3.2.1 双曲线及其标准方程—2021-2022学年上学期人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

3.2.1
双曲线及其标准方程
一、单选题
1．P是双曲线x2－y2＝16左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝（
）
A．4
B．-4
C．8
D．－8
2．双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（
）
A．2或12
B．2或18
C．18
D．2
3．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知双曲线的左，右焦点分别为（，0），（3，0），为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
5．焦距为10，且的双曲线的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．或
6．已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和顶点，则双曲线的方程为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知双曲线的一个焦点坐标是，那么的值为（
）
A．1
B．
C．3
D．5
8．已知动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（
）
A．3
B．6
C．7
D．14
10．已知，，则双曲线的标准方程为（
）
A．
B．
C．
D．
11．方程表示的曲线为，下列正确的命题是（
）
A．曲线不可能是圆；
B．若，则曲线为椭圆；
C．若曲线为双曲线，则或；
D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则.
12．关于、的方程（其中）对应的曲线可能是（
）
A．焦点在轴上的椭圆
B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线
D．焦点在轴上的双曲线
三、填空题
13．已知两点，若，那么点的轨迹方程是______.
14．已知双曲线的一个焦点为，则的值为___________.
15．焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．
16．以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线的标准方程为____
四、解答题
17．在下列条件下求双曲线标准方程
（1）经过两点；
（2），经过点，焦点在轴上.
18．写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）过点P(－3，2)，且与椭圆有相同的焦点的椭圆．
（2）a＝，且与椭圆有相同的焦点的双曲线.
19．如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
20．已知双曲线方程过点和，且中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，求双曲线方程
参考解析
1．D
【解析】因为双曲线方程为x2－y2＝16，化为标准方程得，即，
所以，而点在双曲线左支上，于是，
所以．故选：D．
2．C
【解析】由双曲线定义可知：
解得或（舍）∴点到的距离为18，故选：C.
3．C
【解析】由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴
(k－1)(k＋1)<0，∴
－14．A
【解析】由双曲线的定义可得，，即，，且焦点在轴上，所以双曲线的方程为：．故选：A．
5．D
【解析】由题意知2c＝10，c＝5，又，c2＝b2＋a2，∴a2＝9，b2＝16，
∴所求双曲线的标准方程为或．故选：D．
6．C
【解析】由椭圆可得，，所以，
可得，所以椭圆的长轴端点为，焦点为
所以双曲线的焦点为，顶点为
设双曲线方程为，可得，，
所以，所以双曲线的方程为，故选：C.
7．C
【解析】因为焦点坐标是，故，解得，故选：C.
8．B
【解析】设动圆的半径为，又圆与圆的半径均为，
则由已知得，所以.又点，
则，所以，根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支.因为，所以，
于是点的轨迹方程为.故选：B.
9．AC
【解析】连接，是的中位线，∴，
∵，，∴或6，∴或3.故选：AC.
10．AC
【解析】由已知得，
∴当焦点在轴上，双曲线的标准方程为；
当焦点在轴上，双曲线的标准方程为．故选：AC
11．CD
【解析】①，当时为曲线C为圆,故A错误；
②若C为椭圆得：解得：
且，故B错误；
③若为双曲线，解得；或，故C正确；
④表示焦点在轴上的椭圆，得
解得，故D正确．
故选：.
12．ABC
【解析】对于A选项，若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得，
即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，A选项正确；
对于B选项，若方程表示在焦点在轴上的椭圆，
则，解得，
即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，B选项正确；
对于C选项，若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，
则，解得，
即当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，C选项正确；
对于D选项，若表示焦点在轴上的双曲线，
则，这样的不存在，D选项错误.
故选：ABC.
13．
【解析】设点的坐标为，因为，
所以点的轨迹为焦点在轴的双曲线，且，
所以，所以点的轨迹方程为：，
14．
【解析】由题设知：，即，又可得.
15．
【解析】设双曲线方程为，
将点(4，－2)和
代入方程得解得a2＝8，b2＝4，
所以双曲线的标准方程为.
16．－＝1
【解析】由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
17．【解析】（1）由于双曲线过点，故且焦点在轴上，设方程为，代入得，解得，故双曲线的方程为.
（2）由于双曲线焦点在轴上，故设双曲线方程为.将点代入双曲线方程得，解得，故双曲线的方程为.
18．【解析】（1）设椭圆方程为，代入点，可得，
，所求方程为；
（2）设双曲线方程为，a＝，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，
所以双曲线的焦点坐标为，即，所以，
故双曲线方程为.
19．【解析】（1）是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或，
即点到另一个焦点的距离为或；
（2）P是双曲线左支上的点，则，
则，而，
所以，即，
所以为直角三角形，，所以.
20．【解析】设所求双曲线方程为，
因为双曲线方程过点和，
所以，解得，因此所求的双曲线方程为.