2021—2022学年人教版数学九年级上册第22章二次函数复习课件（42张PPT）

(共42张PPT)
第
22
章
二次函数
Quadratic
Function
回顾：正比例函数和一次函数
我们学过哪些函数？
一次函数
形如
与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为
当时，
随的增大而增大；
当时，
随的增大而减小；
当时，函数图像与轴交于正半轴；
当时，函数图像与轴交于负半轴；
当时，函数图像过原点，是个正比例函数。
解析式的确定：待定系数法（设、代、解，得，验）
平移：上加下减、左加右减
引入：
个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。比赛的场次数与球队数有什么关系？
每个队要与其他个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛
所以比赛的场次数
即
像上式这样，比赛的场次数与球队数的关系，对于的每一个值，
都有一个对应值，那么我们说，是的函数。
22.1
二次函数的图像和性质
22.1
二次函数的图像和性质
定义：形如的函数。其中，是自变量，
分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
注意：每项的系数包括它前面的符号
那么，这个函数的图像是怎么样的呢？
跟其他函数一样，我们可以通过「描点法」来粗略地画出二次函数的图像。以为例：
22.1
二次函数的图像和性质
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
22.1
二次函数的图像和性质
我们描出上述点，再用平滑的曲线连接这些点后，不难发现，二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上。这条曲线叫做抛物线。
实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下。
22.1
二次函数的图像和性质
还可以看出，轴是抛物线的对称轴，抛物线与它的对称轴的交点(0，0)叫做抛物线的顶点，它是抛物线的最低点。实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。顶点是抛物线的最低点或最高点。
22.1
二次函数的图像和性质
从二次函数的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升。
也就是说，当时，
随的增大而减小；当时，
随的增大而增大。
22.1
二次函数的图像和性质
我们已经知道的图象，那么的图像与有何异同呢？
一般地，当时，抛物线的开口向上，对称轴是轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，
越大，抛物线的开口越小。类似地，我们可以研究当时，二次函数的图象和性质.
22.1
二次函数的图像和性质
一般地，当时，抛物线的开口向下，对称轴是轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，
越大，抛物线的开口越小。
22.1
二次函数的图像和性质
的图像我们已经了解了，在之前学习其他函数的时候，我们学习了函数的平移：「上加下减，左加右减」，这个口诀对二次函数一样适用。
首先我们先来对他进行上下平移，试着用描点法画出和的图像。
可以看出，把向上平移个单位长度，就得到抛物线；把抛物线向下平移个单位长度，就得到抛物线。
22.1
二次函数的图像和性质
，对它进行左右平移呢？
试着画出和的图像。
可以看出，把向左平移个单位长度，就得到；把向右平移个单位长度，就得到抛物线。
他们的开口都向下，其中的对称轴是，顶点是；
的对称轴是，顶点是。
22.1
二次函数的图像和性质
归纳：通过上面的几种变形我们发现，
与的形状相同，但是位置不同，把进行平移后，就可以得到抛物线
。
抛物线
有如下特点
开口方向：当，开口向上；当时，开口向下
对称轴：
顶点：
增减性：
1、若，当时，
随增大而减小，当时，
随增大而增大；
2、若，当时，
随增大而增大，当时，
随增大而减小。
22.1
二次函数的图像和性质
例1：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
[解析]
如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系。
点是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是
∵抛物线经过点，可得
解得
因此
当时，
也就是说，水管应2.25m长。
22.1
二次函数的图像和性质
我们知道，二次函数解析式中一般式是，刚刚研究的都是顶点式：的函数图像，那么他们之间有什么联系呢？
事实上，我们可以把通过配方法化成的形式，即
因此，抛物线的对称轴是，顶点是。
22.1
二次函数的图像和性质
如图所示，从二次函数的图像可以看出：
若，当时，
随增大而减小，当时，
随增大而增大；
若，当时，
随增大而增大，当时，
随增大而减小。
22.1
二次函数的图像和性质
二次函数解析式归纳：
一般式：
顶点式：
22.1
二次函数的图像和性质
例2：分别写出抛物线与的开口方向、对称轴和顶点。
[答案]
开口方向
对称轴
顶点
向上
或轴
向下
或轴
22.1
二次函数的图像和性质
例3：分别写出抛物线、、
的开口方向、对称轴和顶点。
[答案]
开口方向
对称轴
顶点
向上
或轴
向下
向上
22.1
二次函数的图像和性质
我们之前学过一次函数解析式的确定，已知两点就可以确定一条直线的解析式。那么，二次函数的解析式该如何确定呢？
确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式，需求出，的值。用待定系数法，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于，的二元一次方程组就可以求出的值。
类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式，需求出的值。由不共线三点（三点不在同一直线上）的坐标，列出关于的三元一次方程组就可以求出的值。
22.1
二次函数的图像和性质
例4：已知抛物线过三点，求该抛物线的函数解析式。
[解析]
因为抛物线过三点，所以可以得到关于阿的三元一次方程组：
解这个方程组，得
所求二次函数是
22.1
二次函数的图像和性质
思考：是不是一条抛物线至少需要三个点才能确定他的解析式呢？
我们知道二次函数解析式的一般式是，他有三个参数，就需要三个方程才能求解。
但是对于他的顶点式
来说，顶点坐标是，那么当我们知道顶点坐标时，顶点式中就只剩一个参数是未知的了，此时只需要抛物线上除顶点外的一点就可以求出它的解析式。
22.1
二次函数的图像和性质
例5：已知抛物线上两点，其中点是该抛物线的顶点，求该抛物线的函数解析式。
[解析]
∵抛物线的顶点坐标为
∴设抛物线解析式为
把点
代入中
得
解得
∴该抛物线的函数解析式为
22.2
二次函数与一元二次方程
22.2
二次函数与一元二次方程
例6：如右下图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度
h（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系
