2021—2022学年人教版 九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数 同步课时训练（word版、含答案）

人教版
九年级数学上册
22.3
实际问题与二次函数
同步课时训练
一、选择题
1.
某种服装的销售利润y(万元)与销售数量x(万件)之间满足函数解析式y＝－2x2＋4x＋5，则利润的(　　)
A．最大值为5万元
B．最大值为7万元
C．最小值为5万元
D．最小值为7万元
2.
某企业生产季节性产品，当产品无利润时，企业自动停产，经过调研，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋12n－11，则企业停产的月份为(　　)
A．1月和11月
B．1月、11月和12月
C．1月
D．1月至11月
3.
如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数解析式是y＝－x2＋x＋，则该运动员此次掷铅球的成绩是(　　)
A．6
m
B．12
m
C．8
m
D．10
m
4.
中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB＝90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为(　　)
A．y＝x2
B．y＝－x2
C．y＝x2
D．y＝－x2
5.
如图，将一个小球从斜坡上的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，下列结论错误的是(　　)
A．当小球抛出高度达到7.5
m时，小球距点O的水平距离为3
m
B．小球距点O的水平距离超过4
m后呈下降趋势
C．小球落地点距点O的水平距离为7
m
D．小球距点O的水平距离为2.5
m和5.5
m时的高度相同
6.
（2020·绵阳）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米．若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）
A．4米
B．5米
C．2米
D．7米
7.
一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD是边长为80
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝x
cm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取(　　)
A．30
B．25
C．20
D．15
8.
一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4
m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5
m时，达到最大高度3.5
m，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05
m，在如图
(示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是(　　)
A．此抛物线的解析式是y＝－x2＋3.5
B．篮圈中心的坐标是(4，3.05)
C．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)
D．篮球出手时离地面的高度是2
m
　　　
二、填空题
9.
某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品的售价为a元，则可卖出(350－10a)件．但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的40%，若商店想获得最大利润，则每件商品的价格应定为________元．
10.
(2020·连云港)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率y与加工时间x(单位:min)满足函数表达式y=-0.2x2+1.5x-2，则最佳加工时间为
▲
min.
11.
已知一个直角三角形两直角边长的和为30，则这个直角三角形的面积最大为________．
12.
（2020·天门仙桃潜江）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为
元．
13.
飞机着落后滑行的距离s(单位：米)关于滑行时间t(单位：秒)的函数解析式是s＝60t－t2，则飞机着落后滑行的最长时间为________秒．
14.
如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12
m时，桥拱顶部离水面4
m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．
15.
某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：
(1)月销量y(件)与售价x(元/件)的关系满足y＝－2x＋400；
(2)工商部门限制售价x满足70≤x≤150(计算月利润时不考虑其他成本)．
给出下列结论：
①这种文化衫的月销量最小为100件；
②这种文化衫的月销量最大为260件；
③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；
④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．
其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上)
16.
竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．
三、解答题
17.
养鸡专业户计划用116
m的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2
m，门PQ和RS的宽各为1
m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
18.
如图，某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50
m．设饲养室的长为x(m)，占地面积为y(m2)．
(1)如图②，当饲养室的长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图③，现要求在图中所示位置留2
m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室的长比(1)中的长多2
m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
19.
如图，工人师傅用一块长为10
dm，宽为6
dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计)．
(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕，并求长方体底面面积为12
dm2时，裁掉的正方形的边长；
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低为多少元？
20.
（2020·青岛）某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一面墙，它由长形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m.
(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用(k≠0)表示.求该抛物线的函数表达式；
(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房.如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/.已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)
(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B型活动板房.不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？
21.
(2020·成都)在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
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九年级数学上册
22.3
实际问题与二次函数
同步课时训练-答案
一、选择题
1.
【答案】B
2.
【答案】B　[解析]
由题意知，利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋12n－11，
∴y＝－(n－6)2＋25，
当n＝1时，y＝0；
当n＝11时，y＝0；
当n＝12时，y＜0.
故停产的月份是1月、11月和12月．
故选B.
3.
【答案】D　[解析]
把y＝0代入y＝－x2＋x＋，得－x2＋x＋＝0，
解得x1＝10，x2＝－2.又∵x＞0，∴x＝10.
故选D.
4.
【答案】B　[解析]
设二次函数的解析式为y＝ax2.由题可知，点A的坐标为(－45，－78)，代入解析式可得－78＝a(－45)2，解得a＝－，∴二次函数解析式为y＝－x2.故选B.
5.
【答案】A　[解析]
令y＝7.5，得4x－x2＝7.5.解得x1＝3，x2＝5.可见选项A错误．
由y＝4x－x2得y＝－(x－4)2＋8，∴对称轴为直线x＝4，当x＞4时，y随x的增大而减小，选项B正确．
联立y＝4x－x2与y＝x，解得或∴抛物线与直线的交点坐标为(0，0)，，可见选项C正确．
由对称性可知选项D正确．
综上所述，只有选项A中的结论是错误的，故选A.
6.
【答案】B
【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设大孔对应的函数关系式为y＝ax2＋c，过B
(5，c－1.5)，F(7，0)，则，解得，∴大孔对应的函数关系式为y＝－0.06x2＋2.94．当x＝10时，y＝－0.06×102＋2.94＝－3.06，∴H(0，－3.06)．设右边小孔顶点坐标为D(10，1.44)，则右边小孔对应的函数关系式为y＝m(x－10)2＋1.44，过点G(12，0)，则0=
m(12－10)2＋1.44，解得m=－0.36，∴右边小孔对应的函数关系式为y＝－0.36(x－10)2＋1.44，当y＝－3.06时，－3.06＝－0.36(x－10)2＋1.44，解得x＝10±，∴大孔水面宽度为20米，时单个小孔的水面宽度为5米．故选项B正确．
7.
