2020-2021学年华东师大新版八年级上册《第13章 全等三角形》单元测试卷（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年华东师大新版八年级上册《第13章 全等三角形》单元测试卷（word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 186.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-21 10:02:54 | ||
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文档简介
2020-2021学年华东师大新版八年级上册《第13章
全等三角形》单元测试卷
一．选择题
1．如图，△ABC≌△DEF，∠A＝90°，∠C＝50°，则∠E的度数是（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．90°
2．如图，在△ABC和△ABD中，∠CAB＝∠DAB，点A，B，E在同一条直线上，则添加以下条件，仍然不能判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．BC＝BD
B．∠C＝∠D
C．∠CBE＝∠DBE
D．AC＝AD
3．下列命题中正确的有（ ）个．
（1）有两个角互余的三角形是直角三角形；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
（3）等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合；
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
A．1
B．2
C．3
D．4
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．如果m∥n，n∥l，那么m∥l（m、n、l为三条不重合的直线）
B．立方根等于本身的数是﹣1，0、1
C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
5．有三位同学对校队与市队足球赛进行估计，A说：校队至少进3个球，B说：校队进球数不到5个，C说：校队至少进1个球．比赛后，知道3个人中，只有1个人的估计是对的，你能知道，校队踢进球的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．1个
D．0个
6．如图，已知△OAB≌△OCD，若OA＝4，∠AOB＝35°，∠OCA＝62°，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠BDO＝62°
B．∠BOC＝21°
C．OC＝4
D．CD∥OA
7．如图，直线MN与直线PQ互相垂直，垂足为O．点A，B分别在直线PQ与直线MN上，AI平分∠OAB，BI平分∠OBA，则∠BIA的大小为（ ）
A．100°
B．105°
C．120°
D．135°
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．相等的角是对顶角
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
9．如图，锐角△ABC中，F、G分别是AB、AC边上的点，△ACF≌△ADF，△ABG≌△AEG，且DF∥BC∥GE，BG、CF交于点H，若∠BAC＝40°，则∠BHC的大小是（ ）
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
10．学校体育室里有6个箱子，分别装有篮球和足球（不混装），数量分别是8，9，16，20，22，27，体育课上，某班体育委员拿走了一箱篮球，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，则这六箱球中，篮球有（ ）箱．
A．2
B．3
C．4
D．5
二．填空题
11．如图，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝
°．
12．命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是
命题．（填“真”或“假”）
13．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式
，它是
命题（“真”或“假”）．
14．请写出“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题：
，此逆命题是
（“真”、“假”）命题．
15．如图，△ABD与△EBC全等，点A和点E是对应点，AB＝1，BC＝3，则DE的长等于
．
16．如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，那么∠CFE的度数是
．
17．如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝96°，则∠BAC度数的值为
．
18．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，且BE＝CF，请添加一个条件
，使△ABC≌△DEF．
19．四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他们每人都只猜对了一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为
