2021-2022学年八年级数学人教版上册13.3.1等腰三角形同步习题（word版、含解析）

2021-2022学年八年级数学上册同步（人教版）
13.3.1等腰三角形
时间：60分钟，
一、单选题
1．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（
）
A．10
B．17
C．13
D．13或17
2．如图，D在AC上，E在AB上，若AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，则∠A的度数为（　　）
A．60°
B．72°
C．45°
D．50°
3．如图，在中，，为边上的中线，，则的度数为（
）．
A．55°
B．65°
C．75°
D．45°
4．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D，满足△OPD是等腰三角形，那么∠ODP的度数为（　　）
A．30°
B．120°
C．30°或120°
D．30°或75°或120°
5．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=5，F是高AD和BE的交点，则BF的长(
)
A．7
B．6
C．5
D．4
6．如图，在△ABC中，
AB=AC，
∠A=36°
，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD
的角平分线，则图中的等腰三角形有
（
）
A．5个
B．1个
C．3个
D．2个
7．如果三角形二条边的中垂线的交点在第三条边上，那么，这个三角形是（
）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
8．等边△ABC，在平面内找一点P，使△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，具备这样条件的P点有多少个？（
）
A．1个
B．4个
C．7个
D．10个
二、填空题
9．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则△ABC是______________三角形．
10．如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，EG⊥CD于G，∠EFG＝45°，FG＝6cm，则AB与CD间的距离为_____cm．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为____度．
12．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC与∠ACD互补，CD=8，则BC的长为_____________．
13．如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里／时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC=84°，则从B处到灯塔C的距离_______．
14．在中，，的垂直平分线交于，交于，若的周长为10，，则______.
15．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，DC：AB=1：1.5，则AD：AB=_____.
16．一个等腰三角形的周长是44厘米，三边长度之比是，这个等腰三角形的底边长是_______厘米．
三、解答题
17．如图，在中，，为的中点，，，垂足为、，
求证：．
18．如图，已知：在中，点D、E在BC上，且，求的周长.
19．已知：如图，AC=BD，1=2．求证：AD∥BC．
20．如图，等腰梯形ABCD的上底，下底，底角，建立适当的平面直角坐标系，求出各顶点的坐标.
21．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：BD=2CE．
22．在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24㎝和30㎝的两个部分，求三角形的三边长．
23．如图，直线l1，l2交于点B，A是直线l1上的点，在直线l2上寻找一点C，使△ABC是等腰三角形，请画出所有的等腰三角形．
24．等腰△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝72°，
（1）如图1，若BD⊥AC于D，求∠ABD的度数；
（2）如图2，若CE平分∠ACB，求证：AE＝BC．
试卷第1页，总3页
参考答案
1．B
【解析】解：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，
∵3+3=6＜7，
所以不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有17．
故选：B．
2．C
【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
又∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠C，
∵∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，∠DBC＋∠C＋∠BDC＝180°，
∴∠DBC＝∠A，
∵AD＝DE＝EB，
∴∠A＝∠AED，∠EDB＝∠EBD，
∴∠A＝2∠DBE，即∠ABC＝3∠DBE，
∵∠A＋2∠C＝180°，
∴2∠DBE＋2∠ABC＝180°，
∴2∠DBE＋2×（3∠DBE）＝180°，
即8∠DBE＝180°，
∴∠A＝2∠DBE＝45°．
故选：C．
3．B
【解析】∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B=25°，
∴∠BAD=65°，
故选：B．
4．D
【解析】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝30°，
①当D在D1时，OD＝PD，
∵∠AOP＝∠OPD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当D在D2点时，OP＝OD，
则∠OPD＝∠ODP＝（180°﹣30°）＝75°；
③当D在D3时，OP＝DP，
则∠ODP＝∠AOP＝30°；
综上所述：120°或75°或30°，
故选：D．
5．C
【解析】∵AD、BE是高，
∴∠ADC=∠BDF=90°，∠BEC=90°，
∴∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDF中
，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AC=5，
∴BF=5，
故选C．
6．A
【解析】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，
∴∠DBC＝∠BCE，∠CED＝∠DBC+∠BCE＝36°+36°＝72°，
∠A＝∠ABD，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴△EBC、△ABD是等腰三角形；
∠BDC＝∠BCD，∠CED＝∠CDE，
∴△BCD、△CDE是等腰三角形，
∴图中的等腰三角形有5个．
故选：A．
7．A
【解析】如图，CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE相交于点O，且点O落在AB边上，
连接CO，
∵OD是AC的垂直平分线，
∴OC=OA，∠A=∠ACO，
同理OC=OB，∠B=∠BCO，
∵∠A+∠ACO+∠B+∠BCO=180，
∴∠ACO
+∠BCO=180=90，
∴∠C是直角．
故选：A．
8．D
【解析】解：由点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，
可知P点为等边△ABC的垂心；
因为△ABC是等边三角形，所以分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，交垂直平分线的交点就是满足要求的，
每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．
故选D．
9．等腰
【解析】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，
∴∠B=180°－∠A－∠C=70°
∴∠B=∠C
∴△ABC为等腰三角形
故答案为：等腰．
10．6．
【解析】解：∵EG⊥CD，∴∠EGF=90°，
∵∠EFG=45°，∴∠FEG=45°，
∴∠EFG=∠FEG
，∴FG=EG，
∵FG=6cm，∴EG=6cm，
∴AB与CD间的距离为6cm．
故答案为6．
11．27
【解析】∵AB=AC，∠A=42°，
∴∠ABC=∠C=69°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=42°，
∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=27°，
故答案为：27．
12．16
【解析】解：延长AB交CD的延长线于点E，如图所示：
∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，
∴∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC=90°，
∵AD=AD，
∴△ADE≌△ADC，
∴∠E=∠ACD，ED=DC，
又∵∠ABC+∠ACD=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠E=∠ACD=∠EBC，
∴BC=EC=2DC，
∵DC=8，
∴BC=EC=16；
故答案为16．
13．30海里
【解析】根据题意得：AB=2×15=30(海里)，
∵∠NAC=42°,∠NBC=84°，
∴∠C=∠NBC?∠NAC=42°，
∴∠C=∠NAC，
∴BC=AB=30海里．
即从海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故答案为30海里.
