1.2矩形的性质与判定 选择压轴专题训练2021-2022学年九年级数学北师大版上册（word版、含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
选择压轴专题训练（附答案）
一、选择题
1．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，△EFG为等腰直角三角形，则四边形BCFE的面积为（　　）
A．10
B．9
C．
D．
2．如图，已知大矩形ABCD由①②③④四个小矩形组成，其中AE＝CG，则只需要知道其中一个小矩形的面积就可以求出图中阴影部分的面积，这个小矩形是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
3．如图，已知矩形ABHG的面积等于矩形GNFD的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道（　　）
A．矩形ABHG的面积
B．矩形EBCF的面积
C．矩形GHCD的面积
D．矩形AEFD的面积
4．如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，AE＝8，AC＝20，则OE的长为（　　）
A．4
B．4
C．6
D．8
5．若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角为（　　）
A．30
B．45
C．60
D．90
6．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝6，则AB的长为（　　）
A．4
B．4
C．3
D．5
7．如图，E、F分别是矩形ABCD边上的两点，设∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，若∠AED＝α+β，下列结论正确的是（　　）
A．α＝β
B．α＝γ
C．α+β+2γ＝90°
D．2α+γ＝90°
8．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．若P是矩形ABCD边上一动点，且使得∠APB＝60°，则这样的点P有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．如图，把一块含有30°角的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝50°，那么∠AFE的度数为（　　）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
10．如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED＝90°．当AD＝10cm时，AB等于（　　）
A．10
B．5
C．
D．
11．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是（　　）
A．AD＝BC，AC＝BD
B．AC＝BD，∠BAD＝∠BCD
C．AO＝CO，AB＝BC
D．AO＝OB，AC＝BD
12．如图所示的?ABCD，再添加下列某一个条件，不能判定?ABCD是矩形的是（　　）
A．AC＝BD
B．AB⊥BC
C．∠1＝∠2
D．∠ABC＝∠BCD
13．检查一个门框（已知两组对边分别相等）是不是矩形，不可用的方法是（　　）
A．测量两条对角线是否相等
B．用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C．测量两条对角线是否互相平分
D．测量门框的三个角是否都是直角
14．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AB＝CD
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AC⊥BD
D．AB∥CD，AD＝BC
15．要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（　　）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否互相垂直
D．测量其中三个角是否是直角
16．四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD
B．AC＝BD
C．AB＝BC
D．AC⊥BD
17．下列条件中，不能判定?ABCD为矩形的是（　　）
A．∠A＝∠C
B．∠A＝∠B
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
18．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（　　）
A．AO＝OC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．BD平分∠ABC
19．如图，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝3cm，则BD等于（　　）cm．
A．1
B．2
C．3
D．4
20．如图，直角三角形ABC中，AC＝2，BC＝4，P为斜边AB上一动点，PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为（　　）
A．
B．2
C．
D．
21．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（　　）
A．1
B．1.3
C．1.2
D．1.5
22．如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，若CD＝1cm，则AC等于（　　）
A．
B．
C．2cm
D．1cm
23．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OAB的度数为（　　）
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（　　）
A．1.2
B．2.4
C．2.5
D．4.8
25．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，D为边AC上一动点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则EF的最小值为（　　）
A．2.4
B．3
C．4.8
D．5
26．如图，四边形ABCD，∠D＝∠C＝90°，CD＝2，点E在边AB，且AD＝AE，BE＝BC，则AE?BE的值为（　　）
A．
B．1
C．
D．
27．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，N为EF的中点，则MN的最小值为（　　）
A．4.8
B．2.4
C．2.5
D．2.6
28．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，P为边BC上一动点（P不与B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是（　　）
A．≤AM＜6
B．5≤AM＜12
C．≤AM＜12
D．≤AM＜6
参考答案
1．解：∵△GEF为等腰直角三角形，
∴GE＝GF，∠EGF＝90°，
∴∠AGE+∠DGF＝90°，
∵∠AEG+∠AGE＝90°，
∴∠AEG＝∠DGF，
∴△AEG≌△DGF（AAS），
∴AE＝GD，AG＝DF，
∵AB＝4，AD＝5，E为AB的中点，
∴DG＝AE＝2，AG＝DF＝AD﹣DG＝3，
∴CF＝CD﹣DF＝4﹣3＝1，
∴S四边形BCFE＝（2+1）×5＝，
故选：D．
2．解：如图所示：
∵四边形ABCD和四边形③是矩形，
∴AB＝CD，FP＝CG，
∵AE＝CG，
∴BE＝DG，
∴阴影部分的面积＝△BFD的面积﹣△BFP的面积＝BF×CD﹣BF×FP＝BF×（CD﹣CG）＝BF×DG＝BF×BE＝矩形②面积，
故选：B．
3．解：如图，连接EG，
∵矩形ABHG的面积等于矩形GNFD的面积，
∴EN?GH＝GN?GD，
即，
∴tan∠EGN＝tan∠DHG，
∴∠EGN＝∠DHG，
∴EG∥HD，
∴S阴影＝S△GDH＝S矩形GHCD，
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝AC＝10，
∴OE＝＝＝6，
故选：C．
5．解：将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，
平行四边形ABCD是原矩形变化而成，
∴FG＝BC，FH＝2AE．
又∵HF＝AB，
∴AB＝2AE，
在Rt△ABE中，AB＝2AE，
∠B＝30°．
故选：A．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD＝3，AC＝BD＝6，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB＝3，
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，
∴α+β+γ＝90°，
∵∠AED+α＝90°，∠AED＝α+β，
∴2α+β＝90°，
∴α+β+γ＝2α+β，
∴α＝γ，
故选：B．
8．解：如图，取CD中点P，连接AP，BP，
∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠D＝∠C＝90°
∵点P是CD中点
