2020-2021学年华东师大新版九年级上册《第23章 图形的相似》单元测试卷（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年华东师大新版九年级上册《第23章 图形的相似》单元测试卷（word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 333.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-21 10:05:56 | ||
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文档简介
2020-2021学年华东师大新版九年级上册《第23章
图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的是（ ）
A．（1，2）
B．（﹣4，8）
C．（﹣3，﹣9）
D．（6，﹣7）
2．已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A．x+y＝5
B．2x＝3y
C．
D．
3．已知＝，那么下列等式中不一定正确的是（ ）
A．2x＝5y
B．＝
C．＝
D．＝
4．太原市轨道交通2号线一期于2020年12月26日12：00开通初期运营，从此山西驶入地铁时代．全线23个站厅的设计，有机融合了“晋阳古八景”、“锦绣太原城”等文化元素，打造成一条亮丽的“地下艺术走廊”在一幅比例尺为1：200000的设计图纸上，测得地铁线路全长约11.8cm，则地铁线路的实际长度约为（ ）
A．5.9km
B．11.8km．
C．23.6km
D．57.2km
5．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝3，则EC的长为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
7．若2a＝3b，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知五边形ABCDE∽五边形FGHIJ，相似比为1：2，若五边形ABCDE的周长和面积分别为6和15，则五边形FGHIJ的周长和面积分别为（ ）
A．12和30
B．12和60
C．24和30
D．24和60
9．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．任意两个矩形
B．任意两个等腰三角形
C．任意两个正方形
D．任意两个菱形
10．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108cm，则小凡的身高约为（ ）
A．155cm
B．165cm
C．175cm
D．185cm
二．填空题
11．已知点P（a，b）在第四象限，点P到x轴、y轴的距离分别为3、5，则a为
．
12．若，则的值为
．
13．已知，则的值是
．
14．已知＝，则＝
．
15．如图，已知AC∥EF∥BD，如果AE：EB＝2：3，CD＝6．那么CF的长等于
．
16．如图，一组平行线l1、l2、l3相交于直线l4、l5，则＝
．
17．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是
．
18．实数4和9的比例中项为
．
19．点P是线段AB上的一点，如果AP2＝BP?AB，那么的值是
．
20．下列说法中：
①所有的等腰三角形都相似；
②所有的正三角形都相似；
③所有的正方形都相似；
④所有的矩形都相似．
其中说法正确的序号是
．
三．解答题
21．点A、B、C在平面直角坐标系中的位置如图所示，请分别写出点A、B、C的坐标．
22．（1）已知＝，求的值．
（2）已知＝＝，求的值．
23．（1）已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中项，求b的值．
（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的长．并思考两题有何区别．
24．解答下列各题：
（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16
（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求的值
25．若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．
（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；
（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB，AC于点N，E，如图2，试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
26．已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A．（1，2）在第一象限，故本选项不合题意；
B．（﹣4，8）在第二象限，故本选项不合题意；
C．（﹣3，﹣9）在第三象限，故本选项不合题意；
D．（6，﹣7）在第四象限，故本选项符合题意；
故选：D．
2．解：∵，∴x+y＝5不一定成立，A错误；
∵，∴3x＝2y，∴2x＝3y不成立，B错误；
∵，∴＝，C错误，D正确，
故选：D．
3．解：∵＝，
∴2x＝5y，，，
∴A、B、C正确，D不一定正确；
故选：D．
4．解：设地铁线路的实际长度约为是x厘米，由题意，得
1：200000＝11.8：x，
解得：x＝2360000，
