《带电粒子在磁场中的运动轨迹的分析》课件（新人教版）

(共60张PPT)
磁场专题复习
有关带电粒子在磁场中运动轨迹的
分 析
ν
F
带电粒子（不计重力）在匀强磁场中的运动
．
分析：带电粒子在磁场中运动时，它所受的洛伦兹力总与速度方向垂直，洛伦兹力在速度方向没有分量，所以洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力不对带电粒子做功，不改变粒子的能量。由于粒子速度大小不变，所以粒子在匀强磁场中所受洛伦兹力的大小也不改变，加之洛伦兹力总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用。所以沿着与磁场垂直的方向射入磁场的带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动。
(1)洛伦兹力提供向心力
(2)周期：
07年理综宁夏卷24题赏析
24、在半径为R的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B。一质量为m，带有电量q的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD方向经P点（AP＝d）射入磁场（不计重力影响）。
⑴如果粒子恰好从A点射出磁场,求入射粒子的速度。
⑵如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出，出射方向与半圆在Q点切线方向的夹角为
φ(如图)。求入射粒子的速度。
解：
⑴由于粒子在P点垂直射入磁场，故圆弧轨道的圆心在AP上，AP是直径。
设入射粒子的速度为v1，由洛伦兹力的表达式和牛顿第二定律得：
解得：
⑵设O'是粒子在磁场中圆弧轨道的圆心，连接O' Q，设O' Q＝R' 。
由几何关系得：
R
O
D
A
P
Q
φ
O'
R'
由余弦定理得：
解得：
设入射粒子的速度为v，由
解得：
D
R
A
O
P
Q
φ
O'
R'
此题是通过粒子的一段运动轨迹找圆心位置以及确定轨迹圆和磁场圆半径的几何关系，尤其是“余弦定理”的应用，这是应用数学知识处理物理问题最为突出的地方。考生只有具备扎实的应用数学知识处理物理问题的能力，才能根据问题和运动规律列出物理量之间的关系式，从而进行推理和求解。
思路导引：带电粒子在匀强磁场中做圆周运动在高中物理中占有非常重要的地位，既是高中物理一个难点，又是高考的热点。解决这类问题既要用到物理中的洛伦兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的几何知识，综合性强。带电粒子做匀速圆周运动的求解关键是画轨迹、找圆心，根据几何图形关系，确定它的半径、偏向角，最后求出带电粒子在磁场中的运动时间。
带电粒子（不计重力）在匀强磁场中的运动
①圆心的确定
a、两个速度方向垂直线的交点。（常用在有界磁场的入射与出射方向已知的情况下）
V
O
b、一个速度方向的垂直线和一条弦的中垂线的交点
O
基本思路：圆心一定在与速度方向垂直的直线上，通常有两种方法：
1、直线边界（进出磁场具有对称性）
2、平行边界（存在临界条件）
3、圆形边界（沿径向射入必沿径向射出）
注意：①从一边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角（弦切角）相等。②带电粒子沿径向射入圆形磁场区域内，必从径向射出。③关注几种常见图形的画法，如图所示：
②半径的确定
主要由三角形几何关系求出（一般是三角形的边边关系、边角关系、全等、相似等）。例如：已知出射速度与水平方向夹角θ，磁场宽度为d，则有关系式r=d/sinθ，如图所示。再例如：已知出射速度与水平方向夹角θ和圆形磁场区域的半径r，则有关系式R=rcot ,如图所示。
③运动时间的确定
先确定偏向角。带电粒子射出磁场的速度方向对射入磁场的速度的夹角θ，即为偏向角，它等于入射点与出射点两条半径间的夹角（圆心角或回旋角）。由几何知识可知，它等于弦切角的2倍，即θ=2α=ωt,如图所示。
然后确定带电粒子通过磁场的时间。粒子在磁场中运动一周的时间为 ,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ 时，其运动时间由下式表示：
C
D
B
v
α
【例题】如图，在B=9.1×10-4T的匀强磁场中，C、D是垂直于磁场方向的同一平面上的两点，相距d=0.05m。在磁场中运动的电子经过C点时的速度方向与CD成α=300角，并与CD在同一平面内，问：
(1)若电子后来又经过D点，则电子的速度大小是多少？
(2)电子从C到D经历的时间是多少？
(电子质量me= 9.1×10-31kg，电量e = 1.6×10-19C)
◆带电粒子在无界磁场中的运动
O
B
S
ν
ν
O1
◆带电粒子在半无界磁场中的运动
①如果垂直磁场边界进入，粒子作半圆运动后垂直原边界飞出；
②如果与磁场边界成夹角θ进入，仍以与磁场边界夹角θ飞出（有两种轨迹，图中若两轨迹共弦，则θ1＝θ2）。
ν
θ
α
α
α
O1
θ
B
θ
υ
02
α
ν
θ
【例题】如图所示，在y＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面向里，磁感强度为B.一带负电的粒子（质量为m、电荷量为q）以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ.求：
(1)该粒子射出磁场的位置
(2)该粒子在磁场中运动的时间.(粒子所受重力不计)
分析与解：
关键：找圆心、找半径
画轨迹图找几何关系
ν
ν
θ
α
α
α
O1
θ
．
．
300
M
N
B
r
r
O
600
O’
r
r
600
1、 如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？
【习题】
2、一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率v垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。磁感应强度B的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图中纸面向里.