∴CP＝DP＝2
∴AP＝＝4，
BP＝＝4
∴AP＝PB＝AB
∴△APB是等边三角形
∴∠APB＝60°，
过点A，点P，点B作圆与AD，BC的相交，
∴这样的P点一共有3个
故选：C．
9．解：∵四边形CDEF为矩形，
∴EF∥DC，
∴∠AGE＝∠1＝50°，
∵∠AGE为△AGF的外角，且∠A＝30°，
∴∠AFE＝∠AGE﹣∠A＝20°．
故选：B．
10．解：∵矩形ABCD中，E是BC的中点，
∴AB＝CD，BE＝CE，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE，
∵∠AED＝90°，
∴∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝90°﹣∠DAE＝45°，
∴∠BEA＝∠BAE＝45°，
∴AB＝BE＝AD＝×10＝5（cm）．
故选：B．
11．解：A、AB∥DC，AD＝BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，故无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
B、∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠ADC，
∴得出四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．故正确；
C、∵AO＝CO，AB＝BC，
∴BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝CD，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
D、AO＝OB，AC＝BD可无法判断四边形ABCD是矩形，故错误；
故选：B．
12．解：由对角线相等的平行四边形是矩形，可得当AC＝BD时，能判定?ABCD是矩形．
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当AB⊥BC时，能判定?ABCD是矩形．
由平行四边形四边形对边平行，可得AD∥BC，即可得∠1＝∠2，所以当∠1＝∠2时，不能判定?ABCD是矩形．
由有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得当∠ABC＝∠BCD时，能判定?ABCD是矩形．
故选：C．
13．解：∵门框两组对边分别相等，
∴门框是个平行四边形，
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
故A不符合题意；
∵竖门框与地面垂直，门框一定是矩形；
故B不符合题意，
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴C符合题意，
∵三个角都是直角的四边形是矩形，
故D不符合题意；
故选：C．
14．解：A、由AB＝DC，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形．故错误
B、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．故正确
C、由AC⊥BD，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
D、由AB∥CD，AC＝BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
故选：B．
15．解：∵三个角是直角的四边形是矩形，
∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D，
故选：D．
16．解：需要添加的条件是AC＝BD；理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故选：B．
17．解：A、在?ABCD，若∠A＝∠C，
则四边形ABCD还是平行四边形；故选项A符合题意；
B、在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴?ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、在?ABCD中，AC＝BD，
则?ABCD是矩形；故选项C不符合题意；
D、在?ABCD中，AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴?ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
18．解：添加的条件是AC＝BD，
理由是：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故选：B．
19．解：如图，CA⊥l1，BD⊥l2，
∴AC∥BD．
又∵l1∥l2，
∴四边形ABDC是矩形．
∴BD＝AC．
又∵AC＝3cm，
∴BD＝3cm．
故选：C．
20．解：连接PC，如图所示：
∵PE⊥BC，PF⊥CA，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
∵垂线段最短，
∴当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝2，BC＝4，
∴AB＝2，
又∵当CP⊥AB时，×AC×BC＝×AB×CP，
∴PC＝＝＝．
∴线段EF长的最小值为．
故选：C．
21．解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴∠EAF＝90°，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，
∴EF，AP的交点就是M点．
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP?BC＝AB?AC，
∴AP?BC＝AB?AC．
∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴5AP＝3×4，
∴AP＝2.4，
∴AM＝1.2；
故选：C．
22．解：过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，
∵∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD，
∵CD＝1cm，
∴DE＝1cm，
∵AD∥BC，∠ABC＝45°，
∴∠EAD＝∠ABC＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE＝1cm，
∴AD＝（cm），
∵AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝（cm），
故选：B．
23．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，
∵∠OAD＝55°，
∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°
故选：A．
24．解：连接PC，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∴PC的最小值为：．
∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：D．
25．解：如图，连接BD．
∵在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°．
又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴四边形EDFB是矩形，
∴EF＝BD．
∵BD的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：C．
26．解：过A作AF⊥BC于F，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴四边形AFCD是矩形，
∴AF＝CD＝2，CF＝AD，
设AD＝AE＝x，BE＝BC＝y，
∴AB＝x+y，BF＝y﹣x，
∵AB2＝AF2+BF2，
∴（x+y）2＝（y﹣x）2+22，
∴xy＝1，
∴AE?BE＝1，
故选：B．
27．解：过点A作AM⊥BC于点M′，
∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝＝10，
∴AM′＝＝．
∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∴四边形AEMF是矩形，
∴AM＝EF，MN＝AM，
∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合，
∴MN＝AM′＝＝2.4．
故选：B．
28．解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，
∴BC＝＝13，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴∠PEA＝∠PFA＝∠EAF＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∵M是EF的中点，
∴延长AM经过点P，
∴EF＝AP，
AM＝EF＝PA，
当PA⊥CB时，PA＝＝，
∴AM的最小值为，
∵PA＜AC，
∴PA＜12，
∴AM＜6，
∴≤AM＜6，
故选：A