2021年新教材高中数学1.1.2空间向量的数量积运算 （Word含解析解析）
文档属性
| 名称 | 2021年新教材高中数学1.1.2空间向量的数量积运算 （Word含解析解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 453.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-22 13:52:02 | ||
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文档简介
空间向量的数量积运算
基础练(15分钟 30分)
1．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos
〈，〉等于( )
A．
B．
C．－
D．0
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a－3b|等于________．
4．已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．
5．如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．
进阶练(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A．
B．97
C．
D．61
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1
B．2
C．3
D．5
3．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC的中点，则△AMD是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
4．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(＝0；
③与的夹角为60°.
其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·a)c－(c·a)b一定不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
6．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，下列向量的数量积能为0的有( )
A．·
B．·
C．·
D．·
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．如图，已知△ABC在平面α内，∠BAC＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．
8．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，则·＝__________，·________·.(填“<”“＝”或“>”)
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知在三棱锥O?ABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.
10．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
拓展
1．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
2．如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
参考答案：
基础练(15分钟 30分)
1．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选B.当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能推出l⊥α.若l⊥α，则一定有c·a＝0，c·b＝0，故选项B符合题意．
2．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos
〈，〉等于( )
A．
B．
C．－
D．0
【解析】选D.因为·＝·(－)＝·－·＝
||·||·cos
－||·||·cos
＝0，所以⊥，所以cos
〈，〉＝0.
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a－3b|等于________．
【解析】因为|a－3b|2＝(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2
＝1－6×cos
60°＋9＝7，所以|a－3b|＝.
答案：
4．已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．
【解析】因为a与2b－a垂直，所以a·(2b－a)＝0，
即2a·b－|a|2＝0.
所以2|a||b|·cos
〈a，b〉－|a|2＝0，
所以4cos〈a，b〉－4＝0，所以cos〈a，b〉＝，
又〈a，b〉∈，所以a与b的夹角为.
答案：
5．如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．
【解析】因为＝＋＋，
所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋
||2＋2·＋2·＋2·
＝12＋2×(2×2·cos
90°＋2×2·cos
120°＋2×2·cos
90°)＝8，
所以||＝2，即A，D两点间的距离为2.
进阶练(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A．
B．97
C．
D．61
【解析】选C.|2a－3b|2＝4a2＋9b2－12a·b＝4×4＋9×9－12×|a|×
|b|cos
60°＝97－12×2×3×＝61.所以|2a－3b|＝.
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1
B．2
C．3
D．5
【解析】选A.|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左、右两边分别相减得4a·b＝4，所以a·b＝1.
3．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC的中点，则△AMD是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
【解析】选C.因为M是BC的中点，所以＝(＋)，所以·＝
(＋)·＝·＋·＝0，所以AM⊥AD，所以△AMD是直角三角形．
4．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(＝0；
③与的夹角为60°.
其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
【解析】选B.如图所示．
由(＋＋)2＝＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝32，知①正确；
由·()＝·()＝
·＝0，知②正确；与的夹角为120°，故③不正确．
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·a)c－(c·a)b一定不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
【解析】选BD.根据向量数量积的定义及性质，可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故(a·b)c与(c·a)b不一定相等，故A错误；因为[(b·a)c－(c·a)b]·c＝(b·a)c2－(c·a)(b·c)，所以当a⊥b，且a⊥c或b⊥c时，[(b·a)c－(c·a)b]·c＝0，即(b·a)c－(c·a)b与c垂直，故C错误；易知BD正确．
6．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，下列向量的数量积能为0的有( )
A．·
B．·
C．·
D．·
【解析】选ABC.对于选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，
所以AD1⊥B1C，此时有＝0；对于选项B，当四边形ABCD为正方形时，易得AC⊥BD，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时·＝0；对于选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，
所以AB⊥AD1，所以·＝0.
对于选项D，由于与不可能垂直，
所以·不可能为0.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．如图，已知△ABC在平面α内，∠BAC＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．
【解析】·＝·(＋)
＝·＋·＝0＋0＝0，所以⊥，即CA⊥DB.
答案：垂直
8．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，则·＝__________，·________·.(填“<”“＝”或“>”)
【解析】由题易知AE⊥BC，所以·＝0，而·＝(＋)·
＝·(－)＋·
＝||·||·cos
120°－||·||·
cos
120°＋||·||·cos
120°<0，
所以·<·.
答案：0 <
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知在三棱锥O?ABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.
【证明】设＝a，＝b，＝c.因为P，M分别为OA，BC的中点，所以＝－＝(b＋c)－a＝[(b－a)＋c].
同理，＝(a＋c)－b＝－[(b－a)－c].
所以·＝－.
因为AB＝OC，即|b－a|＝|c|.所以·＝0.
所以⊥，即PM⊥QN.
10．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
【解析】(1)＝＝＋＋＝(c－a)＋a＋
(b－a)＝a＋b＋c.
(2)因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c
＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，
所以|a＋b＋c|＝，所以||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝.
拓展
1．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
【解析】因为a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，
所以a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
所以a·b＋b·c＋c·a
＝－＝－13.
答案：－13
2．如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
【解析】(1)＝＋，＝＋.
因为BB1⊥平面ABC，所以·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
所以〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
因为·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·
＝||·||·cos
〈，〉＋＝－1＋1＝0，所以AB1⊥BC1.
(2)结合(1)知＝||·||·cos
〈，〉＋＝－1.又＝＝＝|BC1|，
所以cos
〈〉＝＝，
所以＝2，即侧棱长为2.
