2021--2022学年人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质 同步训练（word版、含答案）

人教版
九年级数学上册
22.1
二次函数的图象和性质
同步课时训练
一、选择题
1.
由二次函数y＝2(x－3)2＋1，可知(　　)
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝－3
C．其最小值为1
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
2.
（2020·哈尔滨）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（
）
A．
B．
C．
D．
3.
要将抛物线y＝x2＋2x＋3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是(　　)
A.
向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B.
向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C.
向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D.
向右平移1个单位，再向下平移2个单位
4.
若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为(　　)
A.
y＝(x－2)2＋3
B.
y＝(x－2)2＋5
C.
y＝x2－1
D.
y＝x2＋4
5.
某人画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出下表(计算没有错误)：
根据此表判断：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1满足下列关系式中的(　　)
A．3.2B．3.3C．3.4D．3.16.
将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是(　　)
A．向左平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度
C．向上平移3个单位长度
D．向下平移1个单位长度
7.
（2020·随州）如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b=0；②2c<3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，.其中正确的有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.
二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc<0；②b0时，－1其中正确的结论有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
9.
将抛物线y＝－(x＋2)2向________平移________个单位长度，得到抛物线y＝－(x－1)2.
10.
如图所示，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点的坐标为(3，0)，那么它对应的函数解析式是______________．
11.
某个函数具有性质：当x>0时，y随x的增大而增大，这个函数的表达式可以是________(只要写出一个符合题意的答案即可)．
12.
已知二次函数的图象经过原点及点(－，－)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________________．
13.
将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为________________．
14.
(2019?襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度(单位：m)与飞行时间(单位：s)之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为__________s．
15.
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的顶点为P，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m，0)，C(－2，n)(1＜m＜3，n＜0)，有下列结论：
①abc＞0；
②3a＋c＜0；
③a(m－1)＋2b＞0；
④a＝－1时，存在点P使△PAB为直角三角形．
其中正确结论的序号为________．
16.
如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集为____________．
三、解答题
17.
画出函数y＝－x2的图象，并回答问题．
解：(1)列表(请完成下面的填空)：
x
…
－2
－1
－0.5
0
0.5
1
2
…
y
…
－0.25
0
－0.25
－1
－4
…
(2)描点、连线；
(3)由函数图象可以看出，当x＜0时，y随着x的增大而________．(填“增大”或“减小”)
18.
画出二次函数y＝(x－1)2的图象，根据图象回答下列问题：
(1)求当－2≤x≤－1时，y的取值范围；
(2)求当0≤x≤3时，y的取值范围．
19.
如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)．
(1)求a的值和图象的顶点坐标．
(2)点Q(m，n)在该二次函数的图象上：
①当m＝2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
20.
(2019·山东枣庄)已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点(点在点右侧)，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式和，两点的坐标；
(2)如图1，若点是抛物线上、两点之间的一个动点(不与、重合)，是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，求点的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若点是抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交直线于点，当时，求点的坐标．
21.
如图，顶点为A(，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；
(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，
求证：△OCD≌△OAB；
(3)在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．
人教版
九年级数学上册
22.1
二次函数的图象和性质
同步课时训练-答案
一、选择题
1.
【答案】C
2.
【答案】D【解析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式为，因此本题选D．
3.
【答案】D　【解析】y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，该抛物线的顶点坐标是(－1，2)，抛物线y＝x2的顶点坐标是(0，0)，则平移的方法可以是：将抛物线y＝x2＋2x＋3向右移1个单位，再向下平移2个单位得抛物线y＝x2.
4.
【答案】C　【解析】由抛物线y＝x2－2x＋3得y＝(x－1)2＋2.保持抛物线不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，其实质相当于抛物线向左平移1个单位，再将平面直角坐标系向上平移3个单位，则相当于抛物线向下平移3个单位，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，可得新的抛物线解析式为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.
5.
【答案】B　[解析]
从表格中的数据看，当3.2≤x≤3.5时，y随x的增大而增大，且x＝3.3时，y＝－0.17<0，x＝3.4时，y＝0.08>0，故y＝0一定在3.36.
【答案】D　[解析]
A．将函数y＝x2的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝(x＋1)2的图象，它经过点(1，4)；B.将函数y＝x2的图象向右平移3个单位长度得到函数y＝(x－3)2的图象，它经过点(1，4)；C.将函数y＝x2的图象向上平移3个单位长度得到函数y＝x2＋3的图象，它经过点(1，4)；D.将函数y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到函数y＝x2－1的图象，它不经过点(1，4)．故选D.
7.
【答案】B
【解析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、等腰三角形的性质、勾股定理，解答过程如下：
∵二次函数的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴为，∴2a+b=0，故①正确；
∵2a+b=0，∴.
∵二次函数的图象经过点A（-1，0），∴a-b+c=0.
∴，∴3b=2c，故②错误；
∵AC不可能等于BC，∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个.故③正确；
∵△BCD是直角三角形时，∠BCD和∠BDC都可能是直角，∴a的取值应该有两个，故④错误.
综上所述，①③正确.因此本题选B．
8.
【答案】D　[解析]
①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即ab<0.抛物线与y轴交于正半轴，则c>0，∴abc<0.故①正确．
②∵抛物线开口向下，∴a<0.∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，∴b＝－2a.∵x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0.而b＝－2a，∴c＝－3a，∴b－c＝－2a＋3a＝a<0，即b③∵x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0.而b＝－2a，∴3a＋c＝0.故③正确．
④由抛物线的对称性得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是(3，0)，∴当y>0时，－1综上所述，正确的结论有4个．
故选D.
