专题39
数列中的探索性问题
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解，本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：
①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．
一、题型选讲
题型一
、数列中项存在的问题
例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
由得，解得，
；
（2），
，
，
若，则，整理得，
又，，整理得，
解得，
又，，，
∴存在满足题意．
例2、（江苏省响水中学2020年秋学期高三年级第三次学情分析考试）在①，，成等比数列，且；②，且这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．
已知数列是公差不为0的等差数列，，其前n项和为，数列的前n项和为，若
．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
（3）设等比数列的首项为2，公比为，其前项和为，若存在正整数，使得，求的值.
【解析】（1）选①
，选②
…………4分
（2）
………………………………………………8分
（3）由（1）可得，，
由，得，
所以，
因为，所以，即，
由于，所以，
当时，，
当时，，
所以的值为
………………………………12分
例3、(2018无锡期末）已知数列{an}满足·…·＝，n∈N
，Sn是数列{an}的前n项和．
(1)
求数列{an}的通项公式；
(2)
若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数p，q的值；
(3)
是否存在k∈N
，使得为数列{an}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】
(1)
因为·…·＝，n∈N
，
所以当n＝1时，1－＝，所以a1＝2，(1分)
当n≥2时，由·…·＝和…＝，两式相除可得1－＝，即an－an－1＝1(n≥2)，
所以，数列{an}是首项为2，公差为1的等差数列，
于是，an＝n＋1.(4分)
(2)
因为ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，
所以于是或(7分)
当时，解得
当时，无正整数解，
所以p＝5，q＝9.(10分)
(3)假设存在满足条件的正整数k，使得＝am(m∈N
)，则＝m＋1，
平方并化简得，(2m＋2)2－(2k＋3)2＝63，(11分)
则(2m＋2k＋5)(2m－2k－1)＝63，(12分)
所以或
或(14分)
解得m＝15，k＝14或m＝5，k＝3或m＝3，k＝－1(舍去)．
综上所述，k＝3或14.(16分)
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题型二、
数列中的等差数列或者等比数列的存在问题
例4、（河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试）已知正项数列的前项和为,,，其中为常数．
(1)证明：
(2)是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)证明：因为，，
所以，所以
因为，所以，所以，
所以（6分）
(2)解：因为，所以，
两式相减，得
因为，即，
所以，由，得
若是等比数列，则，
即，解得
经检验，符合题意.
故存在，使得数列为等比数列．
(12分)
例5、(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝a＋an，数列{bn}满足b1＝，2bn＋1＝bn＋.
(1)
求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)
设数列{cn}满足cn＝，求和c1＋c2＋…＋cn；
(3)
是否存在正整数p，q，r(p
【解析】
(1)
2Sn＝a＋an ①，
2Sn＋1＝a＋an＋1 ②，
②－①得2an＋1＝a－a＋an＋1－an，即(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.
因为{an}是正数数列，所以an＋1－an－1＝0，即an＋1－an＝1，所以{an}是等差数列，其中公差为1.
在2Sn＝a＋an中，令n＝1，得a1＝1，
所以an＝n.(2分)
由2bn＋1＝bn＋得＝·，
所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，
所以＝，即bn＝.(5分)
(注：也可累乘求bn的通项．)
(2)
由(1)得cn＝＝，所以cn＝－，(7分)
所以c1＋c2＋…＋cn＝－＝.(9分)
(3)
假设存在正整数p，q，r(p因为bn＋1－bn＝－＝，所以数列{bn}从第二项起单调递减．
当p＝1时，＋＝.
若q＝2，则＝，此时无解；
若q＝3，则＝，且{bn}从第二项起递减，故r＝4，所以p＝1，q＝3，r＝4符合要求；(11分)
若q≥4，则≥＝2，即b1≥2bq，又因为b1＋br＝2bq，所以b1<2bq，矛盾．此时无解．(12分)
当p≥2时，一定有q－p＝1.若q－p≥2，则≥＝＝≥2，即bp≥2bq，这与bp＋br＝2bq矛盾，所以q－p＝1.
此时＝，则r＝2r－p.令r－p＝m＋1，则r＝2m＋1，所以p＝2m＋1－m－1，q＝2m＋1－m，m∈N
.
