2021-2022学年人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数 同步能力达标训练（word版、含解析）

2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.3实际问题与二次函数》
同步能力达标训练（附答案）
一、选择题
1．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（　　）
A．B．C．D．
2．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为y＝﹣x2，当涵洞水面宽AB为16m时，涵洞顶点O至水面的距离为（　　）
A．﹣6m
B．12m
C．16m
D．24m
3．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为（　　）
A．1m
B．2m
C．m
D．m
4．学校组织学生去南京进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且a＝﹣．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（　　）cm．
A．12
B．12
C．6
D．6
5．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为（　　）
A．﹣3
B．﹣1
C．1
D．3
6．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．下表记录了该同学将篮球投出后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（　　）
x（单位：m）
0
2
4
y（单位：m）
2.25
3.45
3.05
A．1.5m
B．2m
C．2.5m
D．3m
7．从地面竖直向上先后抛出两个小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的函数关系式为h＝﹣（t﹣3）2+40，若后抛出的小球经过2.5秒比先抛出的小球高米，则抛出两个小球的间隔时间是（　　）
A．1秒
B．1.5秒
C．2秒
D．2.5秒
8．若二次函数y＝x2﹣2x+k的图象经过点（﹣1，y1），（，y2），则y1与y2的大小关系为（　　）A．y1＞y2
B．y1＝y2
C．y1＜y2
D．不能确定
9．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　）
A．3.50分钟
B．4.05分钟
C．3.75分钟
D．4.25分钟
10．某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是（　　）
A．180
B．220
C．190
D．200
11．某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3m．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系y＝ax2+x+c（a≠0），则水流喷出的最大高度为（　　）
A．1米
B．米
C．2米
D．米
12．抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（　　）个．
A．5
B．4
C．3
D．2
二、填空题
13．扎西的爷爷用一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，设与墙垂直的一边为xcm，则矩形面积s随之x变化的函数解析式为　
　．
14．如图，若被击打的小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系为h＝35t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用时间为　
　s．
15．某城市规划修建一座观光人行桥，此工程由桥梁工程与桥上拱形工程组成，桥上拱形工程包含三组完全相同的拱形，观光人行桥的正视图如图所示，已知桥面上三组拱桥都为抛物线的一部分，拱高（抛物线最高点到桥面AB的距离）都为16米，三条抛物线依次与桥面AB相交于点A，C，D，B．则桥长AB＝　
　米．
16．学习过二次函数以后，李华同学以y＝2x2+6的图象为灵感，为合肥大圩葡萄节设计了一款葡萄酒杯，如图为杯子的设计稿，若AB＝4，DE＝2，则杯子的高CE长为　
　．
17．某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），12月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式是　
　．
18．某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是　
　元．
19．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为　
　元．
三、解答题
20．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
21．某实验器材专营店为迎接我县理化实验操作中考，购进一批电学实验盒子，一台电学实验盒子的成本是30元，当售价定为每台50元时，每天可卖出20台，但由于电学实验盒子是特殊时期的销售产品，专营店准备对它进行降价销售，根据以往经验，每台售价每降低3元，每天的销售量增加6台．设每台降低了x（元），每天销售量为y（台）．
（1）求y与x之间的函数表达式（不用写出x的取值范围）；
（2）每天的利润用w（元）表示，当每台降低多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
22．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板（△ABC）按如图所示放置，若AO＝2，OC＝1，∠ACB＝90°．
（1）直接写出B点的坐标是　
　；
（2）如果抛物线l：y＝ax2﹣ax﹣2经过点B，试求抛物线l的解析式；
（3）把△ABC绕着点C逆时针旋转90°后，顶点A的对应点A1是否在抛物线l上？为什么？
23．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴正半轴和x轴负半轴上的两个点，O为原点，OA＝3，OB＝1，将Rt△ABC绕点O顺时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B，C三点．
（1）求此抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）若直线l：y＝﹣x+4与抛物线交于M，N两点，求△PMN面积；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△DCQ为直角三角形？若存在，请直接写出求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且△AOB的面积为6．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求该二次函数的表达式；