14．4
【解析】∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，
∴EA=EC，
∵△ABE的周长为10，BC=6，
∴AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=10，
∴AB=AC=4，
故答案为4.
15．1：1.5
【解析】解：∵AB∥CD
∴∠DCA=∠CAB
∵AC平分∠DAB
∴∠CAB=∠CAD
=∠DCA
∴AD
=
CD
∵DC∶AB=1∶1.5
∴AD∶AB=1∶1.5
16．20
【解析】由题意，设这个等腰三角形的三边长度分别为厘米、厘米、厘米，
则，
解得，
则这个等腰三角形的底边长是（厘米），
故答案为：20．
17．见解析
【解析】解：，
，
，，
，
为的中点，
，
在与中
，
≌，
∴．
18．10cm.
【解析】∵∠1=∠B，∠2=∠C，
∴BD=AD，AE=CE，
∵△ADE的周长=AD+DE+AE，
∴△ADE的周长=BD+DE+CE=BC=10cm.
19．见解析
【解析】证明:
因为1=2．
所以OB=OC．
因为AC=BD．
所以OA=OD．
所以∠OAD=∠ODA．
因为1+2+∠BOC=180°．
∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°．
∠BOC=∠AOD．
所以1+2=∠OAD+∠ODA．
所以21=2∠ODA．
即1=∠ODA．
所以AD∥BC．
20．见解析，A(0,1),B(?1,0),C(3,0),D(2,1).
【解析】作AE⊥BC，DF⊥BC分别与E，F，则EF=AD=2，BE=CF=1，
直角△ABE中,∠B=45°，则其为等腰直角三角形，因而AE=BE=1，CE=3.
以BC所在的直线为x轴，由B向C的方向为正方向，AE所在的直线为y轴，由E向A的方向为正方向建立坐标系，
则A(0,1),B(?1,0),C(3,0),D(2,1).
21．见解析
【解析】∵BE平分∠FBC，BE⊥CF，
∴BF=BC，CE=EF，
∴CF=2CE，
∵∠BAC=90°，且AB=AC，
∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠FBE=∠CBE=22.5°，
∴∠F=∠ADB=67.5°，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD=CF，
∴BD=2CE．
22．16cm，16
cm，22
cm或20
cm，20
cm，14
cm.
【解析】解：如图所示
设三角形的腰AB=AC=x
cm，分两种情况讨论：
（1）若AB+AD=24cm，则
x+
x=24
∴x=16
∵三角形的周长为24+30=54cm
所以三边长分别为16cm，16
cm，22
cm
（2）若AB+AD=30cm
，则
x+
x=30
∴x=20
∵三角形的周长为24+30=54cm
∴三边长分别为20
cm，20
cm，14
cm
因此，三角形的三边长为16
cm，16
cm，22
cm或20
cm，20
cm，14
cm．
23．4个
【解析】具体作法如下,如图，
（1）当以线段AB为腰时,点A为顶点时,可以以点A为圆心,线段AB为半径画圆,圆与直线l2
的交点即为点C,此时有1个,
（2）当以线段AB为腰时,点B为顶点时,可以以点B为圆心,线段BA为半径画圆,圆与直线l2
的交点即为点C,此时有2个,
（3）当以线段AB为底边,可以作线段AB的垂直平分线,线段垂直平分线与直线l2
的交点即为点C,此时有1个.
故共有4个满足题意的等腰三角形.
24．（1）∠ABD＝54°；（2）见解析
【解析】解：∵等腰中，，，
∴，．
（1）∵于D，∴，
∴；
（2）∵CE平分∠ACB，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∴，
∴．
答案第1页，总2页
答案第1页，总2页