综上得，存在p＝1，q＝3，r＝4或p＝2m＋1－m－1，q＝2m＋1－m，r＝2m＋1(m∈N
)满足要求．(16分)
题型三、数列中的参数的问题
例6、（恩施高中?郧阳中学?沙市中学?十堰一中?随州二中??襄阳三中）在①为等比数列，,②为等差数列，,③为等比数列，。这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答。
已知数列满足,数列满足____________,为数列的前项和,是否存在正整数,使得成立?若存在,求出的最小值；若不存在,请说明理由。
【解析】：由可得,,
两式相减可得,,
所以,
当时,由可得,,满足,
所以,
若选①可得,所以,此时,
可得,
,可得,
所以存在最小值为.
若选②,可得，所以，此时
可得，，所以存在最小值为10
若选③,可得，所以，此时
所以
那么
两式相减得，所以不存在整数k
例7、【2020年高考江苏】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ～k”数列．
（1）若等差数列是“λ～1”数列，求λ的值；
（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ～3”数列，且？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为等差数列是“λ～1”数列，则，即，
也即，此式对一切正整数n均成立．
若，则恒成立，故，而，
这与是等差数列矛盾．
所以．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）
（2）因为数列是“”数列，
所以，即．
因为，所以，则．
令，则，即．
解得，即，也即，
所以数列是公比为4的等比数列．
因为，所以．则
（3）设各项非负的数列为“”数列，
则，即．
因为，而，所以，则．
令，则，即．（
）
①若或，则（
）只有一解为，即符合条件的数列只有一个．
（此数列为1，0，0，0，…）
②若，则（
）化为，
因为，所以，则（
）只有一解为，
即符合条件的数列只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）
③若，则的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内，
则方程（
）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t）．
所以或．
由于数列从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列有无数多个，则对应的有无数多个．
综上所述，能存在三个各项非负的数列为“”数列，的取值范围是．
二、达标训练
1、【2020年高考山东】已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
【解析】（1）设的公比为．由题设得，．
解得（舍去），．由题设得．
所以的通项公式为．
（2）由题设及（1）知，且当时，．
所以
．
2、（徐州一中、兴化中学2021届两校联合第二次适应性考试）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求实数的取值范围；若问题中的不存在，请说明理由.
设等差数列的前n项和为，数列的前n项和为，
___________，，()，是否存在实数，对任意都有？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】设等差数列的公差为d，
当时，，
得，
从而，
当时，，
得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
由对任意，都有，
可知等差数列的前n项和存在最小值，
假设时，取最小值，所以；
（1）若补充条件是①，
因为，，
从而，
由得，
所以，
由等差数列的前n项和存在最小值，
又，所以，所以，故实数的取值范围为.
（2）若补充条件是②，
由，即，又，
所以；
所以，
由等差数列的前n项和存在最小值，
则，得，
所以，
所以不存在k，使得取最小值，
故实数不存在.
（3）若补充条件是③，
由，
得，
又，
所以，
所以，
由等差数列的前n项和存在最小值，
则，
得，
又，所以，
所以存在，使得取最小值，
所以，
故实数的取值范围为.
3、（湖南师大附中2021届高三年级上学期第二次月考）已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求出所有的正整数，使得
【解析】(1)设前6项的公差为，则,
,
成等比数列，,
解得：,
（舍），时，,
,
，则,
时，,
…………………6分
(2)由(1)可得：
则当时，,
当时，,
,
当时，,
当时，,
,
,
当时，假设存在，使得,
则有即：,
,
,，从而无解，
时，不存在这样的，使得,
综上所述：或.
…………………………12分
4、(2019扬州期末）记无穷数列{an}的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，令bn＝，数列{an}的前n项和为An，数列{bn}的前n项和为Bn.
(1)
若数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，求Bn.
(2)
若数列{bn}是等差数列，试问数列{an}是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明．
．
规范解答
(1)因为数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n，所以mn＝2，Mn＝an＝2n，
则有bn＝＝1＋2n－1，从而Bn＝n＋×1＝2n－1＋n.(4分)
(2)解法1(参数讨论法)
若数列{bn}是等差数列，设其公差为d′.
bn－bn－1＝－＝＋＝d′.
根据Mn，mn的定义，有以下结论：
Mn≥Mn－1，mn≤mn－1，且两个不等式中至少有一个取等号．(6分)
说明：若两不等式均不取等号，即Mn>Mn－1，mnMn－1≥an－1，则an>an－1>…>a2>a1，而此时有mn＝mn－1＝a1，不合题意，故两不等式中至少有一个取等号．
①若d′>0，则必有Mn>Mn－1，所以an＝Mn>Mn－1≥an－1，即对n≥2，n∈N
，都有an>an－1，
所以Mn＝an，mn＝a1，bn－bn－1＝－＝－＝＝d′，
所以an－an－1＝2d′，即{an}为等差数列．(7分)
②若d′<0时，则必有mn，都有an所以Mn＝a1，mn＝an，bn－bn－1＝－＝－＝＝d′，
所以an－an－1＝2d′，即{an}为等差数列；
③当d′＝0，bn－bn－1＝－＝＋＝0.
