2021-2022学年人教版九年级数学上册 22.1二次函数的图象和性质 同步能力达标训练 （word版、含解析）

2021-2022学年人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图象和性质》
同步能力达标训练（附答案）
一、选择题
1．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（　　）
A．y＝﹣x2+2x+3
B．y＝x2+2x+3
C．y＝﹣x2+2x﹣3
D．y＝﹣x2﹣2x+3
2．已知点（﹣1，2）在二次函数y＝ax2的图象上，那么a的值是（　　）
A．1
B．2
C．
D．﹣
3．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（　　）
A．①②④
B．①②⑤
C．①③⑤
D．②④⑤
4．下列关于二次函数y＝﹣2（x﹣2）2+1图象的叙述，其中错误的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝2
C．此函数有最小值是1
D．当x＞2时，函数y随x增大而减小
5．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2）
B．（﹣1，2）
C．（1，﹣2）
D．（﹣1，﹣2）
6．将二次函数y＝x2+4x+3化成顶点式，变形正确的是（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣1
B．y＝（x+1）（x+3）
C．y＝（x﹣2）2+1
D．y＝（x+2）2﹣1
7．若二次函数y＝x2﹣2x+k的图象经过点（﹣1，y1），（，y2），则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2
B．y1＝y2
C．y1＜y2
D．不能确定
8．抛物线y＝（x+1）（x﹣3）的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，0）
B．（1，﹣4）
C．（﹣1，2）
D．（1，2）
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（　　）
A．a＞0，b＜0，c＜0
B．a＞0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0
D．a＜0，b＞0，c＜0
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　）
A．B．C．D．
11．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2，则这条抛物线的解析式是（　　）
A．y＝x2﹣x﹣2
B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2
C．y＝﹣x2+x+2
D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2
12．将二次函数y＝x2﹣2x﹣2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣2
B．y＝（x﹣1）2﹣3
C．y＝（x﹣1）2﹣2
D．y＝（x﹣2）2﹣3
13．函数y＝ax2+bx与y＝ax+b（ab≠0）的图象大致是（　　）
A．B．C．D．
14．点A（﹣1，y1），B（m，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＞0）上．若y1＞y2，则m的取值范围为（　　）
A．﹣1＜m＜1
B．m＞3或m＜﹣1
C．m＞3
D．﹣1＜m＜3
15．如图，是一次函数y＝kx+b的图象，则二次函数y＝2kx2﹣bx+1的图象大致为（　　）
A．B．C．D．
16．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．
C．D．
17．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（　　）
A．3
B．﹣3或
C．3或﹣
D．﹣3或﹣
18．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．图象的对称轴在y轴的右侧
C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小
D．y的最小值为﹣3
19．二次函数y＝2（x﹣2）2﹣1的图象大致是（　　）
A．B．
C．D．
20．已知某二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（　　）
①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③a＝﹣；④8a+c＞0．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
21．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＝y2＞y3
B．y3＞y1＝y2
C．y1＞y2＞y3
D．y1＜y2＜y3
22．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；
④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论有（　　）
A．4
个
B．3
个
C．2
个
D．1
个
二、填空题
23．已知函数y＝（m﹣3）x2﹣x+5是二次函数，则常数m的取值范围是　
　．
24．用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：
尽管表格中的有些数据被墨迹污染了，但仍可得该函数图象的顶点坐标为　
　．
25．当x＝　
　时，二次函数y＝x2﹣5x+6取最小值．
26．函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝　
　时，它为正比例函数；当m＝　
　时，它为一次函数；当m　
　时，它为二次函数．
三、解答题
27．如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），（0，﹣6），求二次函数表达式．
28．二次函数y＝a（x﹣h）2的图象如图，已知a＝，OA＝OC，试求该抛物线的解析式．
29．已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．
30．已知抛物线与x轴的交点是A（﹣3，0），B（1，0），经过点C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）设该抛物线的顶点为M，求△ABM的面积．
31．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝2，且其顶点在直线y＝﹣2x+2上．
（1）直接写出抛物线的顶点坐标；
（2）求抛物线的解析式．
32．如图，直线L1：y＝bx+c与抛物线L2：y＝ax2的两个交点坐标分别为A（m，4），B（1，1）．
（1）求m的值；
（2）过动点P（n，0）且垂直于x轴的直线与L1，L2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，请直接写出n的取值范围．?
