江西省宜春市重点高中2022届高三上学期第一次月考数学（理）试题（Word版含答案）

宜春市重点高中2022届高三上学期第一次月考
数学（理）试卷
一．选择题
（12小题。每小题5分，共60分）
1．已知集合，若，则实数的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
2．已知实数满足，则（
）
A.
B.
C.
D.
3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　　)
A．　　
B．
C．　　
　
D．1
4．若定义在R上的偶函数满足，且当时，f(x)=x,则函数y=f(x)-
的零点个数是（
）
A.
6个
B.
4个
C.
3个
D.
2个
5．若将函数的图象向左平移个单位，所得的图象关于轴对称，则的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
6．用数学归纳法证明“（）”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（
）
A．
B．
C．
D．
7.已知实数x，y满足约束条件则的最大值是(　　)
A．
B．
C．1
D．2
8．函数的图象大致为(
)
9．给出下列命题
①已知,“且”是“”的充分条件;
②已知平面向量,是“”的必要不充分条件;
③已知,“”是“”的充分不必要条件;
④命题“,使且”的否定为“,都有且”.其中正确命题的个数是（
）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
10．已知数列的前项和为，且，在等差数列中，，且公差.使得成立的最小正整数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
11．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，
，若，，，则的大小关系正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
12.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
二．填空题
（4小题，每小题5分，共20分）
13．已知________.
14．若球与棱长为2的正方体的各棱相切，求该球的表面积__________
15．已知数列{}的前n项和Sn＝2n＋1(n∈)，则＝__________
16．
若一元二次方程mx2－(m＋1)x＋3＝0的两个实根都大于－1，则m的取值范围____
三．解答题（第17题10分，其余各题12分，共70分）
17．（10分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，△ABC的面积为，求a，c的值．
18.新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为200万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足90万箱时，；当产量不小于90万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
（1）求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；
（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？
19．（本小题12分）已知数列为等差数列，公差为，其前项和为，
且，
.
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）若数列满足，
，求满足的所有的值.
20.（本小题满分12分）已知向量，且．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）若函数．
①当时求的最小值和最大值；
②试求的最小值．
21．如图，在等腰梯形中，
，上底，下底，点为下底的中点，现将该梯形中的三角形沿线段折起，形成四棱锥.
（1）在四棱锥中，求证：
；（2）若平面与平面所成二面角的平面角为，求直线与平面所成角的正弦值.
22．（本小题12分）已知，函数，(是自然对数的底数).
（1）讨论函数极值点的个数；
（2）若对任意的恒成立，求实数的值；
（3）在第（2）小题的条件下，，，求实数的取值范围.
数学（理）试卷参考答案
选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
A
B
B
C
D
C
C
C
D
A
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.
14．
15．　
16．m<－2或m≥5＋2
三、解答题
17.【解析】（1）∵，
∴由正弦定理得，
又A∈（0，π），sinA≠0，∴，，∴．
（2）∵∴
∴或
18.（1）；（2）90万箱.
（1）当时，
；
当时，，
∴，
（2）当时，，
∴当时，取最大值，最大值为1600万元；
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值，最大值为1800万元．
综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元．
19．试题解析：（1）∵，
，
∴，
，得，
，∴，
∴
，得，
∴
．
（2）∵，
，
∴
，又∴，故由得
∴或．
20
（2）①∵，
21．试题解析：（1）证明：由三角形沿线段折起前，
，
，
，点为的中点，得三角形沿线段折起后，四边形为菱形，边长为，
，如图，
取的中点，连接，
，
，
∵由题得和均为正三角形，
∴，
，
又∴平面，∵∥∴平面，
∵平面，∴．
（2）解：以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，
由平面，有轴在平面内，
在（1）中，∵，
，
∴为平面与平面所成二面角的平面角，
∴，
而，∴且，
得点的横坐标为，点的竖坐标为，
则，
，
，
，
故，
，
，
设平面的一个法向量为，
∴得
令，得，
，∴平面的一个法向量为，
∴
，
∵直线与平面所成角为锐角或直角，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
22（1）当时，没有极值点，当时，有一个极小值点；（2）；（3）.
（1）因为，所以，
当时，对，，
所以在是减函数，此时函数不存在极值，
所以函数没有极值点；
当时，，令，解得，
若，则，所以在上是减函数，
若，则，所以在上是增函数，
当时，取得极小值；
函数有且仅有一个极小值点，
所以当时，没有极值点，当时，有一个极小值点.
（2）因为对任意的恒成立.
当时，，不合题意舍去.
当时，由（1）可知当时，取得极小值；因为对任意的恒成立，
所以
又因为且，
则，可得：
（3）因为：，，即不等式在区间内有解.
设，且
所以，且
设，且
则，且在上是增函数，
所以
当时，，所以在上是增函数，
，即，所以在上是增函数，
所以，即在上恒成立.
当时，因为在是增函数，
因为，，
所以在上存在唯一零点，
当时，，在上单调递减，
从而，即，所以在上单调递减，
所以当时，，即.
所以不等式在区间内有解
综上所述，实数的取值范围为.
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6
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