二、填空题
9.
【答案】右　3
10.
【答案】y＝－x2＋2x＋3　[解析]
∵抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，∴＝1，
解得b＝2.
∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴的一个交点的坐标为(3，0)，∴0＝－9＋6＋c，解得c＝3.
故抛物线的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.
11.
【答案】答案不唯一，如y＝x2
12.
【答案】y＝x2＋x或y＝－x2＋x　【解析】依题意，所求函数有可能经过(－1，0)，(－，－)
或(1，0)，(－，－)
.设所求函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，图象经过原点，则c＝0，当图象经过(－1，0)，(－，－)时，代入可求得a＝b＝1，即所求解析式为y＝x2＋x;
当图象经过(1，0)，(－，－)时，代入可求得a＝－，b＝，即所求解析式为y＝－x2＋x.综上所述，所求函数的解析式为y＝x2＋x或y＝－x2＋x.
13.
【答案】y＝2(x＋1)2－2
14.
【答案】4
【解析】依题意，令得：
∴，
得：，
解得：(舍去)或，
∴即小球从飞出到落地所用的时间为，
故答案为：4．
15.
【答案】②③　[解析]
由抛物线经过A(－1，0)，B(m，0)，可知对称轴为x＝＝－，
∴－＝m－1.
∵1＜m＜3，∴ab＜0.
画出二次函数y＝ax2＋bc＋c的大致图象可知a＜0，
∴b＞0.
把(－1，0)代入y＝ax2＋bx＋c，可得a－b＋c＝0，
∴c＝b－a＞0.∴abc＜0，故①错误．
当x＝3时，y＜0，
∴9a＋3b＋c＝9a＋3(a＋c)＋c＝12a＋4c＝4(3a＋c)＜0，∴3a＋c<0，故②正确．
∴－＝m－1，∴a(m－1)＋2b＝－b＋2b＝b＞0，故③正确．
当a＝－1时，y＝－x2＋bx＋c，
∴P(，b＋1＋)．
若△PAB为直角三角形，则△PAB为等腰直角三角形，
∴b＋1＋＝＋1，∴b＝－2或b＝0.
∵b＞0，
∴不存在点P使△PAB为直角三角形，
故④错误．
故答案为②③.
16.
【答案】x<1或x>3　【解析】∵直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，∴根据图象可知，不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集为x＜1或x＞3.
三、解答题
17.
【答案】
解：(1)－4　－1
(2)如图：
(3)增大
18.
【答案】
解：画出二次函数y＝(x－1)2的图象如图所示：
(1)当－2≤x≤－1时，y的取值范围是4≤y≤9.
(2)当0≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤4.
19.
【答案】
解：(1)把点P(－2，3)代入y＝x2＋ax＋3中，
得a＝2，
∴y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
∴图象的顶点坐标为(－1，2)．
(2)①当m＝2时，n＝11.
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴－2＜m＜2，∴2≤n＜11.
20.
【答案】
(1)抛物线的对称轴是直线，，解得，
抛物线的解析式为：．
当时，，解得，，
点的坐标为，点的坐标为．
答：抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为．
(2)当时，，点的坐标为．
设直线的解析式为，将，代入得
，解得，
直线的解析式为．
假设存在点，使四边形的面积最大，
设点的坐标为，如图所示，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，
则，
当时，四边形的面积最大，最大值是32
，
存在点，使得四边形的面积最大．
答：存在点，使四边形的面积最大；点的坐标为，四边形面积的最大值为32．
(3)设点的坐标为，则点的坐标为，
，
又，
，
当时，，解得，，
点的坐标为或；
当或时，，解得，，
点的坐标为或．
答：点的坐标为、、或．
【名师点睛】本题属于二次函数压轴题，综合考查了待定系数法求解析式，解析法求面积及
点的坐标的存在性，最大值等问题，难度较大．
21.
【答案】
(1)解：∵抛物线顶点为A(，1)，
设抛物线解析式为y＝a(x－)2＋1，(1分)
∵原点(0，0)在抛物线上，
∴0＝a()2＋1，
∴a＝－，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x.(3分)
(2)证明：令y＝0，得0＝－x2＋x，
∴x1＝0，x2＝2，
∴B点坐标为(2，0)，
设直线OA的表达式为y＝kx，
∵A(，1)在直线OA上，
∴k＝1，
∴k＝，
∴直线OA对应的一次函数的表达式为y＝x.(5分)
∵BD∥AO，
设直线BD对应的一次函数的表达式为y＝x＋b，
∵B(2，0)在直线BD上，
∴0＝×2＋b，
∴b＝－2，
∴直线BD的表达式为y＝x－2.(7分)
联立得，解得x1＝－，x2＝2，
∵点D在第三象限，
∴交点D的坐标为(－，－3)，
在y＝x2中，
令x＝0得，y＝x－2＝－2，
∴C点的坐标为(0，－2)，
根据A(，1)可得OA＝＝2，
根据二次函数对称性知AB＝AO＝2，
∵CD＝＝2，
∴CD＝AB，OC＝OA，
又∵OD＝＝2，
∴OD＝OB，
∴△OAB≌△OCD(SSS)．(8分)
(3)解：如解图，作点C关于x轴的对称点C′(0，2)，连接C′D，
∴C′D与x轴的交点即为点P，此时△PCD的周长最小，
过点D作DQ⊥y，垂足为Q，
∴PO∥DQ，
∴△C′PO∽△C′DQ，(10分)
∴＝，
∴＝.
∴PO＝，
解图
∴点P的坐标为(－，0)．(12分)