专题42
圆锥曲线中的向量问题
一、题型选讲
题型一
、有向量关系求圆锥曲线的离心率
例1、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
例2、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为______.
例3、（2019届全国100所名校最新高考模拟示范卷）椭圆的右焦点为，直线与相交于、两点.若，则椭圆的离心率为______.
题型二、求向量数量积的范围
例4、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．
（1）求的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为S1，S2，若，求点M的坐标．
例5、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.
(1)
当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
(2)
①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1?k2为定值；
②求·的取值范围．
例6、(2019苏州暑假测试）如图，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点为
F，上顶点为
A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1)
求椭圆C1的离心率；
(2)
若椭圆C1的短轴长为
8，求·的最大值．
题型二、由向量关系求参数的范围
例7、(2019扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分別为A，B，线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C.
(1)
若点C的横坐标为－1，求点P的坐标；
(2)
若直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且＝λ，求λ的取值范围．
例8、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）设O为原点，，，求证：为定值．
题型三、与向量有关的其它应用
例9、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
例10、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
二、达标训练
1、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，设过右焦点且与轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若是正三角形，则双曲线的离心率为__________.
2、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知双曲线：的左右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点，若，，则的离心率为___________.
3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线的焦点为，准线，是上一点，
是直线与的一个交点，若，则__________.
4、（2019·山东高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.
（1）求的离心率及方程；
（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.
5、【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足，过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为.
（1）求：的值；
（2）证明：为定值.
6、(2017南京、盐城二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．
(1)
求椭圆C的标准方程；
(2)
过点O且平行于l的直线交椭圆C于M，N两点，求的值；
(3)
记直线l与y轴的交点为P，若＝，求直线l的斜率k.
7、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.专题42
圆锥曲线中的向量问题
一、题型选讲
题型一
、有向量关系求圆锥曲线的离心率
例1、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
由题意可设，，线段中点为，且，
可得为的重心，设，，
由重心坐标公式可得，，，
即有的中点，可得，，
由题意可得点在椭圆内，可得，
由，可得，即有.
故答案为：.
例2、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为______.
【答案】
【解析】因为直线过点，且斜率为
所以直线的方程为：
与双曲线联立消去，得
设
所以
因为，可得
代入上式得
消去并化简整理得：
将代入化简得：
解之得
因此，该双曲线的离心率
故答案为：
例3、（2019届全国100所名校最新高考模拟示范卷）椭圆的右焦点为，直线与相交于、两点.若，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】设，，即，，则，即①，又，②，
由①②得，即，或（舍去），解得.
故答案为：.
题型二、求向量数量积的范围
例4、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．
（1）求的周长；
（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；
（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为S1，S2，若，求点M的坐标．
【解析】（1）椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则.
所以的周长为.
（2）椭圆的右准线为.
设，
则，
在时取等号.
所以的最小值为.
（3）因为椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，
则.
所以直线
设，因为，所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍.
由此得，
则或.
由得，此方程无解；
由得，所以或.
代入直线，对应分别得或.
因此点的坐标为或.
例5、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.
(1)
当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；
(2)
①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1?k2为定值；
②求·的取值范围．
【解析】(1)
由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(，0)，
当直线PM过椭圆的右焦点F时，
则直线PM的方程为＋＝1，即y＝x－1，
联立解得或(舍)，即M.(2分)
连结BF，则直线BF：＋＝1，即x＋y－＝0，
而BF＝a＝2，点M到直线BF的距离为d＝＝＝.
