2021-2022学年八年级数学人教版上册13.1.2线段的垂直平分线的性质同步习题（word版、含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年八年级数学人教版上册13.1.2线段的垂直平分线的性质同步习题（word版、含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 308.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-21 14:27:34 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022学年八年级数学上册同步（人教版）
13.1.2线段的垂直平分线的性质-
时间：60分钟，
一、单选题
1．在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（
）
A．三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点
D．三边上高所在直线的交点
2．已知在△ABC中，点P在三角形内部，点P到三个顶点的距离相等，则点P是（
）
A．三条角平分线的交点
B．三条高线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边垂直平分线的交点
3．如图，
是中边的垂直平分线，若厘米，
厘米，则的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
4．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
5．如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（
）
A．的三边高线的交点处
B．的三角平分线的交点处
C．的三边中线的交点处
D．的三边中垂线线的交点处
6．如图，中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，的周长为9cm，则的周长是（
）
A．12cm
B．15cm
C．21cm
D．18cm
7．用直尺和圆规作一个直角三角形斜边上的高，作图错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（ ）
A．???????
B．???????
C．???????
D．
二、填空题
9．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．
10．和线段AB两个端点距离相等的轨迹是__________________．
11．如图，ED为△ABC的边AC的垂直平分线，且AB＝5，△BCE的周长为8，则BC＝________．
12．已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上．
13．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为________cm．
14．在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线交BC边于点E.若∠B
=15°，则∠CAE=______°．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，则MN的长为______cm．
三、解答题
16．如图所示，村庄，分别在笔直公路的两侧．一辆汽车在公路上行驶，汽车在什么位置时到，两村庄的距离相等？请找出这个点，并说明理由．
17．如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于点E,CE的垂直平分线正好经过点B,与AC相交于点F,连接BE,求∠A的度数.
18．如图所示，在中，根据要求解题．
（1）用量角器量出______________．
（2）用直尺和圆规画出的平分线．
（3）用直尺和圆规画线段的垂直平分线．
19．如图，平面上两点C、D在直线AB的同侧，按下述要求画图并填空：
（1）画直线AC；
（2）画射线CD；
（3）过点D画直线DE∥AC，交直线AB于点E；
（4）过点D画直线DF⊥AB，垂足为F；
（5）点D到直线AB的距离是线段
的长．
20．已知：如图，△ABC中∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若AC＝24，BC＝10，求AE的长．
21．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为点C和点D，AC与BD交于点O，AC＝BD，点E是AB的中点，连接OE．
（1）求证：BC=AD；
（2）求证：线段OE所在的直线是AB的垂直平分线．
22．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
23．如图，在中，，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若，．
求的度数；
求AC的长度．
试卷第1页，总3页
参考答案
1．C
【解析】解：为使游戏公平，凳子应到点A、B、C的距离相等
根据线段垂直平分线的性质，则凳子应放的最适当的位置是在的三边中垂线的交点
故选C．
2．D
【解析】解：∵在△ABC中，三角形内部的点P到三个顶点的距离相等，
∴点P是三条边垂直平分线的交点，
故选：D．
3．B
【解析】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴AB=AE+BE＝CE+BE＝10，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝10厘米+8厘米＝18厘米，
故选：B．
4．C
【解析】如图：
由已知得OA=OB=OC，
∵点到两个顶点的距离相等，OA=OB，
∴这点O在这线段AB的垂直平分线上，
∵OB=OC，
∴这点O在这线段BC的垂直平分线上，
又∵OA=OC，
∴点O在这线段AC的垂直平分线上，
∴这个点O在三角形三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
5．D
【解析】解：根据三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，可知猫应该蹲守在△ABC三边的中垂线的交点上．
故选：D．
6．B
【解析】解：由DE是边AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=BE，
由△ADC的周长为9cm，
∴AC+BC=9，
∵AE=3，
∴AB=6，
∴△ABC的周长是15cm，
故选：B．
7．B
【解析】A、D选项通过作线段的垂直平分线得到斜边上的高，C选项通过作90度的圆周角得到斜边上的高．故选B．
8．C
【解析】1．以AB为圆心，大于AB为半径作弧相交于E、F，
2．过EF作直线即为AB的垂直平分线．
故选C．
9．56．
【解析】如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF=∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-34°=56°，
∴∠α=56°．
故答案为：56.
10．线段AB的垂直平分线
【解析】到线段AB两个端点的距离相等的点的轨迹是线段AB的垂直平分线，
故答案为：线段AB的垂直平分线．
11．3
【解析】解：∵ED垂直平分AC,
∴AE=CE,
∴△BCE周长CE+BE+BC=AE+EB+BC=AB+BC,
∵AB=5,△BCE周长=8，
∴BC=8-5=3.
12．线段AB的垂直平分线
【解析】因为PA=PB=3cm，
所以P点一定在线段AB的垂直平分线上．
故答案为：线段AB的垂直平分线．
13．24
【解析】∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=CD,AE=EC=5cm,
∴AC=10cm
∵△ABD的周长为14cm
∴AB+BD+AD=14，
△ABC的周长为AB+BC+AC=
AB+
BD+
CD+AC=
AB+BD+AD+AC=14+10=24cm.