．（按一、二、三、四的名次排序）
20．课间，刘老师与甲、乙两同学做了一个游戏，刘老师的生日是m月n日，刘老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后刘老师列出来了10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话之后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，刘老师的生日是
．
三．解答题
21．如图，现有以下三个条件：①AB∥CD；②∠B＝∠D；③∠E＝∠F．请以其中两个条件为条件，第三个条件为结论构造新的命题．
（1）请写出所有的命题；（数学中的命题通常可以写成“如果…那么…”的形式）
（2）请选择其中的一个真命题进行证明．
22．如图，在四边形ABCD中，①AB∥CD，②∠A＝∠C，③AD∥BC．
（1）请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由．
23．给出：①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF，从中选择两个填在下面的文字“且”之后，再将剩余的一个作为结论填在“则”后面，构成一个命题．判断命题是否正确，并说明理由．
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，且
，则
．
24．如图①，已知点C、D是线段AB上两点，D是AC的中点，若CB＝4cm，DB＝7cm．
（1）求线段AB的长；
（2）如图②，若M，N分别为AD，CB的中点，求线段MN的长；
（3）类比以上探究，如图③，解决以下问题：射线OA，OB分别为∠MOP和∠NOP的平分线，∠MON＝α，∠NOP＝β（β＜α）．求∠AOB的大小．
25．问题提出：巴什博弈（BashGame）：有100个棋子，两个人轮流从这堆子中取棋子，规定每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
问题深究：我们研究数学问题时，我们经常采用将一般问题特殊化的策略，因此我们首先取几个特殊值试试．
探究（1）：3个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若自己先拿一个棋子，对手拿两个从而获胜：若自己先拿两个棋了，对手拿一个从而获胜，所以3个棋子时，后拿可胜．
探究（2）：4个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若自己先拿一个棋子，剩余三个棋子，对方拿一个，自己拿两个从而获胜；对方拿两个，自己拿一个从而获胜．所以4个棋子时，先手先拿1个棋子可获胜．
探究（3）：5个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若自己先拿两个棋子，剩余三个棋子，对方拿一个，自己拿两个从而获胜；对方拿两个，自己拿一个从而获胜，所以5个棋子时，先手先拿2个棋子可获胜．
探究（4）：6个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若对方先拿一个，再按探究（3）的拿法，自己可获胜；若对方先拿两个，再按照探究（2）的拿法，自己可获胜，所以6个棋子时，后拿可胜．
探究（5）：7个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若自己先拿一个棋子，剩余六个棋子，若对方再拿一个自己再拿
个可获胜；若对方再拿两个，自己再拿
个可获胜，所以7个棋子时，先手先拿1个棋子可获胜．
……
探究总结：
（1）当总棋子个数
个时，后拿可胜；
（2）当总棋子个数
个时，先拿可胜．
问题解决：有100个棋子，两个人轮流从这堆棋子中取棋子，规定每人每次可拿1个或2个棋子，最后拿光者获胜．要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
问题拓展：13个棋子，每人每次可拿一个，两个或三个棋子，最后拿光着获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
26．某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1～19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码数之和不小于32，请你说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵∠A＝90°，∠C＝50°，
∴∠B＝180°﹣（∠A+∠C）＝40°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝40°，
故选：B．
2．解：添加A不能判断△ABC≌△ABD，
添加B用AAS判断△ABC≌△ABD，
添加C，
∵∠CBA+∠CBE＝180°，∠ABD+∠EBD＝180°，
∠CBE＝∠DBE
∴∠ABC＝∠ABD
∴△ABC≌△ABD（ASA），
添加D用SAS判断△ABC≌△ABD，
故选：A．
3．解：（1）有两个角互余的三角形是直角三角形，本说法正确；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，本说法正确；
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，本说法错误；