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基础练(15分钟 30分)
1．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos
〈，〉等于( )
A．
B．
C．－
D．0
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a－3b|等于________．
4．已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．
5．如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．
进阶练(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A．
B．97
C．
D．61
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1
B．2
C．3
D．5
3．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC的中点，则△AMD是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
4．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(＝0；
③与的夹角为60°.
其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·a)c－(c·a)b一定不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
6．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，下列向量的数量积能为0的有( )
A．·
B．·
C．·
D．·
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．如图，已知△ABC在平面α内，∠BAC＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．
8．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，则·＝__________，·________·.(填“<”“＝”或“>”)
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知在三棱锥O?ABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.
10．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
拓展
1．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
2．如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
参考答案：
基础练(15分钟 30分)
1．已知向量a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】选B.当a与b不共线时，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；当a与b为共线向量时，由c·a＝0，c·b＝0，不能推出l⊥α.若l⊥α，则一定有c·a＝0，c·b＝0，故选项B符合题意．
2．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos
〈，〉等于( )
A．
B．
C．－
D．0
【解析】选D.因为·＝·(－)＝·－·＝
||·||·cos
－||·||·cos
＝0，所以⊥，所以cos
〈，〉＝0.
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a－3b|等于________．
【解析】因为|a－3b|2＝(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2
＝1－6×cos
60°＋9＝7，所以|a－3b|＝.
答案：
4．已知向量a，b满足：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为________．
【解析】因为a与2b－a垂直，所以a·(2b－a)＝0，
即2a·b－|a|2＝0.
所以2|a||b|·cos
〈a，b〉－|a|2＝0，
所以4cos〈a，b〉－4＝0，所以cos〈a，b〉＝，
又〈a，b〉∈，所以a与b的夹角为.
答案：
5．如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．
【解析】因为＝＋＋，
所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋
||2＋2·＋2·＋2·
＝12＋2×(2×2·cos
90°＋2×2·cos
120°＋2×2·cos
90°)＝8，
所以||＝2，即A，D两点间的距离为2.
进阶练(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于( )
A．
B．97
C．
D．61
【解析】选C.|2a－3b|2＝4a2＋9b2－12a·b＝4×4＋9×9－12×|a|×
|b|cos
60°＝97－12×2×3×＝61.所以|2a－3b|＝.
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1
B．2
C．3
D．5
【解析】选A.|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左、右两边分别相减得4a·b＝4，所以a·b＝1.
3．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC的中点，则△AMD是( )
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不确定
【解析】选C.因为M是BC的中点，所以＝(＋)，所以·＝
(＋)·＝·＋·＝0，所以AM⊥AD，所以△AMD是直角三角形．
4．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(＝0；
③与的夹角为60°.
其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
【解析】选B.如图所示．
由(＋＋)2＝＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝32，知①正确；
由·()＝·()＝
·＝0，知②正确；与的夹角为120°，故③不正确．
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是( )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·a)c－(c·a)b一定不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
【解析】选BD.根据向量数量积的定义及性质，可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故(a·b)c与(c·a)b不一定相等，故A错误；因为[(b·a)c－(c·a)b]·c＝(b·a)c2－(c·a)(b·c)，所以当a⊥b，且a⊥c或b⊥c时，[(b·a)c－(c·a)b]·c＝0，即(b·a)c－(c·a)b与c垂直，故C错误；易知BD正确．
6．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，下列向量的数量积能为0的有( )
A．·
B．·
C．·
D．·
【解析】选ABC.对于选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，
所以AD1⊥B1C，此时有＝0；对于选项B，当四边形ABCD为正方形时，易得AC⊥BD，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时·＝0；对于选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，
所以AB⊥AD1，所以·＝0.
对于选项D，由于与不可能垂直，
所以·不可能为0.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．如图，已知△ABC在平面α内，∠BAC＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．
【解析】·＝·(＋)
＝·＋·＝0＋0＝0，所以⊥，即CA⊥DB.
答案：垂直
8．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，则·＝__________，·________·.(填“<”“＝”或“>”)
【解析】由题易知AE⊥BC，所以·＝0，而·＝(＋)·
＝·(－)＋·
＝||·||·cos
120°－||·||·
cos
120°＋||·||·cos
120°<0，
所以·<·.
答案：0 <
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知在三棱锥O?ABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.
【证明】设＝a，＝b，＝c.因为P，M分别为OA，BC的中点，所以＝－＝(b＋c)－a＝[(b－a)＋c].
同理，＝(a＋c)－b＝－[(b－a)－c].
所以·＝－.
因为AB＝OC，即|b－a|＝|c|.所以·＝0.
所以⊥，即PM⊥QN.
10．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
【解析】(1)＝＝＋＋＝(c－a)＋a＋
(b－a)＝a＋b＋c.
(2)因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c
＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，
所以|a＋b＋c|＝，所以||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝.
拓展
1．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
【解析】因为a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，
所以a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
所以a·b＋b·c＋c·a
＝－＝－13.
答案：－13
2．如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
【解析】(1)＝＋，＝＋.
因为BB1⊥平面ABC，所以·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，
所以〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
因为·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·
＝||·||·cos
〈，〉＋＝－1＋1＝0，所以AB1⊥BC1.
(2)结合(1)知＝||·||·cos
〈，〉＋＝－1.又＝＝＝|BC1|，
所以cos
〈〉＝＝，
所以＝2，即侧棱长为2.
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