（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
解：依题得
即
解得
，
∴当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m。
22.2
二次函数与一元二次方程
例6：如右下图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度
h（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系
（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
解：依题得
即
解得
∴当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m。
22.2
二次函数与一元二次方程
例6：如右下图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度
h（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系
（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
解：依题得
即
因为
∴方程无实数根，即小球的飞行高度达不到20.5m。
22.2
二次函数与一元二次方程
例6：如右下图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度
h（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系
（4）小球从飞出到落地要用多少时间？
解：小球飞出及落地时的高度都为0m，
即
即
解得
，
∴小球在0s时起飞，在4s时落地，从飞出到落地要用4s。
22.2
二次函数与一元二次方程
从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切。例如，已知二次函数的值为，求自变量的值，可以看作解一元二次方程（即）。反过来，解方程又可以看作已知二次函数的值为，求自变量的值。
一般地，我们可以利用二次函数深入讨论一元二次方程
。
22.2
二次函数与一元二次方程
例7：下列二次函数的图象与轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
这些函数的图像如右下图所示。
（1）
（2）
（3）
[解析]
抛物线与轴有两个公共点
它们的横坐标是
当取公共点的横坐标时，函数值是
由此得出方程的根是
22.2
二次函数与一元二次方程
例7：下列二次函数的图象与轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
这些函数的图像如右下图所示。
（1）
（2）
（3）
[解析]
抛物线与轴有一个公共点
这点的横坐标是
当时，函数值是
由此得出方程有两个相等的实数根
22.2
二次函数与一元二次方程
例7：下列二次函数的图象与轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
这些函数的图像如右下图所示。
（1）
（2）
（3）
[解析]
抛物线与工轴没有公共点
由此可知，方程没有实数根
22.2
二次函数与一元二次方程
例7：下列二次函数的图象与轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
这些函数的图像如右下图所示。
（1）
（2）
（3）
[归纳]
由二次函数图象与?轴位置关系的情况，可以得出相应一元二次方程的根；
反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数图象与轴的位置关系。
22.3
实际问题与二次函数
22.3
实际问题与二次函数
对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究。
例8：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球的运动时间(单位：)之间的关系式是小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当取顶点的横坐标时，这个函数有最大值。
因此，当时，有最大值也就是说，小球运动的时间是时，小球最高。小球运动中的最大高度是。
22.3
实际问题与二次函数
一般地，当时，抛物线的顶点是最（高）点，也就是说，当时，二次函数有最小（大）值。
我们再来解决一些实际问题。
22.3
实际问题与二次函数
例9：用总长为
的篱笆围成矩形场地，矩形面积
随矩形一边长
的变化而变化。当
是多少米时，场地的面积
最大?
[解析]
先写出
关于
的函数解析式，再求出使
最大的
的值。
矩形场地的周长是，一边长为
，所以另一边长为。场地的面积，即
因此，当
时，
有最大值也就是说，当
是
时，场地的面积
最大。
22.3
实际问题与二次函数
例10：某商品现在的售价为每件
60
元，每星期可卖出
300
件市场调查反映：如调整价格，每涨价
1
元，每星期要少卖出
10
件；每降价
1
元，每星期可多卖出
20
件。已知商品的进价为每件
40
元，如何定价才能使利润最大？
[解析]
调整价格包括涨价和降价两种情况，先看涨价的情况：设每涨价
元，每星期售出商品的利润为
元。涨价
元时，每星期少卖
件，实际卖出
件，销售额为
元，买进商品需支付
元。因此，所得利润
即
当
时，
最大，也就是说，涨价的情况下，涨价
5
元，即定价
65
元时，利润最大，最大利润为
6250
元。
22.3
实际问题与二次函数
例10：某商品现在的售价为每件
60
元，每星期可卖出
300
件市场调查反映：如调整价格，每涨价
1
元，每星期要少卖出
10
件；每降价
1
元，每星期可多卖出
20
件。已知商品的进价为每件
40
元，如何定价才能使利润最大？
[解析]
再看降价的情况：设每降价
元，每星期售出商品的利润为
元。降价
元时，每星期多卖
件，实际卖出
件，销售额为
元，买进商品需支付
元。因此，所得利润
即
当
时，
最大，也就是说，降价的情况下，降价
2.5
元，即定价
57.5
元时，利润最大，最大利润为
6125
元。
22.3
实际问题与二次函数
例11：某种商品每件的进价为元，在某段时间内若以每件工元出售，可卖出
件，应如何定价才能使利润最大?
例12：飞机着陆后滑行的距离
(单位：)
关于滑行的时间
(单位：)
的函数解析式是，飞机着陆后滑行多远才能停下来？
例13：已知直角三角形两条直角边的和等于，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？
总结
二次函数：形如的函数。
抛物线
的特点
开口方向：当，开口向上；当时，开口向下
对称轴：
顶点：
增减性：
1、若，当时，
随增大而减小，当时，
随增大而增大；
2、若，当时，
随增大而增大，当时，
随增大而减小。
二次函数与一元二次方程：
由二次函数图象与?轴位置关系的情况，可以得出相应一元二次方程的根；
反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数图象与轴的位置关系。
二次函数解决实际问题：
一般地，当时，抛物线的顶点是最（高）点，也就是说，当时，二次函数有最小（大）值。