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，本说法正确；
故选：C．
4．解：A、如果m∥n，n∥l，那么m∥l（m、n、l为三条不重合的直线），是真命题，不符合题意；
B、立方根等于本身的数是﹣1，0、1，是真命题，不符合题意；
C、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，不符合题意；
D、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项说法是假命题，符合题意；
故选：D．
5．解：若A真，则C真，显然不符合题意的要求；
若C真，则A、B必有一个是真命题，显然也不符合题意；
因此只有一种情况，即：B真，A、C为假命题，那么此时球队踢进求的个数是0个．
故选：D．
6．解：A、∵△OAB≌△OCD，
∴OA＝OC，OB＝OD，∠COD＝∠AOB，
∴∠OAC＝∠OCA＝62°，∠OBD＝∠ODB，∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝56°，
∴∠BOD＝∠AOC＝56°，
∴∠BDO＝×（180°﹣56°）＝62°，故本选项说法正确，不符合题意；
B、∵∠AOC＝56°，∠AOB＝35°，
∴∠BOC＝56°﹣35°＝21°，故本选项说法正确，不符合题意；
C、∵△OAB≌△OCD，OA＝4，
∴OC＝OA＝4，故本选项说法正确，不符合题意；
D、∵∠AOC＝56°，∠OCD不一定是56°，
∴CD与OA不一定平行，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
7．解：∵MN⊥PQ，
∴∠BOA＝90°．
∴∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠BOA＝90°．
又∵AI平分∠OAB，BI平分∠OBA，
∴∠IBA＝，∠IAB＝．
∴∠IBA+∠IAB＝＝＝45°．
∴∠BIA＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝180°﹣45°＝135°．
故选：D．
8．解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；
B、在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；
C、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题；
故选：D．
9．解：延长EG交AB于Q，交AD于P，
∵△ACF≌△ADF，△ABG≌△AEG，∠BAC＝40°，
∴∠DAF＝∠BAC＝40°，∠EAG＝∠BAC＝40°，∠D＝∠ACF，∠E＝∠ABG，
∴∠PAE＝120°，
∴∠APE+∠E＝60°，
∵DF∥EP，
∴∠APE＝∠D，
∴∠APE＝∠ACF，
∴∠ABG+∠ACF＝60°，
∵∠BFH＝∠BAC+∠ACF，
∴∠BHC＝∠ABG+∠BFH＝∠ABG+∠BAC+∠ACF＝60°+40°＝100°，
故选：B．
10．解：∵8+9+16+20+22+27＝102（个），根据题意，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，
∴剩下的五箱球中，篮球和足球的总个数是3的倍数，
由于102是3的倍数，
所以拿走的篮球个数也是3的倍数，
只有9和27符合要求，
假设拿走的篮球的个数是9个，则（102﹣9）÷3＝31，剩下的篮球是31个，由于剩下的五个数中，没有哪两个数的和是31个，故拿走的篮球的个数不是9个，
假设拿走的篮球的个数是27个，则（102﹣27）÷3＝25，剩下的篮球是25个，只有9+16＝25，所以剩下2箱篮球，
故这六箱球中，篮球有3箱，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠AOC，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝（∠BOC+∠COA）＝∠AOB＝45°．
故答案为：45．
12．解：命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是“三个角都是60°的三角形是等边三角形”，是真命题，
故答案为：真．
13．解：命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，它是真命题，
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；真．
14．解：“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，是真命题，
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；真．
15．解：∵△ABD≌△EBC，AB＝1，BC＝3，
∴BE＝AB＝1，BD＝BC＝3，
∴DE＝BD﹣BE＝3﹣1＝2，
故答案为：2．
16．解：设AD与BC交于点G，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，
∴∠BAD+∠CAE＝135°﹣55°＝80°，
∴∠BAD＝∠CAE＝40°，
∵∠B＝∠D，∠BGA＝∠DGF，
∴∠CFE＝∠DFB＝∠BAD＝40°，
故答案为：40°．
17．解：∵△ABC≌△ADE，∠BAD＝96°，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠ABD＝∠ADB＝×（180°﹣96°）＝42°，
