2021-2022学年北师大版九年级数学上册第2章一元二次方程 同步能力达标测评（word版、含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》
同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．下列方程为一元二次方程的是（　　）
A．2x﹣
B．2x2﹣y+5＝0
C．ax2+bx+c＝0
D．4x2﹣+7＝0
2．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．﹣1或2
B．﹣1
C．2
D．0
3．用配方法解方程x2+10x+16＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x﹣10）2＝9
B．（x﹣5）2＝9
C．（x+5）2＝9
D．（x+10）2＝9
4．一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
5．已知m、n是方程x2+5x﹣2＝0的两个实数根，则m2+6m+n﹣2mn的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．﹣5
D．5
6．某地区举办的篮球比赛共有x支球队参加，每两队之间都只进行一场比赛，共进行了45场比赛，则下列方程中符合题意的是（　　）
A．x（x﹣1）＝45
B．x（x+1）＝45
C．x（x﹣1）＝45
D．x（x+1）＝45
7．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（　　）
A．b＝c
B．a＝b
C．a＝c
D．a＝b＝c
8．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是
（　　）
A．24
B．24或8
C．48或16
D．8
9．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　）
A．7
B．﹣1
C．7或﹣1
D．﹣5或3
10．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝mx+m的图象不经过（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．关于x的方程（m﹣1）x|m|+1+3x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为　
　．
12．方程（3x﹣1）（2x+4）＝2化为一般形式是　
　，其中二次项系数为　
　，一次项系数为　
　．
13．已知﹣3是关于x的一元二次方程ax2﹣2x+3＝0的一个解，则此方程的另一个解为　
　．
14．已知代数式2x（x+1）与代数式3x﹣3的值互为相反数，则x的值为　
　．
15．关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，其中k为非正整数，则k等于　
　．
16．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是　
　．
三．解答题（共10小题，满分66分）
17．用配方法解方程：x2+4x﹣7＝0．
18．解一元二次方程：2x2﹣2x﹣1＝0．
19．解方程：5x（x﹣2）＝2（x﹣2）．
20．已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．
（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？
21．已知关于x的方程x2+ax﹣2＝0的一个解与方程＝4的解相同．
（1）求a的值；
（2）求方程x2+ax﹣2＝0的另一个根．
22．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0．
（1）求证：对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有实数根．
（1）若1是方程的一个根，求出一元二次方程的另一根；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且＝3，求m的值．
24．已知关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，且该方程的两个根都是整数，求m的值．
25．设a，b，c是△ABC的三边长，关于x的方程有两个相等的实数根，方程3cx+2b＝2a的根为0．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）若a，b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值．
26．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：A、2x﹣x2﹣＝0是一元二次方程，所以A选项正确；
B、2x2﹣y+5＝0，含有两个未知数，所以B选项错误；
C、a＝0时，不是一元二次方程，所以C选项错误；
D、方程不是整式方程，所以D选项错误．
故选：A．
2．解：把x＝1代入（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0得：
m﹣2+4﹣m2＝0，
﹣m2+m+2＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣1，
∵（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣1，
故选：B．
3．解：∵x2+10x＝﹣16，
∴x2+10x+25＝﹣16+25，即（x+5）2＝9，
故选：C．
4．解：∵x2﹣3x+6＝0，
Δ＝（﹣3）2﹣4×1×6＝﹣6＜0，
∴方程没有实数根，
即一元二次方程x2﹣3x+6＝0的根的情况为没有实数根，
故选：D．
5．解：由题意可知：m+n＝﹣5，mn＝﹣2，
m2+5m﹣2＝0，
∴原式＝m2+5m+m+n﹣2mn＝2+（﹣5）+4＝1，
故选：A．
6．解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）＝45，
故选：A．
7．把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0得出a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，
∴a＝c，
故选：C．
8．解：∵x2﹣16x+60＝0，
∴（x﹣6）（x﹣10）＝0，
解得：x1＝6，x2＝10，
当x＝6时，则三角形是等腰三角形，如图①，AB＝AC＝6，BC＝8，AD是高，
∴BD＝4，AD＝＝2，
∴S△ABC＝BC?AD＝×8×2＝8；
当x＝10时，如图②，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
S△ABC＝BC?AC＝×8×6＝24．
∴该三角形的面积是：24或8．
故选：B．
9．解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7
