上海市上海高级中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

上海市上海中学2020-2021学年第二学期高一数学
期末试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．
1.
与平行
的单位向量的坐标为__________．
2.
在空间，与边长均为3cm的的三个顶点距离均为1cm的平面共有
.
3.
若，则__________．
4.
关于的实系数一元二次方程的一根为，则__________．
5.
设复数，是实数，则，满足条件___________．
6.
已知向量，不共线，实数，满足，则的值为__________．
7.
已知，则的取值范围是__________．
8.
已知，方程的解为___________．
9.
已知直线，垂直，直线与所成角为，则与所成角的范围是___________．
10.
平行六面体的棱长均为2，，且底面，则对角线与侧面所成角的正弦值为___________．
11.
已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值与最大值的和______.
12.
空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，则该角度可能取值有__________种．
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.
下列说法正确的有（
）
（1）空间四边形的对角线一定不相交；（2）四个角都是直角的四边形一定是平面图形；（3）在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面．
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
14.
四面体的四个面中，直角三角形最多可有（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
15.
动点P满足（），动点P一定会过ΔABC的（
）
A.
内心
B.
垂心
C.
重心
D.
外心
16.
在四面体中，，与直线，均垂直，且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点，则其爬过的路程最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17.
在平面直角坐标系中，向量，，．若，求值．
18.
空间四边形中，，是边上的高，是的边上的中线，求证：和是异面直线．
19.
在边，上分别取点，，使得，，设线段与交于点，记，，用，表示向量．
20.
如图1，在中，，，分别为，的中点，点是线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2．
（1）证明：；
（2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出值；若不存在，说明理由．
21.
设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量．
（1）已知，，求；
（2）对于复平面中不共线的三点，，，设，，，求；
（3）设，，的向量分别为，，，已知，，，求的坐标（结果用，，表示）．
上海市上海中学2020-2021学年第二学期高一数学
期末试卷
答案版
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．
1.
与平行
的单位向量的坐标为__________．
答案：
2.
在空间，与边长均为3cm的的三个顶点距离均为1cm的平面共有
.
答案：8
3.
若，则__________．
答案：
4.
关于的实系数一元二次方程的一根为，则__________．
答案：
5.
设复数，是实数，则，满足条件___________．
答案：且
6.
已知向量，不共线，实数，满足，则的值为__________．
答案：1
7.
已知，则的取值范围是__________．
答案：
8.
已知，方程的解为___________．
答案：或
9.
已知直线，垂直，直线与所成角为，则与所成角的范围是___________．
答案：
10.
平行六面体的棱长均为2，，且底面，则对角线与侧面所成角的正弦值为___________．
答案：
11.
已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值与最大值的和______.
答案：
12.
空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，则该角度可能取值有__________种．
答案：2
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.
下列说法正确的有（
）
（1）空间四边形的对角线一定不相交；（2）四个角都是直角的四边形一定是平面图形；（3）在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面．
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
答案：C
14.
四面体的四个面中，直角三角形最多可有（
）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
答案：D
15.
动点P满足（），动点P一定会过ΔABC的（
）
A.
内心
B.
垂心
C.
重心
D.
外心
答案：C
16.
在四面体中，，与直线，均垂直，且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点，则其爬过的路程最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
答案：A
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17.
在平面直角坐标系中，向量，，．若，求值．
答案：
18.
空间四边形中，，是边上的高，是的边上的中线，求证：和是异面直线．
答案：证明见解析
19.
在边，上分别取点，，使得，，设线段与交于点，记，，用，表示向量．
答案：
20.
如图1，在中，，，分别为，的中点，点是线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2．
（1）证明：；
（2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出值；若不存在，说明理由．
答案：（1）证明见解析；（2）存在，．
21.
设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量．
（1）已知，，求；
（2）对于复平面中不共线的三点，，，设，，，求；
（3）设，，的向量分别为，，，已知，，，求的坐标（结果用，，表示）．
答案：（1）；（2）；（3）．