33．将下列函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式：
（1）y＝；
（2）y＝﹣．
34．画出函数y＝（x﹣6）2+3的图象，写出它的开口方向，对称轴和顶点，并说明当y随x的增大而增大时，x的取值范围．
35．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
36．已知二次函数y＝a（x+a）（x+a﹣1）．
（1）当a＝2时，求该二次函数图象的对称轴．
（2）当a＜0时，判断该二次函数图象的顶点所在的象限，并说明理由．
（3）当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，求a的取值范围．
37．如图，直线AB过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，B点坐标为（1，1）．
（1）求直线AB的解析式及抛物线y＝ax2的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）求S△COB．
38．已知二次函数y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx﹣2的图象相交于A、B两点，如图所示，其中A（﹣1，﹣1），求△OAB的面积．
39．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标．
参考答案
1．解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，
解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故选：D．
2．解：
∵点（﹣1，2）在二次函数y＝ax2的图象上，
∴2＝a×（﹣1）2，解得a＝2，
故选：B．
3．解：根据图象可知：
①对称轴﹣＞0，故ab＜0，正确；
②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，正确；
③x＝1时，y＝a+b+c＜0，错误；
④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；
⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3，正确．
正确的有①②⑤．故选：B．
4．解：由二次函数y＝﹣2（x﹣2）2+1可知：a＝﹣2＜0，所以开口向下，顶点坐标为（2，1），对称轴为x＝2，当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而增大，函数有最大值1，故A、B、D正确，C错误，
故选：C．
5．解：
∵y＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线顶点坐标为（1，2），
故选：A．
6．解：y＝x2+4x+3
＝x2+4x+4﹣1
＝（x+2）2﹣1，
故选：D．
7．解：当x＝﹣1时，y1＝x2﹣2x+k＝1+2+k＝k+3；
当x＝时，y2＝x2﹣2x+k＝﹣1+k＝k﹣，
所以y1＞y2．
故选：A．
8．解：抛物线y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4，
则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．
故选：B．
9．解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵对称轴为x＝＞0，
∴a、b异号，即b＞0．
故选：D．
10．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选：A．
11．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），
∵OC＝2，
∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a?（﹣2）?1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；
把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a?（﹣2）?1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．
即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．
故选：D．
12．解：y＝x2﹣2x﹣2＝x2﹣2x+1﹣3＝（x﹣1）2﹣3，
所以，y＝（x﹣1）2﹣3．
故选：B．
13．解：A、由直线过第一、二、四象限知a＜0、b＞0，
则抛物线的开口向下且对称轴x＝﹣＞0，与x轴的另一交点﹣＞0，此选项符合题意；
B、由直线过第一、三、四象限知a＞0、b＜0，
则抛物线的开口向上，这与图象中抛物线开口不一致，此选项不符合题意；
C、由直线过第一、二、四象限知a＜0、b＞0，
则抛物线的开口向下，这与图象中抛物线开口不一致，此选项不符合题意；
D、∵ab≠0，
∴a≠0且b≠0，
则抛物线的对称轴x＝﹣≠0，此选项不符合题意；
故选：A．
14．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而a＞0，y1＞y2，
∴﹣1＜m≤1或m﹣1＜1+1，
∴m的范围为﹣1＜m＜3．
故选：D．
15．解：由一次函数y＝kx+b的图象可得，
k＞0，b＞0，
∴二次函数y＝2kx2﹣bx+1的图象开口向上，对称轴为x＝＞0，
故选：B．
16．解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误．
故选：B．
17．解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m＝﹣；
故选：C．
18．解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项D正确，
故选：D．
19．解：∵y＝2（x﹣2）2﹣1，
∴图象的开口向上，顶点坐标是（2，﹣1），
所以只有选项A符合，选项B、C、D都不符合．
故选：A．
20．解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，则abc＞0，故①错误，不符合题意；
②函数的对称轴为x＝1，函数和x轴的一个交点是（3，0），则另外一个交点为（﹣1，0），
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故②错误，不符合题意；
③函数的对称轴为x＝1＝﹣，即b＝﹣2a，故③正确，符合题意；
④由②③得，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，故3a+c＝0，而a＞0，即5a＞0，故8a+c＞0正确，符合题意；
故选：B．
21．解：∵y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，
∴对称轴为x＝1，
P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3＜5，