（1）求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离.
（2）如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P，证明:直线OP与离子入射方向之间的夹角θ跟t的关系是
O
B
S
v
θ
P
3．如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多质量为m,带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O射入磁场区域,不计重力,不计粒子间的相互影响.下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域,其中R=mv/qB.哪个图是正确的
M
N
B
O
A
2R
R
2R
M
N
O
2R
R
2R
M
N
O
2R
2R
2R
M
N
O
R
2R
2R
M
N
O
D.
A.
B.
C.
解： 带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O射入磁场区域,由R=mv/qB,各个粒子在磁场中运动的半径均相同, 在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以O为圆心、
以R=mv/qB为半径的1/2圆弧上,如图虚线示:各粒子的运动轨迹如图实线示:带电粒子可能经过的区域阴影部分如图斜线示
2R
R
2R
M
N
O
4．如图,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小B=0.60T,磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行,在距ab的距离L=16cm处,有一个点状的放射源S,它向各个方向发射α粒子,α粒子的速度都是v=4.8x106 m/s,已知α粒子的电荷与质量之比q/m=5.0x107C/kg现只考虑在图纸平面中运动的α粒子,求ab上被α粒子打中的区域的长度.
s
a
b
L
.
解:粒子带正电,故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动,用R表示轨道半径,有
因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S,由此可知,某一圆轨迹在图中ab上侧与ab相切,则此切点P1就是该粒子能打中的上侧最远点.
s
a
b
P1
再考虑ab的下侧.任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R,以2R为半径、S为圆心作圆,交ab于ab下侧的P2点,此即下侧能打到的最远点.
P2
N
L
5．如图所示，虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电荷量为+q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L，不计重力和粒子间的相互作用。
M
N
P
O
（1）求所考察的粒子在磁场中的轨道半径；
（2）求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔。
解：作出粒子运动轨迹如图。
质点在磁场中作圆周运动，
半径为：R=mv/qB
从O点射入到相遇，粒子1、2的路径分别为：
粒子1运动时间：
t1=T/2+T(2θ/2π)
由几何知识：
粒子2运动时间：
t2=T/2－T(2θ/2π)
cosθ=L/2R
得：θ=arccos(L/2R)
故两粒子运动时间间隔：
△t=t1 －t2=2Tθ/π=
4m
Bq
.arccos( )
LBq
2mv
OＲP、OＫP
周期为：T=2πm/qB
Q
1
Q
2
M
N
θ
θ
2
O
P
θ
θ
θ
θ
2
Ｒ
Ｋ
①速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出；②速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出
S
B
P
S
S
Q
P
Q
Q
①速度较小时，作圆周运动通过射入点；②速度增加为某临界值时，粒子作圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出
圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上
圆心在过入射点跟边界垂直的直线上
圆心在磁场原边界上
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态．
◆带电粒子在平行直线边界磁场区域中的运动
(2)侧移距离y
θ
B
d
O
r
r
θ
(1)偏向角（回旋角）θ
(3)时间t
注意区分“电偏转”和“磁偏转”
1．如图所示，一束电子（电量为e）以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来射入方向的夹角是30 ，则电子的质量是多大？穿透磁场的时间是多少
30
B
d
O
r
r
300
2．在真空中宽ｄ的区域内有匀强磁场Ｂ，质量为ｍ，电量为e，速率为ｖ的电子从边界ＣＤ外侧垂直射入磁场，入射方向与ＣＤ夹角θ，为了使电子能从磁场的另一侧边界ＥＦ射出，ｖ应满足的条件是：