（3）如果点P在坐标轴上，且△ABP是等腰三角形，直接写出P点坐标．
25．如图①，直线y＝kx+2与抛物线y＝x2+bx+c相交于在x轴和y轴上的B、C两点，OB＝6，D为抛物线的顶点．M是线段BC上的一动点（M与B、C不重合），过M作MN⊥x轴，交抛物线于点N．
（1）k＝　
　；b＝　
　．
（2）求MN的最大值．
（3）如图②，若M是线段BC的中点，P是抛物线上的一动点，且点P在直线MN的右侧，连接PM、PC，当△PCM的面积是时，求此时点P的坐标．
参考答案
1．解：设正方形的边长为m，则m＞0，
∵AE＝x，
∴DH＝x，
∴AH＝m﹣x，
∵EH2＝AE2+AH2，
∴y＝x2+（m﹣x）2，
y＝x2+x2﹣2mx+m2，
y＝2x2﹣2mx+m2，
＝2[（x﹣m）2+]，
＝2（x﹣m）2+m2，
∴y与x的函数图象是A．
故选：A．
2．解：依题意，设A点坐标为（﹣8，y），
代入抛物线方程得：y＝﹣×64＝﹣16，
即水面到桥拱顶点O的距离为16米．
故选：C．
3．解：如右图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
由已知可得，点（2，﹣2）在此抛物线上，
则﹣2＝a×22，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
当y＝﹣0.5时，﹣x2＝﹣0.5，
解得x＝±1，
此时水面的宽度为2m，
故选：B．
4．解：根据题意：
GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，
根据题意，Q（9，15.5），B（6，16），OH＝6，
设抛物线解析式为
y＝ax2+bx+c，
∵a＝﹣，
将Q点和B点坐标代入，
得系数b＝，c＝14，
所以抛物线解析式为：
y＝﹣x2+x+14．
符号题意：洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，
当y＝0时，即0＝﹣x2+x+14，
解得：x＝6+12（负值舍去），
所以洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是12cm．
故选：B．
5．解：根据题意知，点B的横坐标的最大值为3，
即可知当对称轴过N点时，点B的横坐标最大，
此时的A点坐标为（﹣1，0），
当可知当对称轴过M点时，点A的横坐标最小，此时的B点坐标为（1，0），
此时A点的坐标最小为（﹣3，0），
故点A的横坐标的最小值为﹣3，
故选：A．
6．解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
根据表可得：，
解得：，
∴y＝﹣0.2x2+x+2.25＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5，
∴可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为2.5米，
故选：C．
7．解：2.5秒时，后球的高度为：
h2＝﹣（2.5﹣3）2+40＝，
则此时，前球的高度为h1＝﹣＝，
令﹣（t﹣3）2+40＝，整理得（t﹣3）2＝1，
∴t1＝4，t2＝2（舍），
△t＝4﹣2.5＝1.5．
故选：B．
8．解：当x＝﹣1时，y1＝x2﹣2x+k＝1+2+k＝k+3；
当x＝时，y2＝x2﹣2x+k＝﹣1+k＝k﹣，
所以y1＞y2．
故选：A．
9．解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，
，
解得，
所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：
t＝﹣＝﹣＝3.75，
则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．
故选：C．
10．解：设y＝kx+b，由图象可知，，
解之，得：，
∴y＝﹣2x+60；
设销售利润为p，根据题意得，p＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣2x+60）
＝﹣2x2+80x﹣600，
∵a＝﹣2＜0，
∴p有最大值，
当x＝﹣＝20时，p最大值＝200．
即当销售单价为20元/千克时，每天可获得最大利润200元，
故选：D．
11．解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：，
∴函数表达式为：y＝﹣x2+x+，
＝﹣（x﹣1）2+2，
∵a＜0，故函数有最大值，
∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝2，
答：水流喷出的最大高度为2米．
故选：C．
12．解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．
又∵b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴x＝1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．
即a+b＜am2+bm．
故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a＝．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
13．解：由题意可得，
s＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x，
故答案为：s＝﹣2x2+30x
14．解：依题意，令h＝0得0＝35t﹣5t2，
得t（35﹣5t）＝0，
解得t＝0（舍去）或t＝7，
即小球从飞出到落地所用的时间为7s．
故答案为7．
15．解：如图，以线段AC的中垂线为y轴，AB为x轴，建立平面直角坐标系，
则抛物线AC的顶点坐标为（0，16），
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+16，
当y＝0时，x1＝16，x2＝﹣16，
∴点A的坐标为（﹣16，0），点C的坐标为（16，0），
∴AC＝16﹣（﹣16）＝16+16＝32，
∴AB＝3AC＝96，
即桥长AB为96米；
故答案为：96．
16．解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得：D点坐标为：（0，6），
∵AB＝4，
∴B点的横坐标为：2，
故x＝2时，y＝2×4+6＝14，
即B（2，14），
则DC＝14﹣6＝8，
故CE＝DC+DE＝8+2＝10，
故答案为：10．
17．解：由题意可得，
y＝100（1+x）2，
故答案为：y＝100（1+x）2．
18．解：设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为y＝kt，
30k＝60，得k＝2，
即日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为y＝2t，
当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，
