2，，，0，，
，2，，，0，，，，，
故，，，，
故选：．
12．如图，平面，，，，．，，则　　
A．
B．平面
C．二面角的余弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，2，，
所以，
因为，
则与不垂直，
故选项错误；
因为为平面的法向量，
又，
则，又直线平面，
所以平面，
故选项正确；
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
由题意，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
故，
故，
故选项正确；
因为，
故选项错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．在平行六面体中，设，，，用、、作为基底向量表示　　．
解：平行六面体中，，，，
如图所示：
则．
故答案为：．
14．已知，，三点不共线，为平面外一点，若向量，且点与，，共面，则实数　　．
解：，，三点不共线，为平面外一点，
向量，且点与，，共面，
，
解得实数．
故答案为：．
15．如图，在三棱锥中，平面，为等腰直角三角形，，点在上，且，则与平面所成角的正弦值为　　．
解：如图建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，，2，，
，，0，，
设面的法向量为，
，0，，0，，0，，
，，
由可得，1，，
，，
则与平面所成角的正弦值为，
故答案为：．
16．四棱锥中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，则与面所成角的正弦值为　　．
解：四棱锥中，底面，底面是正方形，
且，，是的重心，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，3，，，3，，，2，，
，2，，，0，，，3，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，0，，
与面所成角的正弦值为：
．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
17．已知空间三点，2，，，1，，，，．
（1）求的面积；
（2）若向量，且，求向量的坐标．
解：（1）设向量，的夹角为，
由已知，，，，，
，
，
．
（2），
，，
，即，即，
，
即或．
18．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
解（1）证明：平面，
，
又正方形中，，，
平面，
又平面，
，
，是的中点，，，
平面
（2）以点为坐标原点，分别以直线，，为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：，
设平面的法向量为，则，
，令，得到，，
，
又，且平面，
平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，则，
二面角的余弦值为．
19．如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，．
（1）证明：、、、四点共面．
（2）若，求．
证明：平行六面体中，，，
，，，，且平面平面，
，
△，（3分）
，
同理，
故为平行四边形，
、、、四点共面．（6分）
（2）解：如图所示：，
即，，，
20．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小．
（1）证明：由题意知、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
又因为，所以，
，0，，，1，，，0，，
因为，，所以，，
所以平面；
（2）解：由（1）知平面的法向量为，0，，
，0，，，1，，
平面与的法向量，，，
，令，，1，，
，
所以平面与平面的夹角的大小为．
21．如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，．．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角为，求二面角的余弦值．
解：（1）证明：，分别是线段，的中点，，
，且，
，
，
，
又，
，
又，即，
又，且，均在平面内，
平面，
，
又，，且，均在平面内，
平面，
平面，
又在平面内，
平面平面；
（2）由（1）可知，为二面角的平面角，即，
过点作，如图，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，1，，，1，，
，，
设平面的一个法向量为，则，可取；
设平面的一个法向量为，则，可取；
如图可设二面角的平面角为锐角，则，
即二面角的余弦值为．
22．如图1，四边形是等腰梯形，，，，为的中点，将沿折起，如图2，点是棱上的点．
（1）若为的中点，证明：平面平面；
（2）若，试确定的位置，使二面角的余弦值等于．
解：（1）证明：由题意，，且，故四边形是平行四边形，
又，，
是正三角形，四边形是菱形，
取的中点，连接，，易知是正三角形，则，，
又，
平面，
，
取的中点，连接，，则，即，，，四点共面，
又，则，
又，
平面，
又在平面内，
平面平面；
（2），
，
又且，则可以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，设，则，
易知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，又，
，则可取，
由题意，，解得，故，即点在线段的三分等点处．