14．60°
【解析】∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠EAB=∠B，
∵∠B=15°，
∴∠EAB=15°，
∴∠AEC=∠B+∠EAB=15°+15°=30°，
∴∠EAC=90°-30°=60°，
故答案为：60°．
15．3
【解析】连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，
∵BC=9cm，∴MN=3cm．
故答案为3cm．
16．位置见解析，理由见解析
【解析】如图，连接，作线段的垂直平分线，且交公路与点，点即为所求，
理由：∵点C是线段AB垂直平分线上的点，
∴CA=CB．
17．36°
【解析】解：连接BE,
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE
∴∠A=∠ABE，
设∠A=∠ABE=x，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=2x，
∵CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点可知△BCE是等腰三角形，
∴∠BEC=∠C=2x,
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=2x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠A=180°，即2x+2x+x=180°,解得x=36°，
∴∠A=36°．
18．（1）110°（2）见解析（3）见解析
【解析】（1）用量角器量得110°，
故答案为：110°
（2）如图，BC为所求；
（3）如图，MN为所求．
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）DF
【解析】解：（1）直线AC如图所示．
（2）射线CD如图所示．
（3）直线DE如图所示．
（4）直线DF如图所示．
（5）线段DF的长是点D到直线AB的距离．
故答案为DF．
20．（1）见解析；（2）AE＝7
【解析】解：（1）连接AD
∵∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC
∴DE=DF，DA=DB
∴Rt△ADE≌Rt△BDF
∴AE＝BF；
（2）∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD
∵DE⊥AC，DF⊥BC
∴∠CED=∠CFD=90°
∴∠CDE=90°－∠ACD=90°－∠BCD=∠CDF
∴CE=CF
∴AC－AE=BC＋BF
∴24－AE=10＋AE
解得：AE=7
21．（1）见解析；（2）见解析
【解析】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠D＝∠C＝90°，
∵AC＝BD，AB＝BA，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA，
∴BC＝AD；
（2）∵∠D＝∠C＝90°，∠AOD＝∠BOC，BC＝AD，
∴△ADO≌△BCO，
∴AO=BO，
∴点O在AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴点E在AB的垂直平分线上，
∴线段OE所在的直线是AB的垂直平分线．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1），
，
点E是CD的中点，
，
在和中，，
，
；
（2）由（1）已证：，
，
又，
是线段AF的垂直平分线，
，
由（1）可知，，
．
23．（1）（2）6
【解析】垂直平分AB，
，
，
；
，，
，
，
．
．
答案第1页，总2页
答案第1页，总2页
13.1.2线段的垂直平分线的性质-
时间：60分钟，
一、单选题
1．在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（
）
A．三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点
D．三边上高所在直线的交点
2．已知在△ABC中，点P在三角形内部，点P到三个顶点的距离相等，则点P是（
）
A．三条角平分线的交点
B．三条高线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边垂直平分线的交点
3．如图，
是中边的垂直平分线，若厘米，
厘米，则的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
4．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
5．如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（
）
A．的三边高线的交点处
B．的三角平分线的交点处
C．的三边中线的交点处
D．的三边中垂线线的交点处
6．如图，中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，的周长为9cm，则的周长是（
）
A．12cm
B．15cm
C．21cm
D．18cm
7．用直尺和圆规作一个直角三角形斜边上的高，作图错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（ ）
A．???????
B．???????
C．???????
D．
二、填空题
9．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．
10．和线段AB两个端点距离相等的轨迹是__________________．
11．如图，ED为△ABC的边AC的垂直平分线，且AB＝5，△BCE的周长为8，则BC＝________．
12．已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上．
13．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为________cm．
14．在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线交BC边于点E.若∠B
=15°，则∠CAE=______°．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，则MN的长为______cm．
三、解答题
16．如图所示，村庄，分别在笔直公路的两侧．一辆汽车在公路上行驶，汽车在什么位置时到，两村庄的距离相等？请找出这个点，并说明理由．
17．如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交AC于点E,CE的垂直平分线正好经过点B,与AC相交于点F,连接BE,求∠A的度数.