20a＝30，得a＝1.5，
即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝1.5t，
当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，
设日销售利润为W元，
当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，
故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，
当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，
故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，
综上所述，最大日销售利润为1800元，
故答案为：1800．
19．解：设获得的利润为y元，由题意得：
y＝（x﹣100）（200﹣x）
＝﹣x2+300x﹣20000
＝﹣（x﹣150）2+2500
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150元时，y取得最大值2500元，
故答案为150．
20．解：（1）根据题意得，w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∴当x＝30时，每天的利润最大，最大利润为200元；
（2）令﹣2（x﹣30）2+200＝150，
解得：x＝35或x＝25，
∵这种产品的销售价不高于每千克28元，
∴x＝25，
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
21．解：（1）由题意可得，y＝20+×6＝20+2x，
∴y与x之间的函数表达式是y＝2x+20；
（2）由题意得，w＝（50﹣30﹣x）（20+2x）＝（20﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣5）2+450，
当x＝5时，w有最大值450，
∴当售价为45元，利润最大为450元，
即当每台降低5元时获得最大利润，最大利润是450元．
22．解：（1）如图1，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠AC0+∠OAC＝90°，
∴∠BCD＝∠CAO，
又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，
在△BDC和△COA中，
，
∴△BDC≌△COA（AAS），
∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，
∴点B的坐标为（3，1），
故答案为（3，1）；
（2）∵抛物线y＝ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），
∴1＝9a﹣3a﹣2，
解得：a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（3）A1在抛物线l上，理由：
旋转后如图2所示，过点A1作A1M⊥x轴，
∵把△ABC绕着点C逆时针旋转90°，
∴∠ABC＝∠A1BC＝90°，
∴A1，B，C共线，
在三角形BDC和三角形A1CM中，
，
∴△BDC≌△A1CM（AAS），
∴CM＝CD＝3﹣1＝2，A1M＝BD＝1，
∴OM＝1，
∴点A1（﹣1，﹣1），
把点x＝﹣1代入y＝x2﹣x﹣2，
y＝﹣1，
∴点A1在抛物线上．
23．解：（1）Rt△ABC绕点O顺时针旋转90°得到Rt△COD，
则OD＝OB＝1，OC＝OA＝3，
故点A、B、C、D的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0）、（0，1），
将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
抛物线的对称轴为x＝1，则点P（1，4）；
（2）由，解得，
故点M、N的坐标分别为（，）、（2，3）；
由y＝﹣x+4知，当x＝1时，y＝，
设直线y＝﹣x+4与对称轴x＝1交于点F，则点F（1，），
S△PMN＝S△PFM+S△PFN＝×PF×（xN﹣xM）＝×（4﹣）×（2﹣）＝；
（3）存在，理由：
设点Q的坐标为（1，t），
则CD2＝10，CQ2＝22+t2，DQ2＝12+（t﹣1）2，
当∠DQC为直角时，则10＝22+t2+12+（t﹣1）2，解得t＝﹣1或2；
当∠QDC为直角时，同理可得：t＝4；
当∠DCQ为直角时，同理可得：t＝﹣6，
故点Q的坐标为（1，﹣1）或（1，2）或（1，4）或（1，﹣6）．
24．解：（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，4），
∵S△OAB＝×BO×4＝6，
BO＝3．所以B（3，0）或（﹣3，0），
∵二次函数与x轴的负半轴交于点B，
∴点B的坐标为（﹣3，0）；
（2）把点B的坐标（﹣3，0）代入y＝﹣x2+（k﹣1）x+4，
得﹣（﹣3）2+（k﹣1）×（﹣3）+4＝0．
解得k﹣1＝﹣，
∴所求二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；
（3）（Ⅰ）当点P在x轴上时，
①如图1，当AB＝AP时，
则点P和点B关于y轴对称，
则点P的坐标为（3，0）；
②如图2，当AB＝BP时，
当点P在y轴左侧时，BP＝AB＝5，则OP＝PB+OB＝5+3＝8，故点P（﹣8，0），
当点P在y轴右侧时，则BP′＝5，过点P′（2，0），
点P的坐标为（2，0）或（﹣8，0）；
③如图3，当AP＝BP时，
设点P的坐标为（x，0），
根据题意，得＝|x+3|．
解得x＝．
∴点P的坐标为（，0）；
故点P的坐标为（3，0），（2，0），（﹣8，0），（，0）．
（Ⅱ）当点P在y轴上时，
同理可得，点P的坐标为（0，）或（0，9）或（0，﹣1）或（0，﹣4）；
综上所述，点P的坐标为（3，0），（2，0），（﹣8，0），（，0）或（0，）或（0，9）或（0，﹣1）或（0，﹣4）．
25．解：（1）∵OB＝6，则点B（6，0），
将点B的坐标代入y＝kx+2得，0＝6k+2，解得k＝﹣，
故一次函数表达式为y＝﹣x+2，
令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），则c＝2，
故抛物线的表达式为y＝x2+bx+2，
将点B的坐标代入上式并解得b＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+2，
故答案为﹣，﹣；
（2）设点N（x，x2﹣x+2），则点M（x，﹣x+2），
则MN＝（﹣x+2）﹣（x2﹣x+2）＝﹣x2+2x，
∵﹣＜0，故MN有最大值，
当x＝3时，MM的最大值为3；
（3）设点P（m，m2﹣m+2），
而点C（0，2），设直线CP交MN于点H，
由点PC的坐标得，直线PC的表达式为y＝（m﹣7）x+2，
当x＝3时，y＝（m﹣7）x+2＝m﹣5，即点H（3，m﹣5），
△PCM的面积＝S△HMC+S△HMP＝×MH×xP＝×（m﹣5﹣1）×m＝，
解得m＝9或﹣3
∵点P在MN的右侧，故m＞3，故舍去﹣3，
故点P的坐标为（9，8）．