2360000厘米＝23.6km．
故选：C．
5．解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥AB，
∴＝＝，
故选：A．
6．解：∵DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝3，
∴＝，即＝，
解得，EC＝，
故选：D．
7．解：∵2a＝3b，
∴将等式两边都除以2b得＝．
故选：D．
8．解：∵五边形ABCDE∽五边形FGHIJ，相似比为1：2，
∴五边形ABCDE和五边形FGHIJ的周长比是1：2，面积比是1：4，
∵五边形ABCDE的周长和面积分别为6和15，
∴五边形FGHIJ的周长和面积分别为12和60，
故选：B．
9．解：任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，A错误；
任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，B错误；
任意两个正方形对应角对应相等、边的比相等，所以相似，C正确；
任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，D错误，
故选：C．
10．解：设小凡的头顶至肚脐的长度为xcm，则小凡的身高为（x+108）cm，
由题意得：＝，
∴x≈0.618×108＝66.744（cm），
∴x+108≈175（cm），
即小凡的身高约为175cm，
故选：C．
二．填空题
11．解：∵点P在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3，5，
∴点P的横坐标是5，纵坐标是﹣3，即点P的坐标为（5，﹣3），
∴a＝5．
故答案为：5．
12．解：∵＝，
∴＝＝，
故答案为：．
13．解：∵
∴设a＝2k，则b＝3k．
∴＝＝．
故答案为：．
14．解：∵＝，
∴可设a＝2k，b＝3k（k≠0），
∴＝＝．
故答案为．
15．解：∵AC∥EF∥BD，
∴＝，即＝，
解得，CF＝，
故答案为：．
16．解：∵l1∥l2，
∴＝①，
∵l2∥l3，
∴＝②，
①×②，得＝，
故答案为：．
17．解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝6：2＝3：1，
故答案为：3：1；
18．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是x，则
x2＝4×9，
解得x＝±6．
故答案为：±6．
19．解：∵点P是线段AB上的一点，AP2＝BP?AB，
∴＝，
∴点P是线段AB的黄金分割点，
∴AP＝AB，
∴＝，
故答案为：．
20．解：①所有的等腰三角形都相似，错误；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误．
故答案为：②③．
三．解答题
21．解：由题意可知，点A的坐标为（3，3）；点B的坐标为（﹣3，4）；点C的坐标为（5，﹣2）．
22．解：（1）∵＝，
∴2b＝1.5a，
∴＝＝﹣；
（2）设＝＝＝k（k≠0），则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴＝＝．
23．解：（1）∵b是a，c的比例中项，
∴a：b＝b：c，
∴b2＝ac；
b＝±，
∵a＝4，c＝9，
∴b＝±＝±6，即b＝±6；
（2）∵MN是线段，
∴MN＞0；
∵线段MN是AB，CD的比例中项，
∴AB：MN＝MN：CD，
∴MN
2＝AB?CD，
∴MN＝±；
∵AB＝4cm，CD＝5cm，
∴MN＝±＝±2；
MN不可能为负值，则MN＝2，
通过解答（1）、（2）发现，c、MN同时作为比例中项出现，c可以取负值，而MN不可以取负值．
24．解：（1）（x+2）（x+3）＝2x+16，
x2+5x+6＝2x+16，
x2+3x﹣10＝0，
（x﹣2）（x+5）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣5；
（2）若a+b+c≠0，由等比定理有＝＝＝＝1，
所以a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，
于是有＝＝8．
若a+b+c＝0，则a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，
于是有＝＝﹣1．
25．解：（1）△ABC和△ADC都是黄金三角形，理由如下：
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵DB＝DA，
∴∠BAD＝∠B，
∵DA═AC，
∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，
又∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠B+2∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝∠DAC＝36°，
∴△ABC和△ADC都是黄金三角形；
（2）CD＝BN+CE，理由如下；
由（1）知，∠BAD＝∠B＝36°，∠CAD＝36°＝∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
在△ANH和△AEH中
∴△ANH≌△AEH（ASA），
∴AN＝AE，
即AB﹣BN＝AC+CE，
又∵BA＝BC＝BD+DC，AC＝AD＝BD，
∴BC﹣BN＝AD+CE
∴BD+CD﹣BN＝AD+CE，
又∵AD＝BD，
∴CD﹣BN＝CE，
即CD＝BN+CE．
