-2021-2022学年八年级数学人教版上册13.4课题学习 最短路径问题同步习题（word版、含解析）
文档属性
| 名称 | -2021-2022学年八年级数学人教版上册13.4课题学习 最短路径问题同步习题（word版、含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 504.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-21 14:18:56 | ||
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文档简介
2021-2022学年八年级数学上册同步（人教版）
13.4最短路径问题
时间：60分钟，
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．已知线段AB和点C,D,且CA=CB,DA=DB,那么直线CD是线段AB的( )
A．垂线
B．平行线
C．垂直平分线
D．过中点的直线
3．如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（
）
A．（-2，0）
B．（0，0）
C．（2，0）
D．（4，0）
4．如图，中，，，，，是的平分线.若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（
）
A．
B．4
C．
D．5
5．为解决村庄灌溉问题，政府投资由水库向A，B，C，D这四个村庄铺设管道，现已知这四个村庄与水库以及村与村之间的距离(单位：km)如图所示，则把水库的水输送到这四个村庄铺设管道的总长度最短应是( )
A．16km
B．17km
C．18km
D．20km
6．A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在( )
A．在A的左侧
B．在AB之间
C．在BC之间
D．B处
7．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P的位置应在（ ）
A．线段AB上
B．线段AB的延长线上
C．线段AB的反向延长线上
D．直线l上
8．如图，，M，N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，记，当的值最小时，关于，的数量关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．如图，在中，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是________．
10．如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是_____°．
11.已知：如图所示，M（3，2），N（1，－1）．点P在y轴上使PM＋PN最短，则P点坐标为_________．
12．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．
三、解答题
13．已知，M，N是x轴上两动点（M在N左边），，请在x轴上画出当的值最小时，M，N两点的位置．
14．如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B，两村要在河上合修一座桥，桥修在什么位置可以使两村到桥的距离之和最短？保留作图痕迹并说明理由．
15．如图，一个五棱柱的盒子(有盖)，有一只蚂蚁在A处发现一只虫子在D处，立刻赶去捕捉，你知道它怎样去的吗?请在图中画出它的爬行路线，如果虫子正沿着DI方向爬行，蚂蚁预想在点I处将它捕捉，应沿着什么方向?请在图中画出它的爬行路线.
16．如图所示，一只昆虫要从正方体的一个顶点A爬到相距它最远的另一个顶点B，哪条路径最短？说明理由．
17．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．
18．作图题：（写出作法，保留作图痕迹）
M、N为△ABC为AB、AC上的两个定点，请你在BC边上找一点P，使PMN周长最小？
19．如图所示的是某风景区的旅游路线示意图，其中B，C，D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为两相应点间的距离(单位：千米)．一位游客从A处出发，以2千米／时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为小时．
(1)当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了4小时，求CE的长；
(2)若此学生打算从A处出发，步行速度与景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，说明这样设计的理由．
20．如图，在△ABC的一边AB上有一点P.
(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；
(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数．
试卷第1页，总3页
参考答案
1．B
【解析】解：如图：
∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
∴当AC交EF于P时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为4，
故选：B.
2．C
【解析】解：根据线段垂直平分线的性质的逆定理，点C和D都在AB的垂直平分线上，那么直线CD是线段AB的垂直平分线．
故选C．
3．C
【解析】如图：
作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，则此时AP+PB最小，
即此时点P到点A和点B的距离之和最小，
∵A（-2，4），
∴C（-2，-4），
设直线CB的解析式是y=kx+b，
把C、B的坐标代入得：
，
解得：k=1，b=-2，
∴y=x-2，
把y=0代入得：0=x-2，
x=2，
即P的坐标是（2，0），
故选C．
4．C
【解析】解：在BC上截取，连接，如图，
∵是的平分线，∴∠ABD=∠CBD，
在△PBQ和中，
∴△△PBQ≌（SAS），
∴，
∴，
∴当A、P、三点共线且时，的值最小，
过点A作AF⊥BC于点F，则的最小值即为AF的长，
∵，
∴，
即的最小值为.
故选C.
