2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定 知识点分类训练（word版、含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
知识点分类训练（附答案）
一．正方形的性质
1．如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'，若两个三角形的重叠部分的面积为1，则它移动的距离AA'等于（　　）
A．0.5
B．1
C．1.5
D．2
2．如图，有两个正方形A，B，现将B放置在A的内部得到图甲．将A，B并列放置，以正方形A与正方形B的边长之和为新的边长构造正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（　　）
A．13
B．14
C．15
D．16
3．如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO．若AB＝4，AO＝6，则AC的长等于（　　）
A．12
B．16
C．8+6
D．4+6
4．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH．则线段GH的长（　　）
A．
B．10﹣5
C．2
D．
5．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交GF于点P，则PT的长为（　　）
A．
B．
C．2
D．1
6．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（　　）
A．60°
B．67.5°
C．75°
D．54°
7．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE，其中正确结论有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
8．正方形ABCD和正方形BPQR的面积分别为16、25，它们重叠的情形如图所示，其中R点在AD上，CD与QR相交于S点，则四边形RBCS的面积为（　　）
A．8
B．
C．
D．
9．如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　　）
A．5
B．7
C．7
D．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为点G，连接CG，下列说法：①AG＞GE；②AE＝BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值﹣1．其中正确的说法有（　　）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
11．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为何？（　　）
A．50°
B．55°
C．70°
D．75°
12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）
A．1
B．
C．4﹣2
D．3﹣4
13．如图所示，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB＝4，AO＝6，那么AC＝　
　．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为　
　．
15．如图，Rt△ABO中，∠ABO＝90°，AB＝4，BO＝2．以AB为边作正方形ABCD．点M是边BC上一动点，连接AM，过O作AM的垂线，垂足为N，连接CN．则线段CN的最小值是　
　．
16．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是　
　．
17．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）若AB＝6，DE＝2，求AG的长．
18．在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE＝DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
19．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF＝BE．
20．如图，已知四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形．求证：∠CBF＝∠CDG．
21．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接AE，以AE为一边，在AE的上方作正方形AEFG，连接DG．求证：AB＝CE+DG．
22．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．
求证：AE＝BF．
23．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．
二．正方形的判定
24．已知?ABCD，其对角线的交点为O，则下面说法正确的是（　　）
A．当OA＝OB时?ABCD为矩形
B．当AB＝AD时?ABCD为正方形
C．当∠ABC＝90°时?ABCD为菱形
D．当AC⊥BD时?ABCD为正方形
25．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
26．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　）
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
27．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．
28．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为正方形？（写出条件即可，不要求证明）
三．正方形的判定与性质
29．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作CE∥BD，DE∥AC．求证：四边形OCED是正方形．
30．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．
（1）求证：四边形MANP是正方形；
（2）求证：EM＝BN．
参考答案
一．正方形的性质
1．解：
设AC交A'B'于点H，
∵∠A＝45°，∠D＝90°
∴△A'HA是等腰三角形
设AA'＝x，则阴影部分的底A'H＝x，高A'D＝2﹣x
∴若两个三角形的重叠部分的面积为1
则x（2﹣x）＝1
∴x＝1
即AA'＝1
故选：B．
2．解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，
由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，2ab＝12，
所以a2+b2＝13，
故选：A．
3．解：在AC上取一点G使CG＝AB＝4，连接OG
∵∠ABO＝90°﹣∠AHB，∠OCG＝90°﹣∠OHC，∠OHC＝∠AHB
∴∠ABO＝∠OCG
∵OB＝OC，CG＝AB
∴△OGC≌△OAB
∴OG＝OA＝6，∠BOA＝∠GOC
∵∠GOC+∠GOH＝90°
∴∠GOH+∠BOA＝90°
即：∠AOG＝90°
∴△AOG是等腰直角三角形，AG＝12（勾股定理）
∴AC＝16．
故选：B．
4．解：如图，延长BG交CH于点E，
∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，
