2021-2022学年人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程 同步能力达标训练 （word版、含解析）

2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》
同步能力达标训练（附答案）
一、选择题
1．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A．（2，4）
B．（﹣2，4）
C．（﹣2，﹣4）
D．（2，﹣4）
2．若二次函数y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1
B．k≤1且k≠0
C．k＜﹣1
D．k≥﹣1且k≠0
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x＝时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②m+n＜﹣；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．
其中正确的结论是（　　）
A．①②
B．②③
C．③④
D．②③④
4．二次函数y＝x2﹣6x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（　　）
A．27
B．9
C．﹣7
D．﹣16
5．已知抛物线y＝x2+bx+c过A（m，n），B（m﹣4，n），且它与x轴只有一个公共点，则n的值是（　　）
A．4
B．﹣4
C．6
D．16
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法错误的是（　　）
x
…
﹣1
0
1
3
…
y
…
﹣3
1
3
1
…
A．a＜0
B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间
C．2a+b＞0
D．若点（5，y1）、（﹣，y2）都在函数图象上，则y1＜y2
7．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（　　）
A．t＞﹣5
B．﹣5＜t＜3
C．3＜t≤4
D．﹣5＜t≤4
8．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（　　）
A．5
B．﹣1
C．5或1
D．﹣5或﹣1
9．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
二、填空题
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为　
　．
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）中，4a﹣b＝0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，且经过点（0，3）．下列四个结论：
①对称轴为直线x＝﹣2；②若点（m﹣2，y1）和（n﹣2，y2）在抛物线上，且m＞n，则y1＞y2；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣2和﹣3之间；④0＜a＜1；
其中结论正确结论是
　
　（填写序号）．
12．若函数y＝mx2+2（m+2）x+m+1图象与x轴只有一个交点，那么m的值为　
　．
13．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的对称轴为直线x＝﹣1，经过A（0，﹣2），B（1，m）两点，其中m＞0．下列四个结论：①a＞；②一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣3和﹣2之间：③点P1（t，y1），P2（t﹣1，y2）在抛物线上，当实数t＜﹣时，y1＞y2；④一元二次方程ax2+bx+c＝n，当n＞﹣时，方程有两个不相等的实数根，其中正确的结论是　
　（填写序号）．
14．二次函数y＝2x2+4x+（m﹣5）的图象与x轴有两个不同交点，则m的取值范围为　
　．
15．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，则△ABC的面积为
　
　．
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确结论的序号是　
　．
17．某校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后，有兴趣的在一起探究“函数y＝x2﹣|x|的有关图象和性质”，探究过程如下：
（1）列表：问m＝　
　．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
2
…
y
…
6
2
0
0
0
2
m
…
（2）请在平面直角坐标系中画出图象．
（3）若方程x2﹣|x|＝p（p为常数）有三个实数根，则p＝　
　．
（4）试写出方程x2﹣|x|＝p（p为常数）有两个实数根时，p的取值范围是　
　．
三、解答题
18．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△BOC的面积．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，4），顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线上是否存在点M，使得S△MAC＝S△DAC？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（4，5）与点B（0，﹣3），且与x轴交于点C、D．
（1）求该二次函数的表达式，以及与x轴的交点坐标．
（2）若点Q（m，n）在该二次函数图象上，
①求n的最小值；
②若点Q到x轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m的取值范围．
21．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC的解析式；
（3）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标及此时距离之和的最小值．
22．如图，对称轴为直线x＝﹣1的二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点的坐标为（1，0）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在直线x＝﹣1上找一点P，使△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；
（3）若在第二象限内且横坐标为t的点Q在此二次函数的图象上，则当t为何值时，四边形AQCB的面积最大？最大面积是多少？
1．解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，﹣＝2，
∴（﹣）2﹣4×＝16，b＝﹣4，
