2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步能力提升训练（word版、含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》
同步能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞且k≠0
B．k＜且k≠0
C．k≤且k≠0
D．k＜
2．若关于x的方程x2＝﹣x﹣2a没有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a＜
B．a＞
C．a＜﹣
D．a＞﹣
3．已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1
B．m＞1
C．m＜1，且m≠0
D．m＞1，且m≠0
4．若关于x的方程kx2+2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k≠0
B．k≤1
C．k≥1
D．k≤1且k≠0
5．关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，则k的值为（　　）
A．±2
B．2
C．﹣2
D．不能确定
6．已知α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，则（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）的值为（　　）
A．4
B．9
C．12
D．15
7．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12﹣2x1＝1，x22﹣2x2＝1，那么x12+x22等于（　　）
A．2
B．﹣2
C．﹣1
D．6
8．关于x的一元二次方程x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2，则代数式x12+x22﹣x1x2+1的最小值是（　　）
A．﹣8
B．﹣5
C．1
D．2
9．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是（　　）
A．0
B．2020
C．4040
D．4042
二、填空题
10．关于x的一元二次方程（k+1）x2+6x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
　
　．
11．关于x的方程kx2﹣2x+1＝0有一个实数根，则k的值是
　
　．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x1+x2＝　
　；若+＝﹣8，则a＝　
　．
13．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　
　．
14．已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，则的值为　
　．
15．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2019＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝　
　．
16．设方程x2﹣mx﹣1＝0的两根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝3，则m＝　
　．
17．已知一元二次方程x2﹣2x+n＝0的一个根为1+，则另一个根为　
　．
18．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的两个根记作an，bn（n≥2），则
的值为　
　．
19．设α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α3﹣2021α﹣β+1的值为　
　．
三、解答题
20．设一元二次方程x2+ax﹣2＝0．
（1）若该方程的一个解是x＝2，求a的值；
（2）求证：一元二次方程x2+ax﹣2＝0有两个不相等的实数解．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．
22．已知关于x的方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若此方程两个实数根都是正实数，求a取值范围．
23．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
24．已知关于x的一元二次方程kx2+（1﹣2k）x+k﹣2＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式α3+β2+β+2017的值．
25．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；
①x2﹣x﹣6＝0；
②2x2﹣2x+1＝0．
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值．
26．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2和x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程2x2+x﹣1＝0　
　（填“是”或“不是”）“倍根方程”．
（2）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝　
　．
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为　
　．
（4）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值．
参考答案
1．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0，
解得：k≤且k≠0．
故选：C．
2．解：方程化为x2+x+2a＝0，
根据题意得△＝12﹣4×2a＜0，
解得a＞．
故选：B．
3．解：∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＜1且m≠0．
故选：C．
4．解：当k≠0时，Δ＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，即k≤1且k≠0，
当k＝0时，
此时方程为2x+1＝0，满足题意，
∴k≤1．
故选：B．
5．解：设方程的两个是a，b，
∵关于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的两实数根互为相反数，
∴a+b＝﹣＝0，
解得：k＝±2，
当k＝2时，方程为x2+1＝0，
Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴此方程无解（方法二、即x2＝﹣1，
∵不论x为何值，x2不能为﹣1，
∴此方程无解）即k＝2舍去；
当k＝﹣2时，方程为x2﹣3＝0，
解得：x＝，此时符合题意，
即k＝﹣2符合题意，
故选：C．
6．解：∵α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，
∴α2+2020α+1＝0，β2+2020β+1＝0，α+β＝﹣2020，αβ＝1，
∴（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）
＝（1+2020α+α2+3α）（1+2020β+β2+3β）
＝9αβ
＝9，
故选：B．
7．解：∵x1，x2是两个不相等实数，且满足x12﹣2x1＝1，x22﹣2x2＝1，
∴x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
则x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
∴x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝22﹣2×（﹣1）