∴AG2+BG2＝AB2，
∴△ABG和△DCH是直角三角形，
在△ABG和△CDH中，
，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠AGB＝∠CHD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，
又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，
在△ABG和△BCE中，
，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，
∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，
同理可得HE＝2，
在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，
故选：C．
5．解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
∴∠ADB＝∠CGE＝45°，
∴∠GDT＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠DTG＝180°﹣∠GDT﹣∠CGE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△DGT是等腰直角三角形，
∵两正方形的边长分别为4，8，
∴DG＝8﹣4＝4，
∴DT＝GT＝×4＝2．
故选：B．
6．解：如图，连接DF、BF．
∵FE⊥AB，AE＝EB，
∴FA＝FB，
∵AF＝2AE，
∴AF＝AB＝FB，
∴△AFB是等边三角形，
∵AF＝AD＝AB，
∴点A是△DBF的外接圆的圆心，
∴∠FDB＝∠FAB＝30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠DBC＝45°，
∴∠FAD＝∠FBC，
∴△FAD≌△FBC，
∴∠ADF＝∠FCB＝15°，
∴∠DOC＝∠OBC+∠OCB＝60°．
解法二：连接BF．易知∠FCB＝15°，∠DOC＝∠OBC+∠FCB＝45°+15°＝60°
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．
∴∠BAE+∠DAF＝30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF（故①正确）．
∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°（故②正确），
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正确）．
设EC＝x，由勾股定理，得
EF＝x，CG＝x，
AG＝x，
∴AC＝，
∴AB＝，
∴BE＝﹣x＝，
∴BE+DF＝x﹣x≠x，（故④错误），
∵S△CEF＝x2，
S△ABE＝x2，
∴2S△ABE＝x2＝S△CEF，（故⑤正确）．
综上所述，正确的有4个，
故选：C．
8．解：∵正方形ABCD的面积为16，正方形BPQR面积为25，
∴正方形ABCD的边长为4，正方形BPQR的边长为5，
在Rt△ABR中，AB＝4，BR＝5，由勾股定理得：AR＝3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝∠BRQ＝90°，
∴∠ABR+∠ARB＝90°，∠ARB+∠DRS＝90°，
∴∠ABR＝∠DRS，
∵∠A＝∠D，
∴DS＝
∴阴影部分的面积S＝S正方形ABCD﹣S△ABR﹣S△RDS＝4×4﹣﹣＝
故选：D．
9．解：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．
由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD＝AM，
∴当AM的值最大时，AD的值最大，
∵AM≤AC+CM，
∴AM≤7，
∴AM的最大值为7，
∴AD的最大值为，
故选：D．
10．解：∵在正方形ABCD中，BF⊥AE，
∴∠AGB保持90°不变，
∴G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，
∴当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，
∴AG＝GE，故①错误；
∵BF⊥AE，
∴∠AEB+∠CBF＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴故②正确；
∵当E点运动到C点时停止，
∴点G运动的轨迹为圆，
圆弧的长＝π×2＝π，故③错误；
由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，
OC＝＝，
CG的最小值为OC﹣OG＝﹣1，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．
故选：C．
11．解：∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF＝90°，
∵∠CED＝180°﹣∠AEF﹣∠CEF＝180°﹣15°﹣90°＝75°，
∴∠D＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣75°﹣35°＝70°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D＝70°（平行四边形对角相等）．
故选：C．
12．解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∵∠BAE＝22.5°，
∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE＝4，
∵正方形的边长为4，
∴BD＝4，
∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4，
∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝BE＝×（4﹣4）＝4﹣2．
故选：C．
13．解：在AC上截取CG＝AB＝4，连接OG，
∵四边形BCEF是正方形，∠BAC＝90°，
∴OB＝OC，∠BAC＝∠BOC＝90°，
∴B、A、O、C四点共圆，
∴∠ABO＝∠ACO，
∵在△BAO和△CGO中
，
∴△BAO≌△CGO，
∴OA＝OG＝6，∠AOB＝∠COG，
∵∠BOC＝∠COG+∠BOG＝90°，
∴∠AOG＝∠AOB+∠BOG＝90°，
即△AOG是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AG＝＝12，
即AC＝12+4＝16，
故答案为：16．
14．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
在△PDH与△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝2，
∴AP＝AD﹣PD＝2，
∴PE＝＝＝4，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝2．
15．解：点N在以AO的中点Q为圆心，AO为直径的圆上，连接CQ与圆Q的交点即为点N，此时线段CN的值最小，
∠ABO＝90°，AB＝4，BO＝2，
∴AO＝＝＝2，
∴QN＝AO＝，
过Q作QH∥AB，交OB于H，
∴QH＝AB＝2，BH＝OB＝1，
∴CQ＝＝＝，
∴CN＝CQ﹣QN＝﹣，
则线段CN的最小值是﹣．