故S△MBF＝·BF·d＝×2×＝.(4分)
(2)
解法1(点P为主动点)
①设P(m，－2)，且m≠0，则直线PM的斜率为k＝＝－，
则直线PM的方程为y＝－x－1，
联立化简得x2＋x＝0，
解得M，(6分)
所以k1＝＝＝m，k2＝＝－，(8分)
所以k1·k2＝－·m＝－为定值．(10分)
②由①知，＝(－m，3)，＝(－－m，＋2)＝，
所以·＝(－m，3)·＝，(12分)
令m2＋4＝t>4，故·＝＝＝t－＋7，(14分)
因为y＝t－＋7在t∈(4，＋∞)上单调递增，
所以·＝t－＋7>4－＋7＝9，即·的取值范围为(9，＋∞)．(16分)
解法2(点M为主动点)
①设点M(x0，y0)(x0≠0)，则直线PM的方程为y＝x－1，
令y＝－2，得P.(6分)
所以k1＝，k2＝＝，(8分)
所以k1·k2＝·＝＝＝－(定值)．(10分)
②由①知，＝，
＝，(12分)
所以·＝＋3(y0＋2)＝＋3(y0＋2)＝＋3(y0＋2)＝.(14分)
令t＝y0＋1∈(0，2)，
则·＝＝－t＋＋7，
因为y＝－t＋＋7在t∈(0，2)上单调递减，
所以·＝－t＋＋7>－2＋＋7＝9，即·的取值范围为(9，＋∞)．(16分)
例6、(2019苏州暑假测试）如图，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点为
F，上顶点为
A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1)
求椭圆C1的离心率；
(2)
若椭圆C1的短轴长为
8，求·的最大值．
【解析】
(1)
由题意得F(c,0)，A(0，b)，则kAF＝－.(2分)
因为在y轴上截距为3－的直线l与AF平行，
所以直线l：y＝－x＋3－，即bx＋cy＋(－3)c＝0.(4分)
因为圆C2的圆心C2(0,3)，半径r＝1，直线l与圆C2相切，所以＝1，即＝1，所以e＝.(6分)
(2)
因为椭圆C1
的短轴长为
8，所以2b＝8，即b＝4.
因为a2＝b2＋c2，＝1，所以a＝c,2c2＝b2＋c2.(8分)
所以c＝b＝4，a＝4，所以椭圆方程是＋＝1.(10分)
设P(x，y)，则
·＝(＋)·(＋)
＝()2＋·(＋)＋·
＝()2＋·
＝x2＋(y－3)2－1
＝32＋(y－3)2－1
＝－y2－6y＋40＝－(y＋3)2＋49，
又y∈[－4,4]，所以当y＝－3时，·的最大值是49.(16分)
题型二、由向量关系求参数的范围
例7、(2019扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分別为A，B，线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C.
(1)
若点C的横坐标为－1，求点P的坐标；
(2)
若直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且＝λ，求λ的取值范围．
【解析】
由题意得解得所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆M的方程是＋＝1且A(－2，0)，B(2，0)(3分)
解法1(点参数法)
(1)设P(x0，y0)，kPA＝，因为l1⊥PA，所以直线AC的方程为y＝－(x＋2)．
同理直线BC的方程为y＝－(x－2)．
联立方程组解得.
又因为点P(x0，y0)在椭圆上，故＋＝1，所以＝＝－y0，
所以点C的坐标为.(6分)
因为点C的横坐标为－1，所以x0＝1.又因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以y0＝，
所以点P的坐标为.(8分)
(2)解法1
设Q(xQ，yQ)，因为＝λ，所以解得
因为点Q在椭圆M上，所以＋＝1.
又y＝3，整理得7x－36(λ－1)x0＋72λ－100＝0，解得x0＝2或x0＝.(14分)
因为P为椭圆M上第一象限内一点
所以0<<2，解得<λ<，故λ的取值范围是.(16分)
解法2
P为椭圆M上第一象限内由(1)可知直线AC的斜率为k＝－，直线AC的方程为y＝k(x＝2)，联方方程组得(4k2＋3)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，所以xAxQ＝(－2)xQ＝，
故xQ＝＝＝＝，
故λ＝＝＝.因为0
解法2(线参数法)
(1)
设直线AP的斜率为k，P(x0，y0)．因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以0所以kAP·kBP＝·＝＝－，所以直线BP的斜率为－.故直线AP，BP的方程分别为y＝k(x＋2)，y＝－(x－2)．
联立方程组解得即P.
因为l1⊥PA，所以kAC＝－，则直线AC的方程为y＝－(x＋2)．
因为l2⊥PB，所以kBC＝k，则直线BC的方程为y＝k(x－2)．
联立言程组得
即C.(6分)
因为点C的横坐标为－1，所以＝－1，解得k＝±.
因为0(2)设Q(xQ，yQ)，C(xC，yC)，又直线AC的方程为y＝－(x＋2)．
联立方程组得(3k2＋4)x2＋16x＋16－12k2＝0，所以－2·xQ＝，
解得xQ＝.