∴y2＞y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，
故y1＝y2＞y3，
故选：A．
22．解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①错误，不符合题意；
②将点（﹣，0）代入函数表达式得：a﹣2b+4c＝0，故②正确，符合题意；
③函数的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，故2a+b＝0，故③错误，不符合题意；
④由②③得：a﹣2b+4c＝0，b＝﹣2a，则c＝﹣，故2c﹣3b＝＞0，故④错误，不符合题意；
⑤当x＝1时，函数取得最小值，即a+b+c≤m（am+b）+c，故⑤正确，符合题意；
故选：C．
23．解：根据题意得：m﹣3≠0，
解得：m≠3．
故答案是：m≠3
24．解：根据表格知道：
当x＝﹣1或3时，y＝2，
∴二次函数的图象的对称轴为x＝1，
而当x＝1时，y＝﹣2，
∴该函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
25．解：∵二次函数y＝x2﹣5x+6可化为y＝（x﹣）2﹣，
∴当x＝时，二次函数y＝x2﹣5x+6有最小值；
故答案为：．
26．解：m2﹣3m+2＝0，
则（m﹣1）（m﹣2）＝0，
解得：m1＝1，m2＝2，
故m≠1且m≠2时，它为二次函数；当m＝1或2时，它为一次函数，当m＝1时，它为正比例函数；
故答案为：1；1或2；m≠1且m≠2
27．解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1）
把（0，﹣6）代入得﹣3a＝﹣6，解得a＝2，
所以此函数的解析式为y＝2（x﹣3）（x+1），
即y＝2x2﹣4x﹣6．
28．解：把a＝代入得：y＝（x﹣h）2，
根据OA＝OC，得到h2＝h，即h（h﹣2）＝0，
解得：h＝0（不合题意，舍去）或h＝2，
则抛物线解析式为y＝（x﹣2）2＝x2﹣2x+2．
29．解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（0，﹣3）代入得﹣3＝a×1×（﹣3），解得a＝1，
所以抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3．
30．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，﹣3）代入得a?3?（﹣1）＝﹣3，解得a＝1．
所以抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣1），即y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，则M（﹣1，﹣4），
∴S△ABM＝×（1+3）×4＝8．
31．解：（1）把x＝2代入y＝﹣2x+2得，y＝﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；
（2）∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）；
∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣2，
即抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+2．
32．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得：a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2．
把A（m，4）代入y＝x2得：4＝m2，
∴m＝±2．
∵点A在二象限，
∴m＝﹣2．
（2）观察函数图象可知：当﹣2＜x＜1时，直线在抛物线的上方，
∴n的取值范围为：﹣2＜n＜1．
33．解：（1）y＝（x2﹣4x）﹣4，
y＝（x2﹣4x+4﹣4）﹣4，
y＝（x﹣2）2﹣6；
（2）y＝﹣（x2+2x）+，
y＝﹣（x2+2x+1﹣1）+，
y＝﹣（x+1）2+．
34．解：函数y＝（x﹣6）2+3的图象如图所示：
抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝6，顶点坐标为（6，3），
当x＞6时，y随x的增大而增大．
35．解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得0＝4a+4a﹣8，
解得a＝1，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9,
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣9）．
（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，
∴m＝16，
把y＝7代入函数解析式得7＝x2﹣2x﹣8，
解得n＝5或n＝﹣3，
∵n为正数，
∴n＝5，
∴点A坐标为（﹣4，16），点B坐标为（5，7）．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9），
∴抛物线顶点在AB下方，
∴﹣4＜xP＜5,﹣9≤yP＜16．
36．解：（1）当a＝2时，y＝2（x+2）（x+1），∴二次函数的对称轴为x＝．
（2）由题知二次函数与x轴的交点坐标为（﹣a，0），（1﹣a，0）；
∵a＜0，
∴二次函数的开口方向向下；又﹣a＞0，1﹣a＞0，所以对称轴所在直线为x＝＝＞0，当x＝时，y＝﹣＞0，
所以顶点坐标（，﹣）在第一象限．
（3）当a＝0时，明显不符合题意；
∴a≠0；
由（2）知，二次函数的对称轴为直线x＝，
∵当0＜x＜3时，y随着x增大而增大，
∴当a＞0时，≤0，解得a≥；
当a＜0，≥3，解得a≤﹣．
∴a的取值范围为a≥或a≤﹣．
37．解：（1）设直线表达式为y＝kx+b．
∵A（2，0），B（1，1）都在y＝kx+b的图象上，
∴，解得，
∴直线AB的表达式为y＝﹣x+2；
∵点B（1，1）在y＝ax2的图象上，
∴a＝1，其表达式为y＝x2；
（2）由，解得或，
∴点C坐标为（﹣2，4）；
（3）S△COB＝S△AOC﹣S△OAB＝×2×4﹣×2×1＝3．
38．解：∵一次函数y＝kx﹣2的图象相过点A（﹣1，﹣1），
∴﹣1＝﹣k﹣2，解得k＝﹣1，
∴一次函数表达式为y＝﹣x﹣2，
∴令x＝0，得y＝﹣2，
∴G（0，﹣2），
∵y＝ax2过点A（﹣1，﹣1），
∴﹣1＝a×1，解得a＝﹣1，
∴二次函数表达式为y＝﹣x2，
由一次函数与二次函数联立可得，
解得，，
∴S△OAB＝OG?|A的横坐标|+OG?点B的横坐标＝×2×1+×2×2＝1+2＝3．
39．解：（1）根据题意得，
解得，
所以抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，则B（﹣3，0），A（1，0），
∵△ABP的面积为10，
∴?4?|x2+2x﹣3|＝10，
解方程x2+2x﹣3＝5得x1＝﹣4，x2＝2，此时P点坐标为（﹣4，5），（2，5）；
方程x2+2x﹣3＝﹣5没有实数解，
∴P点坐标为（﹣4，5），（2，5）