＝4+2
＝6，
故选：D．
8．解：∵x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△≥0即4（k+2）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≥﹣2；
∵x1、x2是x2﹣2（k+2）x+k2+2k＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2k+4，x1?x2＝k2+2k，
x12+x22﹣x1?x2+1＝（x1+x2）2﹣3x1?x2+1＝（2k+4）2﹣3（k2+2k）+1＝k2+10k+17＝（k+5）2﹣8，
当k≥﹣2时，（k+5）2﹣8的值随k的增大而增大，
∴k＝﹣2时，x12+x22﹣x1?x2+1的值最小为（﹣2+5）2﹣8＝1．
故选：C．
9．解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，
∴则a2+b2+a+b＝（a2+a）+（b2+b）＝2021+2021＝4042．
故选：D．
10．解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+6x﹣2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝62﹣4（k+1）×（﹣2）＞0且k+1≠0，
解得：k＞﹣且k≠﹣1，
∴k的取值范围是k＞﹣且k≠﹣1，
故答案为：k＞﹣且k≠﹣1．
11．解：∵关于x的方程kx2﹣2x+1＝0有一个实数根，
∴k＝0，则原方程可化为﹣2x+1＝0，
故答案为：0．
12．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2+4a2＞0．
∴a是任意实数．
根据题意知，x1+x2＝2，x1?x2＝﹣a2，
则由+＝﹣8得：＝＝﹣8．
解得a＝±．
故答案是：2；±．
13．解：根据题意，知x1+x2＝3x2＝3，则x2＝1，
将其代入关于x的方程x2﹣3x+k＝0，得12﹣3×1+k＝0．
解得k＝2．
故答案是：2．
14．解：∵b2+2b﹣1＝0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b2，再乘﹣1变形为（）2﹣2?﹣1＝0，
∵ab≠1，
∴a和可看作方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴a+＝2，
∴＝a+1+＝2+1＝3．
故答案为：3．
15．解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2019＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，m2+2m﹣2019＝0，
∴m2+2m＝2019，
∴m2+3m+n＝m2+2m+m+n＝2019﹣2＝2017，
故答案为2017．
16．解：∵方程x2﹣mx﹣1＝0的两根为x1、x2，
∴由根与系数的关系得：x1+x2＝m，x1x2＝﹣1，
∵|x1﹣x2|＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
m2+4＝9，
解得：m＝，
∵当m＝±时，判别式△≥0，
∴m＝都符合，
故答案为：．
17．解：设方程的另一个根为a，
则由根与系数的关系得：（1+）+a＝2，
解得：a＝1﹣，
即方程的另一个根为1﹣，
故答案为：1﹣．
18．解：由根与系数的关系得an+bn＝n+2，an?bn＝﹣2n2，
所以（an﹣2）（bn﹣2）＝anbn﹣2（an+bn）+4＝﹣2n2﹣2（n+2）+4＝﹣2n（n+1），
则＝﹣＝﹣（﹣），
∴＝﹣[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝﹣×（﹣）＝﹣×＝﹣．
故答案为：﹣．
19．解：根据题意得：α+β＝1，
α3﹣2021α﹣β
＝α（α2﹣2020）﹣（α+β）
＝α（α2﹣2020）﹣1，
∵α2﹣α﹣2019＝0，
∴α2﹣2020＝α﹣1，
把α2﹣2020＝α﹣1代入原式得：
原式＝α（α﹣1）﹣1
＝α2﹣α﹣1
＝2019﹣1
＝2018，
∴α3﹣2021α﹣β+1＝2018+1＝2019，
故答案为：2019．
20．（1）解：把x＝2代入方程x2+ax﹣2＝0，得到22+2a﹣2＝0，
解得a＝﹣1；
（2）证明：∵Δ＝a2﹣4×（﹣2）＝a2+8＞0，
∴一元二次方程x2+ax﹣2＝0有两个不相等的实数解．
21．（1）证明：∵Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×（2m﹣8）
＝m2﹣4m+4﹣8m+32
＝m2﹣12m+36
＝（m﹣6）2．
∵（m﹣6）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：用因式分解法解此方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0，
可得（x﹣2）（x﹣m+4）＝0，解得x1＝2，x2＝m﹣4，
若方程有一个根为负数，则m﹣4＜0，
故m＜4．
22．解：（1）在方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0中，
∵Δ＝（a﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＝a2+4，
∵a2+4≥4，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个根分别为α和β，
由根与系数的关系得：，
解得：a＜0．
23．解：（1）Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴，
解得：k＝0或3．
24．解：（1）根据题意得k≠0且Δ＝（1﹣2k）2﹣4k（k﹣2）＞0，
解得k＞﹣且k≠0；
（2）∵k取满足（1）中条件的最小整数，
∴k＝1．此时方程变为x2﹣x﹣1＝0，
∴α+β＝1，αβ＝﹣1，
∵α2﹣α﹣1＝0，β2﹣β﹣1＝0，
∴α2＝α+1，β2＝β+1，
∴α3＝α2+α＝α+1+α＝2α+1，
∴α3+β2+β+2017
＝2α+1+β+1+β+2017
＝2（α+β）+2019
＝2×1+2019
＝2021．
25．解：（1）①解方程得：（x﹣3）（x+2）＝0，
x＝3或x＝﹣2，
∵2≠﹣3+1，
∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；
②x＝＝，
∵＝+1，
∴2x2﹣2x+1＝0是“邻根方程”；
（2）解方程得：（x﹣m）（x+1）＝0，
∴x＝m或x＝﹣1，
∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1，
∴m＝0或﹣2；
（3）解方程得x＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，
∴﹣＝1，
∴b2＝a2+4a，
∵t＝12a﹣b2，
∴t＝8a﹣a2＝﹣（a﹣4）2+16，
∵a＞0，
∴a＝4时，t的最大值为16．
26．解：（1）2x2+x﹣1＝0，
（2x﹣1）（x+1）＝0，
解得x1＝和x2＝﹣1，
故一元二次方程2x2+x﹣1＝0
不是（填“是”或“不是”）“倍根方程”．
（2）由题意可知：x＝m与x＝2m是方程x2﹣3x+c＝0的解，
∴m2﹣3m+c＝0，4m2﹣6m+c＝0，
∴m＝1，c＝2；
（3）设x＝m与x＝2m是方程ax2+bx+c＝0的解，
∴2m+m＝﹣，2m2＝，
∴消去m得：2b2＝9ac，
（4）由（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，
且该方程的两根分别为x＝2和x＝，
∴＝4或＝1，
当n＝4m时，
原式＝（m﹣n）（4m﹣n）＝0
当n＝m时，
原式＝（m﹣n）（4m﹣n）＝0．
故答案为：不是；2；2b2＝9ac．