因为＝λ，所以λ＝＝＝＝1＋.(14分)
因为0例8、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）设O为原点，，，求证：为定值．
【解析】（1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k<0或0又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．
所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由（1）知，．
直线PA的方程为．
令x=0，得点M的纵坐标为．
同理得点N的纵坐标为．
由，得，．
所以．
所以为定值．
题型三、与向量有关的其它应用
例9、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
【解析】（1）设，则．
两式相减，并由得．
由题设知，于是．
由题设得，故．
（2）由题意得，设，则．
由（1）及题设得．
又点P在C上，所以，从而，．
于是，同理，
所以，故，即成等差数列．
设该数列的公差为d，则．①
将代入得，所以l的方程为，
代入C的方程，并整理得，故，
代入①解得，所以该数列的公差为或．
例10、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若，求|AB|．
【答案】（1）；（2）.
【解析】设直线．
（1）由题设得，故，由题设可得．
由，可得，则．
从而，得．
所以的方程为．
（2）由可得．
由，可得．
所以．从而，故．
代入的方程得．
故．
二、达标训练
1\【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，设过右焦点且与轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若是正三角形，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】不妨设点在轴上方，
联立得.
因为是正三角形，所以.
所以.
故答案为：
2、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知双曲线：的左右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点，若，，则的离心率为___________.
【答案】.
【解析】：设双曲线的渐近线方程为，的方程为，
设，直线的方程为，
联立，可得，)，
联立，可得，)，
由，可得)，
化为，①
，可得，，
即，化为，②
由①②可得，
则＝＝＝，
故答案为：.
3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线的焦点为，准线，是上一点，
是直线与的一个交点，若，则__________.
【答案】
【解析】根据题意画出图形，设与轴的交点为M，过Q向准线，垂足是N，
∵抛物线，∴焦点为，准线方程为，
∵，
4、（2019·山东高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.
（1）求的离心率及方程；
（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意可知，，则，
又的周长为8，所以，即，
则，.
故的方程为.
（2）假设存在点，使得为定值.
若直线的斜率不存在，直线的方程为，，，
则.
若直线的斜率存在，设的方程为，
设点，，联立，得，
根据韦达定理可得：，，
由于，，
则
因为为定值，所以，
解得，故存在点，且.
5、【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足，过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为.
（1）求：的值；
（2）证明：为定值.
【解析】（1）设，，
∵焦点，∴，，
∵，∴消得，
化简整理得，
∵，∴，∴.
∴（定值）.
（2）抛物线方程为，∴，
∴过抛物线、两点的切线方程分别为和，
即和，
联立解出两切线交点的坐标为，
∴（定值）.
6、(2017南京、盐城二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．
(1)
求椭圆C的标准方程；
(2)
过点O且平行于l的直线交椭圆C于M，N两点，求的值；
(3)
记直线l与y轴的交点为P，若＝，求直线l的斜率k.
【解析】
(1)
由点(b,2e)在椭圆C上，得＋＝1.
因为e2＝＝＝1－，所以＋＝.(2分)
又b2所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(4分)
(2)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
由对称性知N(－x0，－y0)，其中y1＜0.
因为MN∥AB，所以＝.(6分)
直线AB的方程为y＝k(x－1)，直线MN的方程为y＝kx，其中k＞0.
由消去x，得(1＋2k2)y2＋2ky－7k2＝0，所以y1＝，y2＝，y1y2＝.(8分)
由消去x，得(1＋2k2)y2＝8k2，所以y＝.
从而得＝.(10分)
(3)
由＝，得－x1＝(x2－1)．(12分)
由消去y，得
(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－8＝0，
解得x1＝，x2＝，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
又因为－x1＝(x2－1)，
所以x1＝，x2＝，(14分)
从而·＝.
整理得50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2.
因为k＞0，所以k＝.(16分)
7、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
【解析】（1）由题设得A（–a，0），B（a，0），G（0，1）.
则，=（a，–1）.由=8得a2–1=8，即a=3.
所以E的方程为+y2=1．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.
若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–3由于直线PA的方程为y=（x+3），所以y1=（x1+3）.
直线PB的方程为y=（x–3），所以y2=（x2–3）.
可得3y1（x2–3）=y2（x1+3）.
由于，故，可得，
即①
将代入得
所以，．
代入①式得
解得n=–3（含去），n=.
故直线CD的方程为，即直线CD过定点（，0）．
若t=0，则直线CD的方程为y=0，过点（，0）.
综上，直线CD过定点（，0）.