26．解：当a+b+c≠0时，
利用比例的性质化简已知等式得：＝＝＝＝＝1，
即a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，
整理得：a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a，
此时原式＝＝8；
当a+b+c＝0时，可得：a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，
则原式＝﹣1．
综上可知，的值为8或﹣1．
图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的是（ ）
A．（1，2）
B．（﹣4，8）
C．（﹣3，﹣9）
D．（6，﹣7）
2．已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A．x+y＝5
B．2x＝3y
C．
D．
3．已知＝，那么下列等式中不一定正确的是（ ）
A．2x＝5y
B．＝
C．＝
D．＝
4．太原市轨道交通2号线一期于2020年12月26日12：00开通初期运营，从此山西驶入地铁时代．全线23个站厅的设计，有机融合了“晋阳古八景”、“锦绣太原城”等文化元素，打造成一条亮丽的“地下艺术走廊”在一幅比例尺为1：200000的设计图纸上，测得地铁线路全长约11.8cm，则地铁线路的实际长度约为（ ）
A．5.9km
B．11.8km．
C．23.6km
D．57.2km
5．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝3，则EC的长为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
7．若2a＝3b，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知五边形ABCDE∽五边形FGHIJ，相似比为1：2，若五边形ABCDE的周长和面积分别为6和15，则五边形FGHIJ的周长和面积分别为（ ）
A．12和30
B．12和60
C．24和30
D．24和60
9．下列两个图形一定相似的是（ ）
A．任意两个矩形
B．任意两个等腰三角形
C．任意两个正方形
D．任意两个菱形
10．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108cm，则小凡的身高约为（ ）
A．155cm
B．165cm
C．175cm
D．185cm
二．填空题
11．已知点P（a，b）在第四象限，点P到x轴、y轴的距离分别为3、5，则a为
．
12．若，则的值为
．
13．已知，则的值是
．
14．已知＝，则＝
．
15．如图，已知AC∥EF∥BD，如果AE：EB＝2：3，CD＝6．那么CF的长等于
．
16．如图，一组平行线l1、l2、l3相交于直线l4、l5，则＝
．
17．在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，这次复印的放缩比例是
．
18．实数4和9的比例中项为
．
19．点P是线段AB上的一点，如果AP2＝BP?AB，那么的值是
．
20．下列说法中：
①所有的等腰三角形都相似；
②所有的正三角形都相似；
③所有的正方形都相似；
④所有的矩形都相似．
其中说法正确的序号是
．
三．解答题
21．点A、B、C在平面直角坐标系中的位置如图所示，请分别写出点A、B、C的坐标．
22．（1）已知＝，求的值．
（2）已知＝＝，求的值．
23．（1）已知a＝4，c＝9，若b是a，c的比例中项，求b的值．
（2）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝5cm，求MN的长．并思考两题有何区别．
24．解答下列各题：
（1）解方程：（x+2）（x+3）＝2x+16
（2）已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求的值
25．若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．
（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；
（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB，AC于点N，E，如图2，试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．
26．已知a、b、c均为非零的实数，且满足＝＝，求的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：A．（1，2）在第一象限，故本选项不合题意；
B．（﹣4，8）在第二象限，故本选项不合题意；
C．（﹣3，﹣9）在第三象限，故本选项不合题意；
D．（6，﹣7）在第四象限，故本选项符合题意；
故选：D．
2．解：∵，∴x+y＝5不一定成立，A错误；
∵，∴3x＝2y，∴2x＝3y不成立，B错误；
∵，∴＝，C错误，D正确，
故选：D．
3．解：∵＝，
∴2x＝5y，，，
∴A、B、C正确，D不一定正确；
故选：D．
4．解：设地铁线路的实际长度约为是x厘米，由题意，得
1：200000＝11.8：x，
解得：x＝2360000，
2360000厘米＝23.6km．
故选：C．
5．解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥AB，
∴＝＝，
故选：A．
6．解：∵DE∥BC，AD＝4，DB＝2，AE＝3，
∴＝，即＝，
解得，EC＝，
故选：D．
7．解：∵2a＝3b，