∵AE∥BD，
∴∠DAE＝∠ADB＝42°，
∴∠BAC＝∠DAE＝42°，
故答案为：42°．
18．解：添加∠ABC＝∠DEF，
理由如下：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：∠ABC＝∠DEF．
19．解：因为他们每人只猜对一半，
可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：
明明：甲得第一→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二→乙得第三，成立；
若假设明明说“乙得第二”是正确的，由此进行推导：
明明：乙得第二→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二，矛盾．
所以甲、乙、丙、丁的名次顺序为甲、丙、乙、丁．
故答案为：甲、丙、乙、丁．
20．解：甲只知道生日的月份，而给出的每个月都有两个以上的日期，甲说：“我不知道”，
根据甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”
则由甲的话可知：甲知道日的数字只出现过一次的日期对应的月份肯定不对，
则生日的月份不是5月，9月；
乙听了甲的话之后，推理出生日可能在2月5日，2月7日，2月9日，8月4日，8月7日，
乙说：“本来我不知道，但现在我知道了．”
可知生日肯定不是2月7日或者8月7日，
只有“2月5日，2月9日，8月4日”满足，
乙是知道n的，所以乙可以知道生日是哪个，
由甲也知道生日可推出生日只能是8月4日．
故答案为：8月4日．
三．解答题
21．解：（1）第一种：如果AB∥CD，∠B＝∠D，那么∠E＝∠F．
第二种：如果AB∥CD，∠E＝∠F，那么∠B＝∠D．
第三种：如果AB∥CD，∠B＝∠D，∠E＝∠F，那么AB∥CD．
（2）证明第一种，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCF，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠DCF，
∴DE∥BF，
∴∠E＝∠F．
22．解：（1）如果AB∥CD，∠A＝∠C，那么AD∥BC；
（2）这个命题是真命题，
证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC．
23．解：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，且BE平分∠ABC，CD⊥AB，则∠CFE＝∠CEF，
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBE+∠CEF＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ABE+∠BFD＝90°，
∴∠CEF＝∠BFD，
∵∠CFE＝∠BFD，
∴∠CFE＝∠CEF．
故答案为：BE平分∠ABC，CD⊥AB；∠CFE＝∠CEF．
24．解：（1）∵CB＝4cm，DB＝7cm．
∴DC＝DB﹣CB＝3cm．
∵D是AC的中点，
∴AC＝2DC＝6cm．
∴AB＝AC+CB＝10cm；
（2）由（1）知：AD＝DC＝3cm，
∵M，N分别为AD，CB的中点，
∴MD＝AD＝1.5cm，CN＝BC＝2cm，
∴MN＝MD+DC+CN＝1.5+3+2＝6.5（cm）；
（3）∵∠MON＝α，∠NOP＝β，
∴∠MOP＝∠MON+∠NOP＝α+β，
∵OA，OB分别为∠MOP和∠NOP的平分线，
∴∠AOM＝∠AOP＝MOP＝（α+β），
∠BOP＝NOP＝，
∴∠AOB＝∠AOP﹣∠BOP＝（α+β）﹣＝．
25．问题深究：
解：7个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，若自己先拿一个棋子，剩余六个棋子，
①若对方再拿一个自己再拿两个，若对方再拿一个自己再拿两个获胜，若对方再拿两个自己再拿一个获胜；
②若对方再拿两个，自己再拿一个，若对方再拿一个自己再拿两个获胜，若对方再拿两个自己再拿一个获胜；
故答案为：两；一；
（1）观察得出规律：当总棋子个数为被3整除的个时，每次只要与对方拿的个数相加等于3，后拿可胜；
故答案为：为3的倍数；
（2）当总棋子个数为被3除余1或2的个时，
①当总棋子个数为被3除余1的个时，自己先拿一个棋子，然后再每次只要与对方拿的个数相加等于3，先拿可胜；
②当总棋子个数为被3除余2的个时，自己先拿两个棋子，然后再每次只要与对方拿的个数相加等于3，先拿可胜；
故答案为：为不是3的倍数；
问题解决：
解：先拿；理由如下：
∵100÷3＝33…1，
∴自己先拿一个棋子，然后再每次只要与对方拿的个数相加等于3，先拿可胜；
问题拓展：
解：先拿；理由如下：
∵13÷4＝3…1，
∴自己先拿一个棋子，然后再每次只要与对方拿的个数相加等于4，先拿可胜．
26．解：设在圆周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码数为a1，a2，a3，…，a18，a19，
显然a1＝1，而a2，a3，…，a18，a19就是2，3，4，5，6，…，18，19的一个排列．
令A1＝a2+a3+a4；
A2＝a5+a6+a7；
A3＝a8+a9+a10；
A4＝a11+a12+a13；
A5＝a14+a15+a16；
A6＝a17+a18+a19；
则A1+A2+A3+A4+A5+A6；
＝a2+a3+a4+…+a17+a18+a19；
