2021-2022学年数学北师大版九年级上册1.3正方形的性质与判定 基础练（word版、含解析）

2021-2022学年数学北师大版九年级上册特殊平行四边形
1.3正方形的性质与判定
基础练
一、选择题
1.下列命题正确的是(
)
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
2.如图，在菱形中，对角线交于点.添加下列哪个条件，能使菱形成为正方形(
)
A.
B.
C.
D.
3.在正方形中，是上一点，，则正方形的面积为(
)
A.
B.3
C.4
D.5
4.如图，以正方形的边为一边向内作等边，连接，则的度数为(
)
A.60°
B.45°
C.75°
D.67.5°
5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于的最小值的是(
)
A.AB
B.DE
C.BD
D.AF
6.正方形具有而矩形不一定具有的性质是(
)
A.四个角都是直角
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
7.如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D.在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积(
)
A.先变大后变小
B.先变小后变大
C.一直变大
D.保持不变
8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
9.如图，在正方形外侧作等边三角形相交于点，则为(
)
A.75°
B.60°
C.55°
D.45°
10.如图，是的角平分线，分别是和的高，得到下面四个结论：①；②；③当时，四边形是正方形；④.其中正确的是(
)
A.②③
B.②④
C.②③④
D.①③④
二、填空题
11.如图，在边长为的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC的中点，连接EC,FD，点G,H分别是EC,FD的中点，连接GH，则GH的长度为____________.
12.如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是_________cm.
13.已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的有_________.（填序号）
①当时，它是菱形；
②当时，它是菱形；
③当时，它是矩形；
④当时，它是正方形.
14.如图，在边长为8的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，则周长的最小值为__________.
三、解答题
15.如图，正方形的对角线相交于点为上一点，，连接，过点作于点，与交于点.
（1）与相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由.
（2）求的长.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由特殊平行四边形的定义可知D正确.
2.答案：C
解析：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：（1）有一个内角是直角；（2）对角线相等.即或.故选C.
3.答案：B
解析：∵在中，，
∴由勾股定理，得，
∴正方形的面积为.故选B.
4.答案：C
解析：在正方形中，.
是等边三角形，
，
，
.
5.答案：D
解析：如图，连接CP，由，，，可得，，，当点E，P，C在同一条直线上时，的最小值为CE的长，此时，由，，，可得，，的最小值等于线段AF的长，故选D.
6.答案：C
解析：A.正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项不符合题意；B.正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项不符合题意；C.正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直，故本选项符合题意；D.正方形和矩形的对角线都相等，故本选项不符合题意.故选C.
7.答案：D
解析：如图，连接DE，，矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等.故选D.
8.答案：C
解析：四边形ABCD是正方形，，，，
A中结论正确，C中结论错误；，，，，B中结论正确；，，，，D中结论正确.故选C.
9.答案：B
解析：四边形是正方形，
.
是等边三角形，，
，
，
.
10.答案：C
解析：根据已知条件不能推出，∴①错误.
是的角平分线，分别是和的高，
.
在和中，，
.
平分，②正确.
，
四边形是矩形.
，四边形是正方形，③正确.
，
④正确.
②③④正确.
11.答案：1
解析：如图，连接FG并延长，交AD于点M，设点O为FM的中点，易知FG是的中位线，直线,，.连接OH，则,，.，，，
.
12.答案：3
解析：设cm,则cm,由折叠的性质知cm.因为E为BC的中点,所以cm.在中,由勾股定理可知,即，解得.
13.答案：④
解析：∵四边形是平行四边形，∴当时，它是菱形，故①正确；当时，它是菱形，故②正确；当时，它是矩形，故③正确；当时，它是矩形，故④错误.
14.答案：12
解析：如图，连接.
四边形是正方形，
点与点关于直线对称，
.
的长即为的最小值.
周长的最小值为.
15.答案：（1）.理由：，
.
四边形是正方形，，
，
.
在和中，
，
.
（2）是等腰直角三角形，且.
，由勾股定理，得，
，
.