2021-2022学年八年级数学人教版上册13.3.2等边三角形同步习题（word版、含解析）

2021-2022学年八年级数学上册同步（人教版）
13.3.2等边三角形
时间：60分钟，
一、单选题
1．如图，中，，且的面积是4，则的长为（
）
A．2
B．4
C．8
D．6
2．如图，在等边△ABC中，AB=10cm，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，则EC的长是（　　）
A．2.5cm
B．5cm
C．7cm
D．7.5cm
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD=4，则BC的长为（　　）
A．8
B．4
C．12
D．6
4．如图，是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中的等边三角形有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
5．如图，l∥m，等边△ABC的顶点A在直线m上，则∠α=（
）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
6．一个三角形具备下列条件仍不是等边三角形的是（
）
A．一个角的平分线是对边的中线或高线
B．两边相等，有一个内角是60°
C．两角相等，且两角的和是第三个角的2倍
D．三个内角都相等
7．等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（
）
A．105°
B．120°
C．135°
D．150°
8．已知，在△ABC中，，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；
（2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（
）
A．
B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC
D．
二、填空题
9．如图，△ABD，△ACE都是等边三角形，BE和CD交于O点，则∠BOC=__________度．
10．在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝60°，则△ABC是________三角形．
11．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则_________°．
12．等腰三角形的底边上的中线等于腰长的一半，则它的顶角为__________．
13．等腰三角形的底角为15°，腰长为24cm，则这个三角形的面积为____________．
14．如图，中，，，于，是的平分线，且交于点.如果，则的长为______.
15．如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为__________.
三、解答题
16．如图，四边形中，，，，，求的长．
17．如图，在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，垂足为点E，△BDE是等边三角形，若AD=4，求BE的长？
18．如图所示，在中，，，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，求证：．
19．已知:在中,
,为的中点,
,
,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形.
20．如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC是等边三角形．
21．证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明．
已知：　　；
求证：　　；
证明过程：
22．如图，在已知中，，点在上，过点的直线分别交于点，交的延长线于点，且．求证：．
23．如图，已知△是等边三角形，、分别是、边上的点，且，、相交于点.
（1）求证：；
（2）求出
的度数．
试卷第1页，总3页
参考答案
1．B
【解析】解：如图，过点C作，垂足为D．
∵，
∴，
∴的面积为，
解得．
故选：B．
2．D
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=10，∠A=60°，
∵D是AB的中点，
∴AD=AB=5，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=AD=2.5，
∴EC=AC﹣AE=7.5，
故选：D．
3．C
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵AB⊥AD，
∴BD=2AD=2×4=8，
∠B+∠ADB=90°，
∴∠ADB=60°，
∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴DC=AD=4
∴BC=BD+DC=8+4=12，
故选：C．
4．D
【解析】∵为等边三角形，
∴．
∵D，E，F为各边中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴为等边三角形，
∴题图中的等边三角形共有5个．
故选D．
5．B
【解析】过B点作BF∥l，如图，
∵BF∥l，
∴∠CBF=40°，
∵l∥m，
∴BF∥m，
∴∠ABF=α，
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°=∠CBF+∠ABF，
∴α=20°，
故选：B．
6．A
【解析】选项A，一个角的平分线是对边的中线或高线，能判定该三角形是等腰三角形，不能判断该三角形是等边三角形；
选项B，两边相等，有一个内角是60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，即可判定该三角形是等边三角形；
选项C，两角相等，且两角的和是第三个角的2倍
，根据三角形的内角和定理可求得该三角形的三个内角的度数都为60°，即可判定该三角形是等边三角形；
选项D，三个内角都相等，根据三角形的内角和定理可求得该三角形的三个内角的度数都为60°，即可判定该三角形是等边三角形.
故选A.
7．B
【解析】
∵等边△ABC的两条高线相交于O
∴∠OAB=∠OBA=30°
∴∠AOB=180°?∠OAB?∠OBA=120°
故选B
8．D
【解析】解：∵
∴△BCD是等边三角形
故选项B正确；
∵，
∴
∴
故选项A正确；
∵，
∴据三线合一得出AD垂直平分BC
故选项C正确；
∵四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和
∴
故选项D错误．
故选：D．
9．120
【解析】∵△ABD、△ACE都是正三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
∴△ADC≌△ABE(SAS)，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠DAB=∠BOD=60°，
∠BOC=180-∠BOD=120°，
故答案为：120
10．等边
【解析】∵在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝60°，，
∴∠B=180°-∠A-∠C=60°，
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边．
11．30
【解析】解：∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠B=∠BCF，
∵△ACF为等边三角形，
∴∠AFC=60°，
∴∠B=∠BCF=30°.
故答案为：30.
12．120°
【解析】如图：△ABC中，BD=DC，
∴∠ADB=90°，
∵在Rt△ABD中，AD=AB，
∴∠B=30°，
∵AB=AC，
∴∠C=30°，
∴∠BAC=120°．
故答案为：120°．
13．144
cm2
【解析】设△ABC的顶角为∠BAC，如图，
过C点作AB边的高，交BA的延长线于点D，
∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠B=∠BCA=15°，
∴∠DAC=∠B+∠BCA=30°，
在Rt△ACD中，CD=AC=12(cm)，
∴S△ABC=AB?CD=×24×12=144(cm2)，
故答案为：144
cm2．
14．6
【解析】∵，，
∴∠ACB=60°，
∵是的平分线，
∴∠ECA=∠ECB=30°，
在△AEC中，∠AEC=90°﹣∠ACE=60°，
∵，
∴∠BAD=90°﹣∠B=60°，
∴△AEP为等边三角形，
∴AE=AP=2，
∴EC=2AE=4，
∵∠B=∠BCE=30°，
∴BE=CE=4，
∴AB=BE+AE=4+2=6.
故答案为：6.
15．3
【解析】解：由折叠性质可得，，
所以.
故答案为：3.
16．12cm
【解析】解：连接AC，如图：
∵AB＝BC＝6cm，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝6cm，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠A＝120°，∠C＝150°，
∴∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，
∴AD＝2AC＝12cm．
17．
【解析】∵△BDE是等边三角形，且BE⊥AC，在中，，
,
∴,
而
∴,
∴
18．详见解析
【解析】
如图，连接AE，
∵，，
∴．
∵DE垂直平分AB，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
19．证明见解析.
【解析】
详解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵DE⊥AB，
DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°．
∵D为的AC中点，∴DA=DC．
又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∴ΔABC是等边三角形．
20．证明见解析
【解析】∵DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB＝30°，
∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝60°，
又∵AD＝DC，
∴△ADC是等边三角形
21．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°；BC=AB，证明见解析
【解析】已知：△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
求证：BC=AB，
证明：
延长BC到D，使CD=BC，连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BD，
∴AD=AB，
∵∠ACB=90°，∠C=30°，
∴∠B=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴BD=AB，
∵BC=CD=BD，
∴BC=AB.
23．证明见解析
【解析】
证明：过点作交于
∴，
∵
∴
∴
∴．
又∵
∴．
∵在和中
，
∴≌（AAS）．
∴．
24．（1）见解析；（2）60°.
【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°，
在△ABD和△BCE，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
（2）∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABP+∠CBE=∠ABD=60°，
∴∠ABP+∠BAD=60°，
∴∠APB=180°-60°=120°．
∴=180°-120°=60°．
答案第1页，总2页
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