【答案】C　[解析]
如图，设BE＝CF＝x
cm，则EF＝(80－2x)cm.∵△EFM和△CFN都是等腰直角三角形，
∴MF＝EF＝(40
－x)cm，FN＝CF＝x
cm，
∴包装盒的侧面积＝4MF·FN＝4·x(40
－x)＝－8(x－20)2＋3200，
故当x＝20时，包装盒的侧面积最大．
8.
【答案】A　[解析]
∵抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，
∴可设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋3.5.
∵篮圈中心(1.5，3.05)在抛物线上，∴3.05＝a×1.52＋3.5.解得a＝－.∴y＝－x2＋3.5.可见选项A正确．
由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5，3.05)，可见选项B错误．
由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，可见选项C错误．
将x＝－2.5代入抛物线的解析式，得y＝－×(－2.5)2＋3.5＝2.25，∴这次跳投时，球出手处离地面2.25
m可见选项D错误．
故选A.
二、填空题
9.
【答案】28　[解析]
设商店所获利润为y元．根据题意，得
y＝(a－21)(350－10a)＝－10a2＋560a－7350＝－10(a－28)2＋490，
即当a＝28时，可获得最大利润．
又21×(1＋40%)＝21×1.4＝29.4，而28<29.4，所以a＝28符合要求．
故商店应把每件商品的价格定为28元，此时可获得最大利润．
10.
【答案】3.75
【解析】本题考查了二次函数的性质，当加工时间x为何值时可食用率y最大，从而转化为二次函数的最值问题，由二次项系数为负，配方可知x=3.75时，y最在大，故答案为3.75.
11.
【答案】
12.
【答案】70
【解析】．设每顶头盔的售价为x元，
由题意，得：w=（x-50）×[(200+
(80-x)
×20]，=（x-50）×（-20x+1800）
=-20x2+2800x-90000，
x=-，
∴当销售单价定为70元时，每月可获得最大利润．因此本题答案为70.
13.
【答案】20　[解析]
滑行的最长时间实际上是求顶点的横坐标．∵s＝60t－t2＝－(t－20)2＋600，∴当t＝20时，s的最大值为600.
14.
【答案】y＝－(x＋6)2＋4
15.
【答案】①②③　[解析]
由题意知，当70≤x≤150时，y＝－2x＋400，
∵－2＜0，∴y随x的增大而减小，
∴当x＝150时，y取得最小值，最小值为100，故①正确；
当x＝70时，y取得最大值，最大值为260，故②正确；
设销售这种文化衫的月利润为W元，
则W＝(x－60)(－2x＋400)＝－2(x－130)2＋9800，
∵70≤x≤150，
∴当x＝70时，W取得最小值，最小值为－2(70－130)2＋9800＝2600，故③正确；
当x＝130时，W取得最大值，最大值为9800，故④错误．
故答案为①②③.
16.
【答案】1.6
秒　【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为t＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同.
故该距离为0.5秒，
所以此时第一个小球抛出后t＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．
三、解答题
17.
【答案】
解：设AB＝x
m，则AD＝＝(60－2x)m，鸡舍的面积为y
m2，根据题意，得
y＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450.
∵0∴当x＝15时，y取得最大值，
即当AB＝15
m时，鸡舍面积最大，此时AD＝30
m.
答：当AD的长为30
m，AB的长为15
m时，围成的鸡舍面积最大．
18.
【答案】
解：(1)∵y＝x·＝－(x－25)2＋，
∴当x＝25时，占地面积y最大，
即当饲养室的长x为25
m时，占地面积y最大．
(2)∵y＝x·＝－(x－26)2＋338，
∴当x＝26时，占地面积y最大，
即当饲养室的长x为26
m时，占地面积y最大．
∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确．
19.
【答案】
解：(1)如图所示：
设裁掉的正方形的边长为x
dm.
由题意可得(10－2x)(6－2x)＝12，
即x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6(舍去)．
答：当裁掉的正方形的边长为2
dm时，长方体底面面积为12
dm2.
(2)∵长方体的底面长不大于底面宽的五倍，
∴10－2x≤5(6－2x)，解得x≤2.5，
∴0设总费用为w元，由题意可知
w＝0.5×2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24.
∵此函数图象的对称轴为直线x＝6，图象开口向上，
∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，
∴当x＝2.5时，w有最小值，最小值为25.
答：当裁掉的正方形边长为2.5
dm时，总费用最低，最低为25元．
20.
【答案】
解：（1）由题意得AD=4，AB=3，EH=4，
∴OA=OD=AD=×4=2，OE=EH-OH=EH-AB=4-3=1，
∴A（-2，0），E（0，1），
∴，解得，
∴该抛物线的函数表达式为：.
（2）由题意得OM=GM=×2=1，∴当x=1时，，∴MN=.
∴每个B型活动板房的成本是：425+50×4×=575（元）.
（3）由题意得=
===
由得620≤n≤650.
∵的对称轴在620≤n≤650之内，
∴当公司将销售单价n(元)定为637.5时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大，最大利润是：
=62.5×125=7812.5（元）.
21.
【答案】
解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，∴设y＝kx+b，
将x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100代入得：，解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400；
（2）设线上和线下月利润总和为m元，
则m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∴当x为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．
【解析】（1）由待定系数法求出y与x的函数关系式即可；
（2）设线上和线下月利润总和为m元，则m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案．