＝2+3+4+…+17+18+19；
＝189（
）．
如果A1，A2，A3，A4，A5，A6中每一个都≤31，则有A1+A2+A3+A4+A5+A6≤6×31＝186，与（
）式矛盾．
所以A1，A2，A3，A4，A5，A6中至少有一个大于31．为确定起见，不妨就是A1＞31，即a2+a3+a4＞31，但a2+a3+a4是整数，
所以必有a2+a3+a4≥32成立．
所以，一定有顺次相邻的某三名运动员，他们运动服号码数之和不小于32．
全等三角形》单元测试卷
一．选择题
1．如图，△ABC≌△DEF，∠A＝90°，∠C＝50°，则∠E的度数是（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．90°
2．如图，在△ABC和△ABD中，∠CAB＝∠DAB，点A，B，E在同一条直线上，则添加以下条件，仍然不能判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．BC＝BD
B．∠C＝∠D
C．∠CBE＝∠DBE
D．AC＝AD
3．下列命题中正确的有（ ）个．
（1）有两个角互余的三角形是直角三角形；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
（3）等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合；
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
A．1
B．2
C．3
D．4
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．如果m∥n，n∥l，那么m∥l（m、n、l为三条不重合的直线）
B．立方根等于本身的数是﹣1，0、1
C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
5．有三位同学对校队与市队足球赛进行估计，A说：校队至少进3个球，B说：校队进球数不到5个，C说：校队至少进1个球．比赛后，知道3个人中，只有1个人的估计是对的，你能知道，校队踢进球的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．1个
D．0个
6．如图，已知△OAB≌△OCD，若OA＝4，∠AOB＝35°，∠OCA＝62°，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠BDO＝62°
B．∠BOC＝21°
C．OC＝4
D．CD∥OA
7．如图，直线MN与直线PQ互相垂直，垂足为O．点A，B分别在直线PQ与直线MN上，AI平分∠OAB，BI平分∠OBA，则∠BIA的大小为（ ）
A．100°
B．105°
C．120°
D．135°
8．下列命题是真命题的是（ ）
A．内错角相等
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．相等的角是对顶角
D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
9．如图，锐角△ABC中，F、G分别是AB、AC边上的点，△ACF≌△ADF，△ABG≌△AEG，且DF∥BC∥GE，BG、CF交于点H，若∠BAC＝40°，则∠BHC的大小是（ ）
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
10．学校体育室里有6个箱子，分别装有篮球和足球（不混装），数量分别是8，9，16，20，22，27，体育课上，某班体育委员拿走了一箱篮球，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，则这六箱球中，篮球有（ ）箱．
A．2
B．3
C．4
D．5
二．填空题
11．如图，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝
°．
12．命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是
命题．（填“真”或“假”）
13．将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式
，它是
命题（“真”或“假”）．
14．请写出“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题：
，此逆命题是
（“真”、“假”）命题．
15．如图，△ABD与△EBC全等，点A和点E是对应点，AB＝1，BC＝3，则DE的长等于
．
16．如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，那么∠CFE的度数是
．
17．如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝96°，则∠BAC度数的值为
．
18．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，且BE＝CF，请添加一个条件
，使△ABC≌△DEF．
19．四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他们每人都只猜对了一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为
．（按一、二、三、四的名次排序）