5．A
【解析】最短总长度应该是：水库到A，再从A到B、D，然后从D到C，总长度为：4+5+3+4=16（km）．
故选A．
6．D
【解析】设P、B的距离为xkm，
如图1：
路程之和为PA+PC+PB=（AC+x）km；
如图2：
路程之和为PA+PC+PB=（AC+x）km；
综上所述：路程之和为=（AC+x）km，
当x=0时，路程之和为AC的长度，则加油站应建在B处．
故选D
7．A
【解析】当P点在线段AB的延长线上，则PA＋PB＝PB＋AB＋PB＝AB＋2PB；
当P点在线段AB的反向延长线上，则PA＋PB＝PA＋AB＋PB＝AB＋2PA；
当P点在线段AB上，则PA＋PB＝AB，
所以当P点在线段AB上时PA＋PB的值最小．
故选：A．
8．B
【解析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则此时的值最小．
易知，．
∵，，
∴．
故选：B.
9．7
【解析】解：∵垂直平分，
∴B，C关于直线对称．设交于点D，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是．
10．100
【解析】分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，
∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．
故答案为100．
11．（0，－）
【解析】如图，根据题意画出图形,找出点N关于y轴的对称点N’,连接MN’,与y轴交点为所求的点P,
因为N(1,
－1),所以N’(－1,
－1),设直线MN’的解析式为,把M(3,2),N(1,1)代入得:
,解得,所以,令x=0,求得y=,则点P坐标为(0,).
故答案为:
(0,).
12．60°
【解析】如图，因为点Ａ关于GH的对称点是F，所以连接BF交GH于点P，
则PA+PB=PF+PB=BF，
所以PA+PB的最小值是BF.
因为∠BAF=180°×(6-2)÷6=120°，AB=AF，
所以∠AFB=30°.
因为∠HGF=90°，
所以∠GPF=60°.
故答案为：60°.
13．见解析
【解析】如图，作点A关于x轴的对称点，再将点B向左平移3个单位得到点，连接，与x轴的交点即为点M，将向右平移3个单位得到点C，连接，与x轴的交点即为N．点M，N即为所求．
14．见解析
【解析】如图，作点A关于河岸的对称点C，连接交河岸于点P，点P就是桥的位置．
理由：两点之间，线段最短．
15．第一问：如图沿线段AD爬行；第二问取线段EJ的中点M，连结AM和MI，此路线为蚂蚁爬行的路线．
【解析】解：第一问：如图沿线段AD爬行；
第二问取线段EJ的中点M，连结AM和MI，此路线为蚂蚁爬行的路线．
理由都是：两点之间线段最短．
16．详见解析.
【解析】如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．
17．见解析
【解析】如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．
18．见解析
【解析】作法:(1)作M关于BC的对称点M’,
（2）连接M’N交BC于P点,
（3）连线MP,则△PMN周长最小,?P为所求作的点．
19．（1）CE=0.2千米；（2）步行路线应为A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A)，见解析.
【解析】（1）设CE长为x千米，则2.2＋1.4＋x＋1.2=2×(4－2×0.75)，解得：x=0.2（千米）．
（2）若步行路线为A→D→C→B→E→A（或A→E→B→C→D→A），则所用时间为：
（2.2＋1.4＋2＋0.6＋1.2）÷2＋3×0.75=5.95（小时）．
若步行路线为A→D→C→E→B→E→A（或A→E→B→E→C→D→A），则所用时间为：
（2.2＋1.4＋0.2＋0.6×2＋1.2）÷2＋3×0.75=5.35（小时）．
因为5.95＞5.35，所以步行路线应为A→D→C→E→B→E→A（或A→E→B→E→C→D→A）．
20．(1)
作图见解析.
(2)
76°.
【解析】(1)①作出点P关于AC、BC的对称点D、G.
②连接DG交AC、BC于点M、N.点M、N即为所求．
(2)设PD交AC于E，PG交BC于F，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C＋∠EPF＝180°.
∵∠C＝52°，∴∠EPF＝128°.
∵∠D＋∠G＋∠EPF＝180°，∴∠D＋∠G＝52°.