Ａ.v＞eBd/m（1+sinθ）
Ｂ.v＞eBd/m（1+cosθ）
Ｃ.v＞ eBd/msinθ
Ｄ.v＜ eBd/mcosθ
C
E
F
D
B
O
．
θ
B
思考：求电子在磁场中运动的最长时间是多长？
3．如图所示，相互平行的直线M、N、P、Q间存在垂直于纸面的匀强磁场。某带负电粒子由O点垂直于磁场方向射入，已知粒子速率一定，射入时速度方向与OM间夹角的范围为0<θ<90 ，不计粒子的重力，则：
A.θ越大，粒子在磁场中运动的时间可能越短
B.θ越大，粒子在磁场中运动的路径一定越长
C.θ越大，粒子在磁场中运动轨迹的圆心到MN的距离一定越小
D.粒子在磁场中运动的轨迹长度与时间的比值与θ无关
M
N
P
Q
θ
O
A C D
M
N
P
Q
O
要点：要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。
由sinθ=L/R求出。
由 R2=L2 + (R-y)2 解出。
由 得出。
比较学习：
这点与带电粒子在匀强电场中的偏转情况一样吗？
B
v
L
R
y
O
θ
E
O1
F
偏转角θ:
侧移量y:
经历时间t:
◆带电粒子在矩形磁场区域中的运动
思考：o1为线段EF的中点吗？
o
B
d
a
b
c
θ
B
圆心在磁场原边界上
圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上
①速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出；②速度在某一范围内时从侧面边界飞出；③速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。
①速度较小时粒子作部分圆周运动后从原边界飞出；②速度在某一范围内从侧面边界飞；③速度较大时粒子作部分圆周运动从另一侧面边界飞出。
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
◆带电粒子在矩形磁场区域中的运动
【例题】如图所示,一束电子(电量为e)以速度V垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场,穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹角为300.求:
(1)电子的质量 m
(2)电子在磁场中的运动时间t
d
B
e
θ
v
v
θ
变化1：在上题中若电子的电量e，质量m，磁感应强度B及宽度d已知，若要求电子不从右边界穿出，则初速度V0有什么要求？
B
e
v0
d
B
变化2：若初速度向下与边界成
α = 60 0，则初速度有什么要求？
变化3：若初速度向上与边界成
α = 60 0，则初速度有什么要求？
1、如图所示．长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是：
A．使粒子的速度vB．使粒子的速度v>5BqL/4m；
C．使粒子的速度v>BqL/m；
D．使粒子速度BqL/4mr2
O2
+q
r2
O1
A B
【习题】
r2
O2
+q
r2
O1
粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O1点，有
粒子擦着上板从右边穿出时，圆心在O2点，有
粒子不打在极板上可能从左端穿出，也可能从右端穿出，必须全面分析问题．
拓展：一大群这种带电粒子沿平行于板的方向从各个位置以速度v从金属板的左端射入板间，为了使这些正电荷都不从板间穿出，这些带电粒子的速度需满足什么条件
M
N
d
5d
B
＋
＋
＋
＋
带电粒子沿逆时针方向做半径相同的匀速圆周运动，如果从下板进入场区的带电粒子不从板间穿出，则这些正电荷就都不从板间穿出．
2.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O方向垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角θ=300 、大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m、电量为q，ab边足够长，ad边长为L，粒子的重力不计。求：⑴.粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围。⑵.如果带电粒子不受上述v0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。
V0
O
a
b
c
d
V0
O
a
b
c
d
θ
300
600
V0
θ
2θ
2θ
穿过圆形磁场区。画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。
偏向角可由 求出。
经历 时间由 得出。
注意:由对称性,射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。
v
R
v
O′
O
r
θ
θ
◆带电粒子在圆形磁场区域中的运动
【例题】圆形区域内存在垂直纸面的半径为R的匀强磁场，磁感强度为B，现有一电量为q、质量为m的正离子从a点沿圆形区域的直径射入，设正离子射出磁场区域的方向与入射方向的夹角为600，求此离子在磁场区域内飞行的时间及射出的位置。
B

600
600
P(x y)
y
x
O’