20．课间，刘老师与甲、乙两同学做了一个游戏，刘老师的生日是m月n日，刘老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后刘老师列出来了10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话之后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，刘老师的生日是
．
三．解答题
21．如图，现有以下三个条件：①AB∥CD；②∠B＝∠D；③∠E＝∠F．请以其中两个条件为条件，第三个条件为结论构造新的命题．
（1）请写出所有的命题；（数学中的命题通常可以写成“如果…那么…”的形式）
（2）请选择其中的一个真命题进行证明．
22．如图，在四边形ABCD中，①AB∥CD，②∠A＝∠C，③AD∥BC．
（1）请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，并说明理由．
23．给出：①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF，从中选择两个填在下面的文字“且”之后，再将剩余的一个作为结论填在“则”后面，构成一个命题．判断命题是否正确，并说明理由．
如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，且
，则
．
24．如图①，已知点C、D是线段AB上两点，D是AC的中点，若CB＝4cm，DB＝7cm．
（1）求线段AB的长；
（2）如图②，若M，N分别为AD，CB的中点，求线段MN的长；
（3）类比以上探究，如图③，解决以下问题：射线OA，OB分别为∠MOP和∠NOP的平分线，∠MON＝α，∠NOP＝β（β＜α）．求∠AOB的大小．
25．问题提出：巴什博弈（BashGame）：有100个棋子，两个人轮流从这堆子中取棋子，规定每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
问题深究：我们研究数学问题时，我们经常采用将一般问题特殊化的策略，因此我们首先取几个特殊值试试．
探究（1）：3个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若自己先拿一个棋子，对手拿两个从而获胜：若自己先拿两个棋了，对手拿一个从而获胜，所以3个棋子时，后拿可胜．
探究（2）：4个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若自己先拿一个棋子，剩余三个棋子，对方拿一个，自己拿两个从而获胜；对方拿两个，自己拿一个从而获胜．所以4个棋子时，先手先拿1个棋子可获胜．
探究（3）：5个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若自己先拿两个棋子，剩余三个棋子，对方拿一个，自己拿两个从而获胜；对方拿两个，自己拿一个从而获胜，所以5个棋子时，先手先拿2个棋子可获胜．
探究（4）：6个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若对方先拿一个，再按探究（3）的拿法，自己可获胜；若对方先拿两个，再按照探究（2）的拿法，自己可获胜，所以6个棋子时，后拿可胜．
探究（5）：7个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
若自己先拿一个棋子，剩余六个棋子，若对方再拿一个自己再拿
个可获胜；若对方再拿两个，自己再拿
个可获胜，所以7个棋子时，先手先拿1个棋子可获胜．
……
探究总结：
（1）当总棋子个数
个时，后拿可胜；
（2）当总棋子个数
个时，先拿可胜．
问题解决：有100个棋子，两个人轮流从这堆棋子中取棋子，规定每人每次可拿1个或2个棋子，最后拿光者获胜．要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
问题拓展：13个棋子，每人每次可拿一个，两个或三个棋子，最后拿光着获胜，要想获胜是先拿还是后拿？若是先拿应怎样拿？
26．某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1～19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码数之和不小于32，请你说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵∠A＝90°，∠C＝50°，
∴∠B＝180°﹣（∠A+∠C）＝40°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝40°，
故选：B．
2．解：添加A不能判断△ABC≌△ABD，
添加B用AAS判断△ABC≌△ABD，
添加C，
∵∠CBA+∠CBE＝180°，∠ABD+∠EBD＝180°，
∠CBE＝∠DBE
∴∠ABC＝∠ABD
∴△ABC≌△ABD（ASA），
添加D用SAS判断△ABC≌△ABD，
故选：A．
3．解：（1）有两个角互余的三角形是直角三角形，本说法正确；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，本说法正确；
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，本说法错误；
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，本说法正确；
故选：C．
4．解：A、如果m∥n，n∥l，那么m∥l（m、n、l为三条不重合的直线），是真命题，不符合题意；
B、立方根等于本身的数是﹣1，0、1，是真命题，不符合题意；