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN＋∠DPM＝52°，∴∠MPN＝128°－52°＝76°.
答案第1页，总2页
答案第1页，总2页
13.4最短路径问题
时间：60分钟，
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．已知线段AB和点C,D,且CA=CB,DA=DB,那么直线CD是线段AB的( )
A．垂线
B．平行线
C．垂直平分线
D．过中点的直线
3．如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（
）
A．（-2，0）
B．（0，0）
C．（2，0）
D．（4，0）
4．如图，中，，，，，是的平分线.若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（
）
A．
B．4
C．
D．5
5．为解决村庄灌溉问题，政府投资由水库向A，B，C，D这四个村庄铺设管道，现已知这四个村庄与水库以及村与村之间的距离(单位：km)如图所示，则把水库的水输送到这四个村庄铺设管道的总长度最短应是( )
A．16km
B．17km
C．18km
D．20km
6．A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在( )
A．在A的左侧
B．在AB之间
C．在BC之间
D．B处
7．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P的位置应在（ ）
A．线段AB上
B．线段AB的延长线上
C．线段AB的反向延长线上
D．直线l上
8．如图，，M，N分别是边上的定点，P，Q分别是边上的动点，记，当的值最小时，关于，的数量关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．如图，在中，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是________．
10．如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是_____°．
11.已知：如图所示，M（3，2），N（1，－1）．点P在y轴上使PM＋PN最短，则P点坐标为_________．
12．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．
三、解答题
13．已知，M，N是x轴上两动点（M在N左边），，请在x轴上画出当的值最小时，M，N两点的位置．
14．如图，在一条河的同岸有两个村庄A和B，两村要在河上合修一座桥，桥修在什么位置可以使两村到桥的距离之和最短？保留作图痕迹并说明理由．
15．如图，一个五棱柱的盒子(有盖)，有一只蚂蚁在A处发现一只虫子在D处，立刻赶去捕捉，你知道它怎样去的吗?请在图中画出它的爬行路线，如果虫子正沿着DI方向爬行，蚂蚁预想在点I处将它捕捉，应沿着什么方向?请在图中画出它的爬行路线.
16．如图所示，一只昆虫要从正方体的一个顶点A爬到相距它最远的另一个顶点B，哪条路径最短？说明理由．
17．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．
18．作图题：（写出作法，保留作图痕迹）
M、N为△ABC为AB、AC上的两个定点，请你在BC边上找一点P，使PMN周长最小？
19．如图所示的是某风景区的旅游路线示意图，其中B，C，D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为两相应点间的距离(单位：千米)．一位游客从A处出发，以2千米／时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为小时．
(1)当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了4小时，求CE的长；
(2)若此学生打算从A处出发，步行速度与景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，说明这样设计的理由．
20．如图，在△ABC的一边AB上有一点P.
(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；
(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数．
试卷第1页，总3页
参考答案
1．B
【解析】解：如图：
∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
∴当AC交EF于P时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为4，
故选：B.
2．C
【解析】解：根据线段垂直平分线的性质的逆定理，点C和D都在AB的垂直平分线上，那么直线CD是线段AB的垂直平分线．
故选C．
3．C
【解析】如图：
作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，则此时AP+PB最小，
即此时点P到点A和点B的距离之和最小，
∵A（-2，4），
∴C（-2，-4），
设直线CB的解析式是y=kx+b，
把C、B的坐标代入得：
，
解得：k=1，b=-2，
∴y=x-2，
把y=0代入得：0=x-2，
x=2，
即P的坐标是（2，0），
故选C．
4．C
【解析】解：在BC上截取，连接，如图，
∵是的平分线，∴∠ABD=∠CBD，
在△PBQ和中，
∴△△PBQ≌（SAS），
∴，
∴，
∴当A、P、三点共线且时，的值最小，
过点A作AF⊥BC于点F，则的最小值即为AF的长，
∵，
∴，
即的最小值为.
故选C.