18．如图所示，在中，根据要求解题．
（1）用量角器量出______________．
（2）用直尺和圆规画出的平分线．
（3）用直尺和圆规画线段的垂直平分线．
19．如图，平面上两点C、D在直线AB的同侧，按下述要求画图并填空：
（1）画直线AC；
（2）画射线CD；
（3）过点D画直线DE∥AC，交直线AB于点E；
（4）过点D画直线DF⊥AB，垂足为F；
（5）点D到直线AB的距离是线段
的长．
20．已知：如图，△ABC中∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）若AC＝24，BC＝10，求AE的长．
21．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为点C和点D，AC与BD交于点O，AC＝BD，点E是AB的中点，连接OE．
（1）求证：BC=AD；
（2）求证：线段OE所在的直线是AB的垂直平分线．
22．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
23．如图，在中，，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若，．
求的度数；
求AC的长度．
试卷第1页，总3页
参考答案
1．C
【解析】解：为使游戏公平，凳子应到点A、B、C的距离相等
根据线段垂直平分线的性质，则凳子应放的最适当的位置是在的三边中垂线的交点
故选C．
2．D
【解析】解：∵在△ABC中，三角形内部的点P到三个顶点的距离相等，
∴点P是三条边垂直平分线的交点，
故选：D．
3．B
【解析】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴AB=AE+BE＝CE+BE＝10，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝10厘米+8厘米＝18厘米，
故选：B．
4．C
【解析】如图：
由已知得OA=OB=OC，
∵点到两个顶点的距离相等，OA=OB，
∴这点O在这线段AB的垂直平分线上，
∵OB=OC，
∴这点O在这线段BC的垂直平分线上，
又∵OA=OC，
∴点O在这线段AC的垂直平分线上，
∴这个点O在三角形三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
5．D
【解析】解：根据三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，可知猫应该蹲守在△ABC三边的中垂线的交点上．
故选：D．
6．B
【解析】解：由DE是边AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=BE，
由△ADC的周长为9cm，
∴AC+BC=9，
∵AE=3，
∴AB=6，
∴△ABC的周长是15cm，
故选：B．
7．B
【解析】A、D选项通过作线段的垂直平分线得到斜边上的高，C选项通过作90度的圆周角得到斜边上的高．故选B．
8．C
【解析】1．以AB为圆心，大于AB为半径作弧相交于E、F，
2．过EF作直线即为AB的垂直平分线．
故选C．
9．56．
【解析】如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF=∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-34°=56°，
∴∠α=56°．
故答案为：56.
10．线段AB的垂直平分线
【解析】到线段AB两个端点的距离相等的点的轨迹是线段AB的垂直平分线，
故答案为：线段AB的垂直平分线．
11．3
【解析】解：∵ED垂直平分AC,
∴AE=CE,
∴△BCE周长CE+BE+BC=AE+EB+BC=AB+BC,
∵AB=5,△BCE周长=8，
∴BC=8-5=3.
12．线段AB的垂直平分线
【解析】因为PA=PB=3cm，
所以P点一定在线段AB的垂直平分线上．
故答案为：线段AB的垂直平分线．
13．24
【解析】∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=CD,AE=EC=5cm,
∴AC=10cm
∵△ABD的周长为14cm
∴AB+BD+AD=14，
△ABC的周长为AB+BC+AC=
AB+
BD+
CD+AC=
AB+BD+AD+AC=14+10=24cm.
14．60°
【解析】∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠EAB=∠B，
∵∠B=15°，
∴∠EAB=15°，
∴∠AEC=∠B+∠EAB=15°+15°=30°，
∴∠EAC=90°-30°=60°，
故答案为：60°．
15．3
【解析】连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，
∵BC=9cm，∴MN=3cm．
故答案为3cm．
16．位置见解析，理由见解析
【解析】如图，连接，作线段的垂直平分线，且交公路与点，点即为所求，
理由：∵点C是线段AB垂直平分线上的点，
∴CA=CB．
17．36°
【解析】解：连接BE,
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE
∴∠A=∠ABE，
设∠A=∠ABE=x，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=2x，
∵CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点可知△BCE是等腰三角形，
∴∠BEC=∠C=2x,
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=2x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠A=180°，即2x+2x+x=180°,解得x=36°，
∴∠A=36°．
18．（1）110°（2）见解析（3）见解析
【解析】（1）用量角器量得110°，
故答案为：110°
（2）如图，BC为所求；
（3）如图，MN为所求．
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）DF
【解析】解：（1）直线AC如图所示．
（2）射线CD如图所示．
（3）直线DE如图所示．
（4）直线DF如图所示．
（5）线段DF的长是点D到直线AB的距离．
故答案为DF．
20．（1）见解析；（2）AE＝7
【解析】解：（1）连接AD
∵∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC
∴DE=DF，DA=DB
∴Rt△ADE≌Rt△BDF
∴AE＝BF；
（2）∵CD平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD
∵DE⊥AC，DF⊥BC
∴∠CED=∠CFD=90°
∴∠CDE=90°－∠ACD=90°－∠BCD=∠CDF
∴CE=CF
∴AC－AE=BC＋BF
∴24－AE=10＋AE
解得：AE=7
21．（1）见解析；（2）见解析
【解析】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠D＝∠C＝90°，
∵AC＝BD，AB＝BA，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA，
∴BC＝AD；
（2）∵∠D＝∠C＝90°，∠AOD＝∠BOC，BC＝AD，
∴△ADO≌△BCO，
∴AO=BO，
∴点O在AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴点E在AB的垂直平分线上，
∴线段OE所在的直线是AB的垂直平分线．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1），
，
点E是CD的中点，
，
在和中，，
，
；
（2）由（1）已证：，
，
又，
是线段AF的垂直平分线，
，
由（1）可知，，
．
23．（1）（2）6
【解析】垂直平分AB，
，
，
；
，，
，
，
．
．
答案第1页，总2页
答案第1页，总2页