故答案为：﹣．
16．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H为AF的中点，
∴CH＝AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，
∴CH＝，
故答案为：．
17．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，
∵DE＝CF，
∴AE＝DF，
在△BAE和△ADF中
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠DAF＝∠ABE，
∵∠BAG+∠DAF＝90°，
∵∠BAG+∠ABE＝90°，
∴∠AGB＝90°，
即AF⊥BE；
（2）由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AB＝6，DE＝2，
∴AE＝4，
∴BE＝＝＝2，
在Rt△ABE中，AB?AE＝BE?AG，
AG＝＝
18．证明：（1）∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABE＝∠ADF，
在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）连接AC，
四边形AECF是菱形．
理由：∵正方形ABCD，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，
∴OB+BE＝OD+DF，
即OE＝OF，
∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
19．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠BCE+∠CBG＝90°，
∵∠ABF+∠CBG＝90°，
∴∠BCE＝∠ABF，
在△BCE和△ABF中
，
∴△BCE≌△ABF（ASA），
∴BE＝AF．
20．证明：∵四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形，
∴CB＝CD，CF＝CG，∠BCD＝∠FCG＝90°，
∴∠BCF+∠DCF＝∠DCF+∠DCG＝90°，
∴∠BCF＝∠DCG，
在△BCF和△DCG中，
，
∴△BCF≌△DCG（SAS），
∴∠CBF＝∠CDG．
21．证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG均是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△ABE≌△ADG（SAS）；
∴BE＝DG．
∵AB＝BC＝CE+EB＝CE+DG，
即AB＝CE+DG．
22．证明：在正方形ABCD中，
AB＝BC＝CD＝DA，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵CE＝DF，
∴BE＝CF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（SAS），
∴AE＝BF．
23．解：（1）结论：AG2＝GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA＝GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF＝GE，
在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2+CF2，
∴AG2＝GF2+GE2．
（2）过点A作AH⊥BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠GBF＝45°，
∵GF⊥BC，
∴∠BGF＝45°，
∵∠AGF＝105°，
∴∠AGB＝∠AGF﹣∠BGF＝105°﹣45°＝60°，
在Rt△ABH中，∵AB＝1，
∴AH＝BH＝，
在Rt△AGH中，∵AH＝，∠GAH＝30°，
∴HG＝，
∴BG＝BH+HG＝+．
解法二：如图，过点B作BN⊥AG于N，在BN上截取BM，使得BM＝AM，设AN＝x．
∵∠AGF＝105°，∠GBF＝∠FGB＝∠ABG＝45°，
∴∠AGB＝60°，∠GBN＝30°，∠ABM＝∠BAM＝15°，
∴∠AMN＝∠ABM+∠BAM＝30°，
∴AM＝BM＝2x，MN＝x，
在Rt△ABN中，则有1＝x2+（2x+x）2，
解得x＝，
∴BN＝，
∴BG＝．
二．正方形的判定
24．解：A、当OA＝OB时，可得到?ABCD为矩形，故此选项正确；
B、当AB＝AD时?ABCD为菱形，故此选项错误；
C、当∠ABC＝90°时?ABCD为矩形，故此选项错误；
D、当AC⊥BD时?ABCD为菱形，故此选项．
故选：A．
25．解：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确；
对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；
对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确；
对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确；
故选：D．
26．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选：B．
27．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，
∵∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
28．（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠ECD．
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
在△AEF与△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）四边形AFBD为矩形；
证明：∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形AFBD为平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°，
∴四边形AFBD为矩形；
（3）AB＝AC，且∠BAC＝90°；
证明：∵AB＝AC，且∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝45°，
∴AD＝DB，
∴四边形AFBD为正方形．
三．正方形的判定与性质
29．证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，
∴四边形OCED是正方形．
30．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴∠PMA＝∠PNA＝90°，
∴四边形MANP是矩形，
∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM＝PN，
∴四边形MANP是正方形；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴PM＝PN，∠MPN＝90°，
∵∠EPB＝90°，
∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，
∴∠MPE＝∠NPB，
在△EPM和△BPN中，
∵，
∴△EPM≌△BPN（ASA），
∴EM＝BN．