专题37
数列求和中的不等式问题
一、题型选讲
题型一
、数列中与不等式有关的证明问题
例1、【2020年高考浙江】已知数列{an}，{bn}，{cn}满足．
（Ⅰ）若{bn}为等比数列，公比，且，求q的值及数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若{bn}为等差数列，公差，证明：．
例2、（河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试）甲、乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列的前项和为，已知
，
(1)判断的关系并给出证明．
(2)若，设,的前项和为，证明：
甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是成等差数列．
如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．
例3、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：当时，
题型二、数列中与不等式有关的参数问题
例4、【2018年高考江苏卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为___________．
例5、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则满足不等式的的最小值为__________.
例6、（2020届山东实验中学高三上期中）设正项数列的前n项和为，已知
(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式
(2)设数列的前n项和为，且，若对任意都成立，求实数的取值范围.
例7、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知数列满足，，正项数列满足，且是公比为3的等比数列.
（1）求及的通项公式；
（2）设为的前项和，若恒成立，求正整数的最小值.
二、达标训练
1、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知数列满足：，，若对任意的正整数，都有，则实数的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
2、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）数列的前项和为，，，则__________；若时，的最大值为__________.
3、【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为________.
4、（2021届江苏基地学校高三第一次大联考）已知数列的前n项和为，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证：．
5、【辽宁省渤大附中、育明高中2020届高三第五次模拟】已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：.
6、【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】已知数列的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围；
（3）记，是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由.专题37
数列求和中的不等式问题
一、题型选讲
题型一
、数列中与不等式有关的证明问题
例1、【2020年高考浙江】已知数列{an}，{bn}，{cn}满足．
（Ⅰ）若{bn}为等比数列，公比，且，求q的值及数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若{bn}为等差数列，公差，证明：．
【解析】（Ⅰ）由得，解得．
由得．
由得．
（Ⅱ）由得，
所以，
由，得，因此．
例2、（河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试）甲、乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列的前项和为，已知
，
(1)判断的关系并给出证明．
(2)若，设,的前项和为，证明：
甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是成等差数列．
如果甲、乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题．
【解析】：补充的条件为，的关系为成等差数列．
证明如下：
由题意可得，，
，
可得，因此成等差数列．
（5分）
(2)证明：由，可得,
解得
（6分）
，（7分）
则,,
上面两式相减，
可得
（9分）
整理可得,
(11分)
因为,
，所以
(12分)
例3、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：当时，
【解析】（1）由，得，即，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，即，
当时，，
当时，，也满足上式，所以；
（2）当时，，
所以
题型二、数列中与不等式有关的参数问题
例4、【2018年高考江苏卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为___________．
【答案】27
【解析】所有的正奇数和按照从小到大的顺序排列构成，在数列|中，25前面有16个正奇数，即.当n=1时，，不符合题意；当n=2时，，不符合题意；当n=3时，，不符合题意；当n=4时，，不符合题意；……；当n=26时，，不符合题意；当n=27时，,符合题意.故使得成立的n的最小值为27.
例5、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知等比数列的前项和为，若，且，，成等差数列，则满足不等式的的最小值为__________.
【答案】12
【解析】因为，，成等差数列。所以等比数列的公比.
由题得
因为，所以
因为时，，
时，.
所以的最小值为12.
故答案为：12
例6、（2020届山东实验中学高三上期中）设正项数列的前n项和为，已知
(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式
(2)设数列的前n项和为，且，若对任意都成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）证明:∵，且，
当时，，解得．
当时，有即，即．于是，
即．
∵，∴为常数
∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴．
（2）由（1）可得：
，
∴
，即对任意都成立，
①当为偶数时，恒成立，
令，
，
在上为增函数，
②当为奇数时，恒成立，又，在为增函数，
∴由①②可知：
综上所述的取值范围为:
例7、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知数列满足，，正项数列满足，且是公比为3的等比数列.
（1）求及的通项公式；
（2）设为的前项和，若恒成立，求正整数的最小值.
【解析】（1）正项数列满足，且是公比为3的等比数列，
可得，则，
，可得，
当时，又，
相除可得，即数列的奇数项、偶数项均为公比为3的等比数列，
可得.
（2）当为偶数时，
，
由，解得，
当为奇数，，
由，解得，
综上可得.
二、达标训练
1、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知数列满足：，，若对任意的正整数，都有，则实数的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，
又在区间上单调递增，
，
实数的取值范围，
故选：．
2、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）数列的前项和为，，，则__________；若时，的最大值为__________.
【答案】26
807
【解析】∵，，
∴，，，，，……
∴；
由可知，，
故时，的最大值为807；
故答案为：26；807．
3、【2020届河北省衡水中学全国高三期末大联考】已知等比数列的前n项和为，，，且，则满足不等式成立的最小正整数n为________.
【答案】
【解析】设数列的公比为q，由，，
得，所以或，
又因为，所以，
从而，
所以.
令，
又因为，所以.
故答案为:6
4、（2021届江苏基地学校高三第一次大联考）已知数列的前n项和为，且，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证：．
【解析】（1）因为，所以当时，，即．
……
1分
当时，有，所以，
即，即（），
所以是首项为，公比为的等比数列，
……
4分
所以．
所以．
……
6分
（2）．……
8分
所以
，
……
10分
可知为递增数列，所以．
又，所以，所以．
……
12分
5、【辽宁省渤大附中、育明高中2020届高三第五次模拟】已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，证明：.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）令，，
当时，；
当时，，则，故；
（2），
.
6、【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】已知数列的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围；
（3）记，是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为数列的前项和满足，
所以当时，，
两式相减得：，即，
又时，，解得：，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，从而.
（2）由（1）知：，
所以，
，
对任意的，不等式都成立，即，
化简得：，令，
因为，
故单调递减，
所以，故，
所以，实数的取值范围是.
（3）由（1）知：，
假设存在互不相等的正整数，，满足条件，
则有.
由与得，
即，
因为，所以.
因为，当且仅当时等号成立，
这与，，互不相等矛盾.
所以不存在互不相等的正整数，，满足条件.