因为Mn－Mn－1，mn－mn－1中必有一个为0，所以根据上式，一个为0，则另一个亦为0，
即Mn＝Mn－1，mn＝mn－1，所以{an}为常数数列，也是等差数列，
综上，数列{an}一定是等差数列．(10分)
解法2(增项讨论法)
若数列{bn}是等差数列，设通项公式为bn＝pn＋q(p，q∈R)，则bn＋1－bn＝p.
对于数列{an}：a1，a2，…，an，增加an＋1时，有下列情况：
①若an＋1>Mn时，则Mn＋1＝an＋1，mn＋1＝mn，此时an＋1＝Mn＋1>Mn≥an，所以an＋1>an对n∈N
恒成立，
则Mn＝an，mn＋1＝mn＝a1，所以bn＋1－bn＝－－－＝＝p，
即an＋1－an＝2p，为常数，则数列{an}是等差数列．(7分)
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②若mn≤an＋1≤Mn时，则Mn＋1＝Mn，mn＋1＝mn,
所以bn＋1＝bn.
因为数列{bn}是等差数列且bn＝pn＋q，所以p＝0，bn＝q，
所以Mn＋1＝Mn＝Mn－1＝…＝M1＝a1＝q，mn＋1＝mn＝mn－1＝…＝m1＝a1＝q，所以q≤an＋1≤q，即an＝q，即{an}为常数数列，所以数列{an}是公差为0的等差数列．(8分)
③若an＋1恒成立，
则Mn＋1＝Mn＝a1，mn＝an，所以bn＋1－bn＝－＝－＝＝p，
即an＋1－an＝2p，为常数，则数列{an}是等差数列．(10分)
（公众号：高中数学最新试题）专题39
数列中的探索性问题
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解，本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：
①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．
一、题型选讲
题型一
、数列中项存在的问题
例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
例2、（江苏省响水中学2020年秋学期高三年级第三次学情分析考试）在①，，成等比数列，且；②，且这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．
已知数列是公差不为0的等差数列，，其前n项和为，数列的前n项和为，若
．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
（3）设等比数列的首项为2，公比为，其前项和为，若存在正整数，使得，求的值.
例3、(2018无锡期末）已知数列{an}满足·…·＝，n∈N
，Sn是数列{an}的前n项和．
(1)
求数列{an}的通项公式；
(2)
若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数p，q的值；
(3)
是否存在k∈N
，使得为数列{an}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．
题型二、
数列中的等差数列或者等比数列的存在问题
例4、（河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试）已知正项数列的前项和为,,，其中为常数．
(1)证明：
(2)是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
例5、(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝a＋an，数列{bn}满足b1＝，2bn＋1＝bn＋.
(1)
求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)
设数列{cn}满足cn＝，求和c1＋c2＋…＋cn；
(3)
是否存在正整数p，q，r(p题型三、数列中的参数的问题
例6、（恩施高中?郧阳中学?沙市中学?十堰一中?随州二中??襄阳三中）在①为等比数列，,②为等差数列，,③为等比数列，。这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答。
已知数列满足,数列满足____________,为数列的前项和,是否存在正整数,使得成立?若存在,求出的最小值；若不存在,请说明理由。
例7、【2020年高考江苏】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ～k”数列．
（1）若等差数列是“λ～1”数列，求λ的值；
（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ～3”数列，且？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．（公众号：高中数学最新试题）
二、达标训练
1、【2020年高考山东】已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．
2、（徐州一中、兴化中学2021届两校联合第二次适应性考试）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求实数的取值范围；若问题中的不存在，请说明理由.
设等差数列的前n项和为，数列的前n项和为，
___________，，()，是否存在实数，对任意都有？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3、（湖南师大附中2021届高三年级上学期第二次月考）已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求出所有的正整数，使得
4、(2019扬州期末）记无穷数列{an}的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，令bn＝，数列{an}的前n项和为An，数列{bn}的前n项和为Bn.
(1)
若数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，求Bn.
(2)
若数列{bn}是等差数列，试问数列{an}是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明．