C、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，不符合题意；
D、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项说法是假命题，符合题意；
故选：D．
5．解：若A真，则C真，显然不符合题意的要求；
若C真，则A、B必有一个是真命题，显然也不符合题意；
因此只有一种情况，即：B真，A、C为假命题，那么此时球队踢进求的个数是0个．
故选：D．
6．解：A、∵△OAB≌△OCD，
∴OA＝OC，OB＝OD，∠COD＝∠AOB，
∴∠OAC＝∠OCA＝62°，∠OBD＝∠ODB，∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝56°，
∴∠BOD＝∠AOC＝56°，
∴∠BDO＝×（180°﹣56°）＝62°，故本选项说法正确，不符合题意；
B、∵∠AOC＝56°，∠AOB＝35°，
∴∠BOC＝56°﹣35°＝21°，故本选项说法正确，不符合题意；
C、∵△OAB≌△OCD，OA＝4，
∴OC＝OA＝4，故本选项说法正确，不符合题意；
D、∵∠AOC＝56°，∠OCD不一定是56°，
∴CD与OA不一定平行，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
7．解：∵MN⊥PQ，
∴∠BOA＝90°．
∴∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠BOA＝90°．
又∵AI平分∠OAB，BI平分∠OBA，
∴∠IBA＝，∠IAB＝．
∴∠IBA+∠IAB＝＝＝45°．
∴∠BIA＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝180°﹣45°＝135°．
故选：D．
8．解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题；
B、在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；
C、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题；
故选：D．
9．解：延长EG交AB于Q，交AD于P，
∵△ACF≌△ADF，△ABG≌△AEG，∠BAC＝40°，
∴∠DAF＝∠BAC＝40°，∠EAG＝∠BAC＝40°，∠D＝∠ACF，∠E＝∠ABG，
∴∠PAE＝120°，
∴∠APE+∠E＝60°，
∵DF∥EP，
∴∠APE＝∠D，
∴∠APE＝∠ACF，
∴∠ABG+∠ACF＝60°，
∵∠BFH＝∠BAC+∠ACF，
∴∠BHC＝∠ABG+∠BFH＝∠ABG+∠BAC+∠ACF＝60°+40°＝100°，
故选：B．
10．解：∵8+9+16+20+22+27＝102（个），根据题意，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，
∴剩下的五箱球中，篮球和足球的总个数是3的倍数，
由于102是3的倍数，
所以拿走的篮球个数也是3的倍数，
只有9和27符合要求，
假设拿走的篮球的个数是9个，则（102﹣9）÷3＝31，剩下的篮球是31个，由于剩下的五个数中，没有哪两个数的和是31个，故拿走的篮球的个数不是9个，
假设拿走的篮球的个数是27个，则（102﹣27）÷3＝25，剩下的篮球是25个，只有9+16＝25，所以剩下2箱篮球，
故这六箱球中，篮球有3箱，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠AOC，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝（∠BOC+∠COA）＝∠AOB＝45°．
故答案为：45．
12．解：命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是“三个角都是60°的三角形是等边三角形”，是真命题，
故答案为：真．
13．解：命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等，它是真命题，
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；真．
14．解：“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，是真命题，
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；真．
15．解：∵△ABD≌△EBC，AB＝1，BC＝3，
∴BE＝AB＝1，BD＝BC＝3，
∴DE＝BD﹣BE＝3﹣1＝2，
故答案为：2．
16．解：设AD与BC交于点G，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，
∴∠BAD+∠CAE＝135°﹣55°＝80°，
∴∠BAD＝∠CAE＝40°，
∵∠B＝∠D，∠BGA＝∠DGF，
∴∠CFE＝∠DFB＝∠BAD＝40°，
故答案为：40°．
17．解：∵△ABC≌△ADE，∠BAD＝96°，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠ABD＝∠ADB＝×（180°﹣96°）＝42°，
∵AE∥BD，
∴∠DAE＝∠ADB＝42°，
∴∠BAC＝∠DAE＝42°，
故答案为：42°．
18．解：添加∠ABC＝∠DEF，