x
y
o
O
1、电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？
【习题】
A1
A3
A4
A2
30
60
Ⅰ
Ⅱ
2、如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60 。一质量为m、带电量为+q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30 角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）。
A1
A3
A4
A2
30
60
Ⅰ
Ⅱ
v
解析：设粒子的入射速度为v，已知粒子带正电，故他在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做圆周运动，最后从A4射出，如图2所示。用B1、B2、R1、R2、T1、T2分别表示在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度、轨道半径和周期，
设圆形区域的半径为r，已知带电粒子过圆心且垂直于A2A4进入Ⅱ区磁场。连接A1A2， 为等边三角形，A 2为带电粒子在Ⅰ区磁场中运动轨迹的圆心，其轨迹的半径 圆心角 ，带电粒子在Ⅰ区中运动的时间为
带电粒子在Ⅱ区磁场中运动轨迹的圆心在OA4的中点,即
粒子在磁场Ⅱ中运动的时间为
带电粒子运动的总时间为
有以上各式可得
3、如图所示，虚线所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动的方向与原入射方向成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力。求：
（1）电子在磁场中运动轨迹的半径R；
（2）电子在磁场中运动的时间t；
（3）圆形磁场区域的半径r。
B
O
v
v
θ
r
解：
（1）由牛顿第二定律和洛沦兹力公式得　
解得
（2）设电子做匀速圆周运动的周期为T，
由如图所示的几何关系得：圆心角
所以
（3）由如图所示几何关系可知，
所以
B
O
v
v
θ
r
R
O′
α
则
例.如图所示，一个带电量为正的粒子，从A点正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次并绕筒一圈后仍从A点射出，求正离子在磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。
变式考题：
O
A
B
v
分析与解 ：
设粒子与圆筒碰（n-1）次有： n（π－θ）＝2π
θ ＝ π－ 2π/n
由几何关系得:tan(θ/2)=R/r
正离子在磁场中运动的时间t=n(rθ/v)
∴t=(n-2)πR tan(π/n) /v
（ｎ≥３）
O1
θ
r
R
O
A
B
v
再变：
若将上题中的“并绕筒一圈”五字去掉呢？
n（π－θ）＝2kπ
θ ＝ π－ 2kπ/n
（ 0＜ θ＜ π）
tan (θ/2)=R/r
t=n(rθ/v)
t=(n-2k)πRtan(kπ/n) /v
(ｎ＞2k k=1，2，3 …… ）
还能变吗？
1、筒变成正三角形、矩形？
2、原题中的v方向可以变吗？如：不沿半径方向呢？
……
试一试：
出道题考考你的同桌
O
A
B
v
A
B
C
P
α
a
O
b
B
C
D
E
4．如图所示，一个质量为m、电量为q的正离子，在小孔S处正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点射出，求正离子在磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。
O
B
·
R
S
．
解:粒子经过与圆筒发生n（n=2,3,4……）次与圆筒碰撞从原孔射出，其在圆筒磁场中运动的轨迹为n+1段对称分布的圆弧，
每段圆弧的圆心角为
正离子在磁场中运动的时间
O’
r
r
O
B
·
R
S
．
5．如图所示，在半径为R的圆筒内有匀强磁场，质量为m、带电量为q的正离子在小孔S处，以速度v0向着圆心射入，施加的磁感应强度为多大，此粒子才能在最短的时间内从原孔射出？（设相碰时电量和动能均无损失）
O’
r
r
O
B
·
R
S
．
解:粒子经过n=2,3,4……次与圆筒碰撞从原孔射出，其运动轨迹具有对称性．当发生最少碰撞次数n=2时
O
B
·
R
S
．
O’
r
r
当发生碰撞次数n=3时
可见发生碰撞次数越多，所用时间越长，故当n=2时所用时间最短
O’
r
r
O
B
·
R
S
．
思考：求碰撞次数n=2时粒子在磁场中运动的时间．
D
例题．如图所示，在边长为2a的等边三角形△ABC内存在垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场，有一带电量为q、质量为m的粒子从距A点 的D点垂直于AB方向进入磁场。若粒子能从AC间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出？
◆带电粒子在三角形磁场区域中的运动
答案：要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足
粒子从距Ａ点 的 间射出
解题规律小结：
1、基本公式需熟练掌握：
3、注意题设中的隐含条件和临界条件
2、画轨迹找几何关系列相应方程
1)确定圆心；2）求半径；3）求时间