∴将等式两边都除以2b得＝．
故选：D．
8．解：∵五边形ABCDE∽五边形FGHIJ，相似比为1：2，
∴五边形ABCDE和五边形FGHIJ的周长比是1：2，面积比是1：4，
∵五边形ABCDE的周长和面积分别为6和15，
∴五边形FGHIJ的周长和面积分别为12和60，
故选：B．
9．解：任意两个矩形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，A错误；
任意两个等腰三角形，形状不一定相同，不一定相似，B错误；
任意两个正方形对应角对应相等、边的比相等，所以相似，C正确；
任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，D错误，
故选：C．
10．解：设小凡的头顶至肚脐的长度为xcm，则小凡的身高为（x+108）cm，
由题意得：＝，
∴x≈0.618×108＝66.744（cm），
∴x+108≈175（cm），
即小凡的身高约为175cm，
故选：C．
二．填空题
11．解：∵点P在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3，5，
∴点P的横坐标是5，纵坐标是﹣3，即点P的坐标为（5，﹣3），
∴a＝5．
故答案为：5．
12．解：∵＝，
∴＝＝，
故答案为：．
13．解：∵
∴设a＝2k，则b＝3k．
∴＝＝．
故答案为：．
14．解：∵＝，
∴可设a＝2k，b＝3k（k≠0），
∴＝＝．
故答案为．
15．解：∵AC∥EF∥BD，
∴＝，即＝，
解得，CF＝，
故答案为：．
16．解：∵l1∥l2，
∴＝①，
∵l2∥l3，
∴＝②，
①×②，得＝，
故答案为：．
17．解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝6：2＝3：1，
故答案为：3：1；
18．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．
设它们的比例中项是x，则
x2＝4×9，
解得x＝±6．
故答案为：±6．
19．解：∵点P是线段AB上的一点，AP2＝BP?AB，
∴＝，
∴点P是线段AB的黄金分割点，
∴AP＝AB，
∴＝，
故答案为：．
20．解：①所有的等腰三角形都相似，错误；
②所有的正三角形都相似，正确；
③所有的正方形都相似，正确；
④所有的矩形都相似，错误．
故答案为：②③．
三．解答题
21．解：由题意可知，点A的坐标为（3，3）；点B的坐标为（﹣3，4）；点C的坐标为（5，﹣2）．
22．解：（1）∵＝，
∴2b＝1.5a，
∴＝＝﹣；
（2）设＝＝＝k（k≠0），则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴＝＝．
23．解：（1）∵b是a，c的比例中项，
∴a：b＝b：c，
∴b2＝ac；
b＝±，
∵a＝4，c＝9，
∴b＝±＝±6，即b＝±6；
（2）∵MN是线段，
∴MN＞0；
∵线段MN是AB，CD的比例中项，
∴AB：MN＝MN：CD，
∴MN
2＝AB?CD，
∴MN＝±；
∵AB＝4cm，CD＝5cm，
∴MN＝±＝±2；
MN不可能为负值，则MN＝2，
通过解答（1）、（2）发现，c、MN同时作为比例中项出现，c可以取负值，而MN不可以取负值．
24．解：（1）（x+2）（x+3）＝2x+16，
x2+5x+6＝2x+16，
x2+3x﹣10＝0，
（x﹣2）（x+5）＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣5；
（2）若a+b+c≠0，由等比定理有＝＝＝＝1，
所以a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，
于是有＝＝8．
若a+b+c＝0，则a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，
于是有＝＝﹣1．
25．解：（1）△ABC和△ADC都是黄金三角形，理由如下：
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵DB＝DA，
∴∠BAD＝∠B，
∵DA═AC，
∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，
又∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠B+2∠B+2∠B＝180°，
∴∠B＝∠DAC＝36°，
∴△ABC和△ADC都是黄金三角形；
（2）CD＝BN+CE，理由如下；
由（1）知，∠BAD＝∠B＝36°，∠CAD＝36°＝∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
在△ANH和△AEH中
∴△ANH≌△AEH（ASA），
∴AN＝AE，
即AB﹣BN＝AC+CE，
又∵BA＝BC＝BD+DC，AC＝AD＝BD，
∴BC﹣BN＝AD+CE
∴BD+CD﹣BN＝AD+CE，
又∵AD＝BD，
∴CD﹣BN＝CE，
即CD＝BN+CE．
26．解：当a+b+c≠0时，
利用比例的性质化简已知等式得：＝＝＝＝＝1，
即a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，
整理得：a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a，
此时原式＝＝8；
当a+b+c＝0时，可得：a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，
则原式＝﹣1．
综上可知，的值为8或﹣1．