理由如下：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：∠ABC＝∠DEF．
19．解：因为他们每人只猜对一半，
可以先假设明明说“甲得第一”是正确的，由此推导：
明明：甲得第一→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二→乙得第三，成立；
若假设明明说“乙得第二”是正确的，由此进行推导：
明明：乙得第二→文文：丁得第四→凡凡：丙得第二，矛盾．
所以甲、乙、丙、丁的名次顺序为甲、丙、乙、丁．
故答案为：甲、丙、乙、丁．
20．解：甲只知道生日的月份，而给出的每个月都有两个以上的日期，甲说：“我不知道”，
根据甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”
则由甲的话可知：甲知道日的数字只出现过一次的日期对应的月份肯定不对，
则生日的月份不是5月，9月；
乙听了甲的话之后，推理出生日可能在2月5日，2月7日，2月9日，8月4日，8月7日，
乙说：“本来我不知道，但现在我知道了．”
可知生日肯定不是2月7日或者8月7日，
只有“2月5日，2月9日，8月4日”满足，
乙是知道n的，所以乙可以知道生日是哪个，
由甲也知道生日可推出生日只能是8月4日．
故答案为：8月4日．
三．解答题
21．解：（1）第一种：如果AB∥CD，∠B＝∠D，那么∠E＝∠F．
第二种：如果AB∥CD，∠E＝∠F，那么∠B＝∠D．
第三种：如果AB∥CD，∠B＝∠D，∠E＝∠F，那么AB∥CD．
（2）证明第一种，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCF，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠DCF，
∴DE∥BF，
∴∠E＝∠F．
22．解：（1）如果AB∥CD，∠A＝∠C，那么AD∥BC；
（2）这个命题是真命题，
证明：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC．
23．解：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，且BE平分∠ABC，CD⊥AB，则∠CFE＝∠CEF，
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBE+∠CEF＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ABE+∠BFD＝90°，
∴∠CEF＝∠BFD，
∵∠CFE＝∠BFD，
∴∠CFE＝∠CEF．
故答案为：BE平分∠ABC，CD⊥AB；∠CFE＝∠CEF．
24．解：（1）∵CB＝4cm，DB＝7cm．
∴DC＝DB﹣CB＝3cm．
∵D是AC的中点，
∴AC＝2DC＝6cm．
∴AB＝AC+CB＝10cm；
（2）由（1）知：AD＝DC＝3cm，
∵M，N分别为AD，CB的中点，
∴MD＝AD＝1.5cm，CN＝BC＝2cm，
∴MN＝MD+DC+CN＝1.5+3+2＝6.5（cm）；
（3）∵∠MON＝α，∠NOP＝β，
∴∠MOP＝∠MON+∠NOP＝α+β，
∵OA，OB分别为∠MOP和∠NOP的平分线，
∴∠AOM＝∠AOP＝MOP＝（α+β），
∠BOP＝NOP＝，
∴∠AOB＝∠AOP﹣∠BOP＝（α+β）﹣＝．
25．问题深究：
解：7个棋子，每人每次可拿一个或两个棋子，最后拿光者获胜，若自己先拿一个棋子，剩余六个棋子，
①若对方再拿一个自己再拿两个，若对方再拿一个自己再拿两个获胜，若对方再拿两个自己再拿一个获胜；
②若对方再拿两个，自己再拿一个，若对方再拿一个自己再拿两个获胜，若对方再拿两个自己再拿一个获胜；
故答案为：两；一；
（1）观察得出规律：当总棋子个数为被3整除的个时，每次只要与对方拿的个数相加等于3，后拿可胜；
故答案为：为3的倍数；
（2）当总棋子个数为被3除余1或2的个时，
①当总棋子个数为被3除余1的个时，自己先拿一个棋子，然后再每次只要与对方拿的个数相加等于3，先拿可胜；
②当总棋子个数为被3除余2的个时，自己先拿两个棋子，然后再每次只要与对方拿的个数相加等于3，先拿可胜；
故答案为：为不是3的倍数；
问题解决：
解：先拿；理由如下：
∵100÷3＝33…1，
∴自己先拿一个棋子，然后再每次只要与对方拿的个数相加等于3，先拿可胜；
问题拓展：
解：先拿；理由如下：
∵13÷4＝3…1，
∴自己先拿一个棋子，然后再每次只要与对方拿的个数相加等于4，先拿可胜．
26．解：设在圆周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码数为a1，a2，a3，…，a18，a19，
显然a1＝1，而a2，a3，…，a18，a19就是2，3，4，5，6，…，18，19的一个排列．
令A1＝a2+a3+a4；
A2＝a5+a6+a7；
A3＝a8+a9+a10；
A4＝a11+a12+a13；
A5＝a14+a15+a16；
A6＝a17+a18+a19；
则A1+A2+A3+A4+A5+A6；
＝a2+a3+a4+…+a17+a18+a19；
＝2+3+4+…+17+18+19；
＝189（
）．
如果A1，A2，A3，A4，A5，A6中每一个都≤31，则有A1+A2+A3+A4+A5+A6≤6×31＝186，与（
）式矛盾．
所以A1，A2，A3，A4，A5，A6中至少有一个大于31．为确定起见，不妨就是A1＞31，即a2+a3+a4＞31，但a2+a3+a4是整数，
所以必有a2+a3+a4≥32成立．
所以，一定有顺次相邻的某三名运动员，他们运动服号码数之和不小于32．