解得c＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（2，﹣4），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（2，4），
故选：A．
2．解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣l与x轴有交点，
∴△＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0，且k≠0，
解得k≥﹣1且k≠0，
故选：D．
3．解：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得，
∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，
∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴a﹣a+2＜0，
∴a＜﹣，
∴﹣a＞，即b＞，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，
∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，
∴m+n＝4a+4，
∵a＜﹣，
∴m+n＜﹣，故②正确；
∵抛物线过（0，2），（1，2），
∴抛物线对称轴为x＝，
又∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴根据对称性：当x＝﹣时，对应的函数值y＜0，
而x＝0时y＝2＞0，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间，故③正确；
∵P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，
∴y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
若y1＞y2，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1），
∵a＜0，
∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1），
解得t＞，故④不正确，
故选：B．
4．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝3，
∴x＝﹣2和x＝8时，函数值相等，
∵当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当8＜x＜9时，它的图象位于x轴的上方，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（8，0），
把（﹣2，0）代入y＝x2﹣6x+m，得4+12+m＝0，
解得m＝﹣16．
故选：D．
5．解：∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（m，n）、B（m﹣4，n），
∴对称轴是直线x＝m﹣2．
又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴顶点为（m﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y＝（x﹣m+2）2
把A（m，n）代入，得n＝（m﹣m+2）2＝4，
即n＝4．
故选：A．
6．解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小，
∴抛物线的开口向下，
∴a＜0，
故A正确；
∵x＝﹣1时，y＝﹣3，
∴x＝4时，y＝﹣3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4，
即方程ax2+bx+c＝﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间，
故B错误；
∵抛物线过点（0，1）和（3，1），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝＞1，
∴2a+b＞0，
故C正确；
∵（﹣，y2）关于直线x＝的对称点为（，y2），
∵＜5，
∴y1＜y2，
故D正确；
故选：B．
7．解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，
当x＝1时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，
∴﹣5＜t≤4．
故选：D．
8．解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，
∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；
当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，
即m的值为5或1．
故选：C．
9．解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
则y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，
则﹣x2+bx+c﹣4＝0化为﹣x2+2x＝0，
解得x＝0或2，
故选：A．
10．解：∵抛物线的对称轴为x＝2，抛物线和x轴的一个交点坐标为（6，0），
则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（﹣2，0），
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝6或﹣2，
故答案为：x1＝6，x2＝﹣2．
11．解：①∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，对称轴是直线：x＝﹣＝﹣＝﹣2，所以①正确，符合题意；
②∵m＞n，∴m﹣2＞n﹣2，只能确定出m﹣2和n﹣2的大小关系，即横坐标的大小关系，而要进一步确定纵坐标y1，y2，的大小关系，是必须知道横坐标与对称轴的关系，而题目中没办法给出在对称轴的同侧还是异侧，若都在对称轴的左侧故②错误，不合题意；
③由①知，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的两交点就是在点（﹣2，0）左右两侧，且关于直线x＝﹣2对称，又知道抛物线与x轴的两交点之间的距离小于2，所以一个根在﹣2和﹣3之间，另一个根在﹣2和﹣1之间，所以③正确，符合题意；
④，
解得＜a＜1，故④错误，不合题意．
故答案是：①③．
12．解：当m＝0时，函数y＝4x+1的图象与x轴有一个交点，
当m≠0时，函数y＝mx2+2（m+2）x+m+1的图象是抛物线，
若抛物线的图象与x轴只有一个交点，
则方程mx2+2（m+2）x+m+1＝0只有一个根，
即4（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，