5．A
【解析】最短总长度应该是：水库到A，再从A到B、D，然后从D到C，总长度为：4+5+3+4=16（km）．
故选A．
6．D
【解析】设P、B的距离为xkm，
如图1：
路程之和为PA+PC+PB=（AC+x）km；
如图2：
路程之和为PA+PC+PB=（AC+x）km；
综上所述：路程之和为=（AC+x）km，
当x=0时，路程之和为AC的长度，则加油站应建在B处．
故选D
7．A
【解析】当P点在线段AB的延长线上，则PA＋PB＝PB＋AB＋PB＝AB＋2PB；
当P点在线段AB的反向延长线上，则PA＋PB＝PA＋AB＋PB＝AB＋2PA；
当P点在线段AB上，则PA＋PB＝AB，
所以当P点在线段AB上时PA＋PB的值最小．
故选：A．
8．B
【解析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则此时的值最小．
易知，．
∵，，
∴．
故选：B.
9．7
【解析】解：∵垂直平分，
∴B，C关于直线对称．设交于点D，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值是．
10．100
【解析】分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，
∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．
故答案为100．
11．（0，－）
【解析】如图，根据题意画出图形,找出点N关于y轴的对称点N’,连接MN’,与y轴交点为所求的点P,
因为N(1,
－1),所以N’(－1,
－1),设直线MN’的解析式为,把M(3,2),N(1,1)代入得:
,解得,所以,令x=0,求得y=,则点P坐标为(0,).
故答案为:
(0,).
12．60°
【解析】如图，因为点Ａ关于GH的对称点是F，所以连接BF交GH于点P，
则PA+PB=PF+PB=BF，
所以PA+PB的最小值是BF.
因为∠BAF=180°×(6-2)÷6=120°，AB=AF，
所以∠AFB=30°.
因为∠HGF=90°，
所以∠GPF=60°.
故答案为：60°.
13．见解析
【解析】如图，作点A关于x轴的对称点，再将点B向左平移3个单位得到点，连接，与x轴的交点即为点M，将向右平移3个单位得到点C，连接，与x轴的交点即为N．点M，N即为所求．
14．见解析
【解析】如图，作点A关于河岸的对称点C，连接交河岸于点P，点P就是桥的位置．
理由：两点之间，线段最短．
15．第一问：如图沿线段AD爬行；第二问取线段EJ的中点M，连结AM和MI，此路线为蚂蚁爬行的路线．
【解析】解：第一问：如图沿线段AD爬行；
第二问取线段EJ的中点M，连结AM和MI，此路线为蚂蚁爬行的路线．
理由都是：两点之间线段最短．
16．详见解析.
【解析】如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．
17．见解析
【解析】如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．
18．见解析
【解析】作法:(1)作M关于BC的对称点M’,
（2）连接M’N交BC于P点,
（3）连线MP,则△PMN周长最小,?P为所求作的点．
19．（1）CE=0.2千米；（2）步行路线应为A→D→C→E→B→E→A(或A→E→B→E→C→D→A)，见解析.
【解析】（1）设CE长为x千米，则2.2＋1.4＋x＋1.2=2×(4－2×0.75)，解得：x=0.2（千米）．
（2）若步行路线为A→D→C→B→E→A（或A→E→B→C→D→A），则所用时间为：
（2.2＋1.4＋2＋0.6＋1.2）÷2＋3×0.75=5.95（小时）．
若步行路线为A→D→C→E→B→E→A（或A→E→B→E→C→D→A），则所用时间为：
（2.2＋1.4＋0.2＋0.6×2＋1.2）÷2＋3×0.75=5.35（小时）．
因为5.95＞5.35，所以步行路线应为A→D→C→E→B→E→A（或A→E→B→E→C→D→A）．
20．(1)
作图见解析.
(2)
76°.
【解析】(1)①作出点P关于AC、BC的对称点D、G.
②连接DG交AC、BC于点M、N.点M、N即为所求．
(2)设PD交AC于E，PG交BC于F，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C＋∠EPF＝180°.
∵∠C＝52°，∴∠EPF＝128°.
∵∠D＋∠G＋∠EPF＝180°，∴∠D＋∠G＝52°.
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN＋∠DPM＝52°，∴∠MPN＝128°－52°＝76°.
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