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2019级高三上期第一周考理数答案
C
2．D
3.C
4.C
5.A
6.B
7.B
8．A
9.D
10.A
11.
D
12.D
13.
-8
14.
0
15.
4
16.
①②
17.解：（1）设数列的公比为
由题意知：
①
②
又
（2）
令数列的前n项和为
则
18.解：（1）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+＝cos2x+，
由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，解得k，
当k＝0时，0，可得f（x）的单调递减区间为[0，]，
（2）在△ABC中，A，B角的对边分别为a＝2，b＝4，
若f（A）＝0，则f（A）＝cos2A+＝0，解得2A＝，即A＝，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣4c﹣4＝0，
解得，c＝2（1+）或c＝2（1﹣）（舍去），
所以三角形的面积为s＝＝＝2（）．
19.【解析】（1）如图，连接，交于点，连接，
由于四边形是平行四边形，所以是的中点．
因为是的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）如图，取的中点，连接，，
根据和都是正三角形，得，．
又平面平面，平面平面，所以平面，于是．
以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设，则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．
设平面的法向量，则，即，令，则，，所以．
设二面角的大小为，由图易知为锐角，
则，
因此二面角的余弦值为．
20.解：（1）方程f（x）＝x+m有实根，即log2（2x+1）﹣x与函数y＝m图象有交点．
令g（x）＝log2（2x+1）﹣x＝log2＝log2（1+）．
可得g（x）在R上是单调减函数，1+＞1，
∴g（x）＞0，
∴m＞0．m的取值范围是（0，+∞）．
（2）h（x）＝2f（x）﹣a?
h（x）＝2x+1﹣2a?＝（）2﹣2a+1
设＝t，∵x∈[0，4]，则1≤t≤4，
那么h（x）转化为k（t）＝t2﹣2at+1．t∈[1，4]；
其对称轴t＝a，开口向上，
当a≤时，最大值为k（x）max＝k（4）＝16﹣8a+1＝0，可得a＝；
当a＞时，最大值为k（x）max＝k（1）＝1﹣2a+1＝0，可得a＝1（舍去）
综上可得：当a＝时，函数h（x）的最大值为0．
21.解：（1）函数的定义域为
．
(1)当时
在上单调递减
(2)当时，令则
若时，f'（x）＜0若，f'（x）＞0．
在上单调递减；在上单调递增
故：当时在上单调递减
当时函数在上单调递减，在上单调递增。
（2）当x≥1时，f（x）≤lnx等价于﹣ax≤lnx，即lnx﹣+ax≥0．（
）
令g（x）＝lnx﹣+ax（a＞0），则g′（x）＝++a＞0，
∴函数g（x）在[1，+∞）上单调递增．
∴g（x）≥g（1）＝﹣+a．
要使（
）成立，则﹣+a≥0，得a≥．
故的取值范围为．
22.解：（1）由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，
又ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x＝0；
（2）∵点M的极坐标为（1，），
∴点M的直角坐标为（0，1），
将（t为参数）代入x2+y2﹣2x＝0，
得，
整理得：．
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
则，t1t2＝1，可得t1，t2
同号，
∴|MA|+|MB|＝|t1|+|t2|＝﹣（t1+t2）＝．
23.解：（Ⅰ），
又因为，所以，
当
时，（舍去），
当
时，
成立，
当
（舍去），
所以．
（Ⅱ）设集合M中元素的最大值为t＝2．即．
又因为
≥，
当且仅当，，时取等，
所以的最小值为．
答案第2页，总2页
答案第1页，总1页天立2019级高三上期第一次周考数学试题（理）
（满分
150
分，时间：120
分钟）
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用
2B
铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．若，则下列不等式一定正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3.
在同一坐标系中，函数与的图像都正确的是（
）
已知等差数列满足，，则它的前10项的和（
）
A．138
B．135
C．95
D．23
5.已知命题p：对任意x∈R，总有3x＞0；命题q：“x＞2”是“x＞﹣4”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．￢p∧￢q
C．￢p∧q
D．p∧￢q
6.下列函数在为单调递增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
7.
已知函数，，，．下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．若，满足约束条件，则的最大值为（
）
A．2
B．3
C．1
D．-1
9．曲线在x＝1处的切线的倾斜角为α，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若函数f（x）＝cos（2x+φ）（0＜φ＜π）在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则φ的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11.
已知点G是△ABC的重心，若∠A＝120°，，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A．（0，1]
B．（1，+∞）
C．（0，）
D．[1，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
已知向量，，则m＝
.
14.
已知定义在R上的奇函数满足，则
.
15．如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知∠ADC＝90°，
∠A＝60°，AB＝2，，，则BC的长为
.
函数的导函数为，若对于定义域内任意，，有恒成立，则称为恒均变函数．给出下列函数：①；②；③；④；
⑤．其中为恒均变函数的序号是
.（写出所有满足条件的函数的序号）
解答题：共
70
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17-21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第
22，23
题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：60
分．
17、等比数列的各项均为正数，且，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
18．已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+（x∈（0，π））．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）在锐角△ABC中，角A所对边a＝2，角B所对边b＝4，若f（A）＝0，求△ABC的面积．
19．（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．已知函数．
（l）若关于的方程有实根，求实数的取值范围；
（2）若函数，则是否存在实数，使得函数的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若且时，，求的取值范围．
(二)选考题：共
10
分．请在第
22，23
题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线1：（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设点M的极坐标为（1，），直线1与曲线C的交点为A，B，求|MA|+|MB|的值．
已知不等式的解集为M．
（Ⅰ）求集合M；
（Ⅱ）设集合M中元素的最大值为t．若a＞0，b＞0，c＞0，满足，求的最小值．