解得m＝﹣，
综上可得m的值为﹣或0，
故答案为﹣或0．
13．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的对称轴为直线x＝﹣1，经过A（0，﹣2），B（1，m）两点，其中m＞0．
∴b＝2a，c＝﹣2，a+b+c＝m＞0，
∴a+2a﹣2＞0，
∴a＞，故①正确；
由题意可知，抛物线与x轴的交点横坐标在0和1之间，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点的横坐标在﹣2和﹣3之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣3和﹣2之间，故②正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
当两点在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∵P1（t，y1），P2（t﹣1，y2）在抛物线上，
∴当t≤﹣1时，y1＜y2，
当两点在对称轴两侧时，即t﹣1＜﹣1＜t，
∵t＜﹣，
∵﹣1﹣t+1＞t+1，
∴y1＜y2，故③错误；
∵y＝ax2+2ax﹣2，a＞，
∴＝＝﹣2﹣a＜﹣，
∴抛物线与直线y＝﹣有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n，当n＞﹣时，方程有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为①②④．
14．解：∵若二次函数y＝2x2+4x+（m﹣5）的图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＝42﹣4（m﹣5）×2＝﹣8m+56＞0，
解得：m＜7．
故答案是：m＜7．
15．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣x+，
∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，OC＝，
∴△ABC的面积为：＝3，
故答案为：3．
16．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故①正确；
②∵对称轴为x＝1，一个交点为（﹣1，0），
∴另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3，故②正确；
③由对称轴为x＝1，
∴，
∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故③正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于（0，2），
∴c＝2，
∵a＜0，
∴c﹣a＞2，故④正确，
故答案为：①②③④．
17．解：（1）当x＝2时，
y＝x2﹣|x|＝（2）2﹣|2|＝，
故答案为；
（2）图象如下：
；
（3）由（2）题图象可知当y＝0时图象与x轴有三个交点，
即当p＝0时方程x2﹣|x|＝p有三个实数根，
故答案为0；
（4）由（2）图象可以看出当y＝p直线经过顶点或者在x轴上方时与图象有两个交点，即方程x2﹣|x|＝p（p为常数）有两个实数根，
∴p＞0或p＝﹣，
故答案为p＞0或p＝﹣．
18．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由（1）知，y＝﹣x2﹣2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴OC＝3，
∵点B的坐标为（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC的面积是＝＝．
19．解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+4①；
（2）存在．令y＝﹣x2﹣x+4＝0，解得x＝1或﹣3，故点A的坐标为（1，0），
连接AC，过点D作AC的平行线DH，交y轴于点H，则DH和抛物线的另外一个交点即为点M，
由抛物线的表达式知，点D的坐标为（﹣1，），
设直线AC的表达式为y＝mx+n，则，解得，
故直线AC的表达式为y＝﹣4x+4，
则设直线DH的表达式为y＝﹣4x+t，
将点D的坐标代入上式得：＝4+t，解得t＝，
故直线DH的表达式为y＝﹣4x+②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点M的坐标为（2，﹣）．
20．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或﹣1，
故抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）、（﹣1，0）；
（2）①y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4≥﹣4，
故n的最小值为﹣4；
②令|y|＝|x2﹣2x﹣3|＝3，解得x＝0或2或1，
故m的取值范围为：1﹣＜m＜0或2＜m＜1+．
21．解：（1）依题意得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（﹣3，0）
把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+3；
（3）BC与直线x＝﹣1的交点为M，如图，
∵MA＝MB，
∴MA+MC＝MB+MC＝BC，
∴此时MA+MC的值最小，
∵当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，
BC＝＝3，
∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，距离之和的最小值为3．
22．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1且过点B（1，0），
∴，解得，
∴此二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）如图1，连接AC交直线x＝﹣1于点P，连接PB，
∵点A与点B关于直线x＝﹣1对称，
∴A（﹣3，0），
∴此时PB+PC＝AC最小，△PBC的周长也最小．
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵C（0，3），
∴，解得，
∴y＝x+3，
当x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，
∴P（﹣1，2）．
（3）如图2，过点Q作QF⊥x轴于点F，交AC于点E，
则Q（t，﹣t2﹣2t+3），E（t，t+3），
∴S四边形AQCB＝EQ?AF+EQ?OF+×（1+3）×3
＝×3（﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3）+6
＝﹣t2﹣t+6
＝﹣（t+）2+，
∵﹣3＜t＜0，
∴当t＝﹣时，S四边形AQCB有最大值，最大值为．