故选：A．
10．解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0无实数根，
∴m≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＜0，
∴m＜﹣1，
∵一次函数y＝mx+m的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．解：∵关于x的方程（m﹣1）x|m|+1+3x﹣2＝0是一元二次方程，
∴|m|+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1
12．解：方程（3x﹣1）（2x+4）＝2化为一般形式是：
3x2+5x﹣3＝0，
其中二次项系数为：3，
一次项系数为：5．
故答案为：3x2+5x﹣3＝0，3，5．
13．解：将x＝﹣3代入方程得9a+6+3＝0，
解得a＝﹣1，
则方程为﹣x2﹣2x+3＝0，
设方程的另一个根为x2，
则﹣3+x2＝﹣2，
解得x2＝1，
故答案为：x＝1．
14．解：根据题意，得：2x（x+1）+3x﹣3＝0，
整理，得：2x2+5x﹣3＝0，
则（x+3）（2x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或2x﹣1＝0，
解得x＝﹣3或x＝0.5，
故答案为：﹣3或0.5．
15．解：①当k＝0时，原方程化为：﹣2x﹣1＝0，
解得：x＝﹣，故k＝0符合题意；
②当k≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，
∵有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）＝4+4k≥0，
解得：k≥﹣1，
∵k为非正整数，k≠0，
∴k＝﹣1．
综上，k＝0或k＝﹣1．
故答案为：0或﹣1．
16．解：设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，
依题意，得（x+7+x）2＝10（x+7）+x
整理得：4x2+17x﹣21＝0
解得：x1＝1，x2＝﹣（舍去）
所以，x＝1，x+7＝8．
答：这个两位数是81．
三．解答题（共10小题，满分66分）
17．解：移项得x2+4x＝7，
配方得x2+4x+4＝7+4，即（x+2）2＝11，
开方得x+2＝±，
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
18．解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，
这里a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
∵b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝4+8＝12＞0，
∴x＝＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
19．解：5x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（5x﹣2）＝0，
x﹣2＝0或5x﹣2＝0，
所以x1＝2，x2＝．
20．解：
（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元二次方程，
∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，
即当m≠±1时，方程为一元二次方程；
（2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元一次方程，
∴m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，
即当m为﹣1时，方程为一元一次方程．
21．解：（1）解方程＝4，得x＝2，
经检验x＝2是方程的解．
把x＝2代入方程x2+ax﹣2＝0，
得：22+2a﹣2＝0，
解得：a＝﹣1；
（2）由（1）知方程x2+ax﹣2＝0化为：x2﹣x﹣2＝0，
方程的一个根为2，则设它的另一根为x2，
则有：2x2＝﹣2，
解得x2＝﹣1．
22．（1）证明：在方程x2﹣（t﹣1）x+t﹣2＝0中，Δ＝[﹣（t﹣1）]2﹣4×1×（t﹣2）＝t2﹣6t+9＝（t﹣3）2≥0，
∴对于任意实数t，方程都有实数根；
（2）解：设方程的两根分别为m、n，
∵方程的两个根互为相反数，
∴m+n＝t﹣1＝0，
解得：t＝1．
∴当t＝1时，方程的两个根互为相反数．
23．解：（1）∵1是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0的一个根，
∴设α是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0的另一个根，
∴1+α＝4，
∴α＝3
∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0的另一个根是3；
（2）x1，x2是方程x2﹣4x+m+1＝0的两个实数根，
∴Δ＝16﹣4（m+1）≥0，
∴m≤3，
又∵＝3，
而x1+x2＝4，且x1x2＝m+1，
∴＝，
解得，
经检验，m＝是原方程的解，
∵＜3，
即m的值是
．
24．解：（1）∵一元二次方程x2+3x+m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×m＝9﹣4m＞0，
解得，m＜；
（2）∵m＜，m是正整数，
∴m＝1或2，
当m＝1时，原方程化为x2+3x+1＝0，该方程的根不是整数，
当m＝2时，原方程化为x2+3x+2＝0，
解方程得，x1＝﹣1，x2＝﹣2，该方程的根是整数，
∴m＝2．
25．（1）证明：∵方程x2+2x+2c﹣a＝0有两个相等的实数根，
∴（2）2﹣4（2c﹣a）＝0，（1分）
∴b+a＝2c，（1分）
∵方程3cx+2b＝2a的根为0，
∴b＝a，（1分）
∴b＝a＝c，
∴△ABC为等边三角形；
（2）解：∵a，b为方程
x2+mx﹣3m＝0的两根，
又∵由（1）a＝b，
∴m2﹣4×（﹣3m）＝0
∴m1＝0，m2＝﹣12．
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a＞0，
∴m＝﹣12．
26．解：设t秒后，则：AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm；BQ＝2
tcm．
（1）S△PBQ＝BP×，即4＝（5﹣t），
解得：t＝1或4．（t＝4秒不合题意，舍去）
故：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）PQ＝5，则PQ2＝25＝BP2+BQ2，即25＝（5﹣t）2+（2t）2，t＝0（舍）或2．
故2秒后，PQ的长度为5cm．
（3）令S△PQB＝7，即：BP×＝7，（5﹣t）×＝7，
整理得：t2﹣5t+7＝0．
由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，则方程没有实数根．
所以，在（1）中，△PQB的面积不等于7cm2．