2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.6应用一元二次方程 同步能力提升训练（word版、含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.6应用一元二次方程》
同步能力提升训练（附答案）
一、填空题
1．目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2020年底有5G用户2万户，计划到2022年底全市5G用户数累积到达到9.5万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x的值为
　
　．
2．某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有
　
　个班级．
3．如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为160m2，则小路的宽度为　
　m．
4．小明的叔叔家承包了一个长方形的鱼池，这个长方形鱼池的面积为40平方米，其对角线长为10米．为建栅栏，那么这个长方形鱼池的周长是　
　米．
5．有一张长40cm，宽30cm的长方形硬纸片（如图1），截去四个全等的小正方形之后，折成无盖的纸盒（如图2）．若纸盒的底面积为600cm2，则纸盒的高为　
　．
6．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为　
　．
7．如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为　
　cm．
8．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了　
　个人．
9．如图，在一个长20m，宽10m的矩形草地内修建宽度相等的小路（阴影部分），若剩余草地（空白部分）的面积171m2，则小路的宽度为　
　m．
10．如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是　
　厘米．
11．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．当y＝﹣1时，n＝　
　．
12．一个凸多边形共有9条对角线，则这个多边形的边数是　
　．
13．如图，邻边不等的长方形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是5m．EF处开一门，宽度为1m，若长方形ABCD的面积为4m2，则AB的长度是　
　m（可利用的围墙长度超过4m）．
如图Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动，同时动点Q从点C开始，以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB、BA边上向点A运动，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ．在运动过程中（Q点在C、B、A三点除外），线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形，若四边形的面积为三角形面积的2倍，则运动的时间为
　秒．
二、解答题
15．随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车也进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，三月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到64次．
（1）若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；
（2）从六月份起，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价a元，全天包车数增加1.6a次，当租金降价多少元时，公司将获利8800元？
16．如图是一张长24cm，宽12cm的矩形铁皮，将其剪去一个小正方形和两个矩形，剩余部分（阴影部分）恰好可制成一个有盖的长方体铁盒．
（1）a＝　
　；
（2）若铁盒底面积是80cm2，求剪去的小正方形边长．
17．利好家电商场销售某种品牌的空调扇：据市场调查：每台空调扇按480元销售时，每天可销售160台；若销售单价每降低1元，每天可多销售2台，已知每台空调扇的成本价为360元．
（1）根据题意完成下列表格：
每台降价（元）
每台售价（元）
每台利润（元）
销售数量（元）
每天利润（元）
10
470
110
　
　
　
　
x
　
　
　
　
　
　
　
　
（2）该品牌的空调扇的销售单价为多少元时，利好商场每天可获利18200元？
18．7至9月份“铁岭莲花湿地公园”迎来了荷花的盛放期，来此观赏荷花的游客络绎不绝，由此带动了湿地周边的餐饮服务业的发展；“听荷坊”宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y（间）与其价格x（元）（180≤x≤300）满足一次函数关系，部分对应值如表：
x（元）
180
260
280
300
y（间）
100
60
50
40
（1）请求出y与x的函数关系式；
（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元，每日空置的客房需支出各种费用60元；当房价为多少元时，宾馆当日可获利8450元？
19．为了满足市场上的口罩需求，某厂购进A、B两种口罩生产设备若干台，已知购买A种口罩生产设备共花费360万元，购买B种口罩生产设备共花费480万元．购买的两种设备数量相同，且两种口罩生产设备的单价和为140万元．
（1）求A、B两种口罩生产设备的单价；
（2）已知该厂每生产一盒口罩需要各种成本40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，每天可以售出500盒．后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价1元，则口罩的销量每天减少20盒，要保证每天销售口罩盈利6000元，且规避过高涨价风险，则每盒口罩可涨价多少元？
20．某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件．如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫应提价多少元？
（1）设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为　
　元，销售量为　
　件．
（2）列方程并完成本题的解答．
21．如图，在一块长AB＝80米，宽AD＝60米的矩形空地ABCD上修建两条水平和一条铅直道路，已知水平道路和铅直道路的宽之比为3：4，剩余空地面积为3456平方米．
（1）请你计算水平和铅直道路的宽分别是多少米．
（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，宽度也随之改变为铅直道路的宽度，也能保证剩余空地面积为3456平方米，你能说明理由吗？
22．列方程（组）解应用题
某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
23．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少件？
24．如图，用99米长的木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，墙长MN为20米，其中AD≤MN，BC边上留了一个宽1米的进出口，设AD边长为x米．
（1）用含x的代数式表示AB的长．
（2）若矩形菜园ABCD的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长．
25．为了节省材料，某农户利用一段足够长的墙体为一边，用总长为120m的围网围成如图所示的①②③三块矩形区域，其中AE＝2BE．当BC的边长x为何值时，矩形ABCD面积达到675m2？
参考答案
1．解：设全市5G用户数年平均增长率为x，
依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝9.5，
整理得x2+3x﹣1.75＝0，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣3.5（不合题意，舍去）．
故答案为：50%．
2．解：设八年级有x个班，
依题意得：x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
则该校八年级有8个班级．
故答案为：8．
3．解：如图，设修建的小路宽应为x米，
则新的草坪面积等于矩形DEFG的面积，
即得到方程：（24﹣2x）×（10﹣x）＝160，
整理得：x2﹣22x+40＝0，解得x＝20或x＝2．
但x＝20不合题意，舍去，
所以修建的小路宽应为2米．
故答案为：2．
4．解：设矩形的长是a，宽是b，
根据题意，得：
，
②+①×2，得（a+b）2＝180，即a+b＝6，
∴2（a+b）＝6×2＝12（米）．
答：矩形的周长是12米．
故答案为：12．
5．解：设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，可列方程：
（40﹣2x）（30﹣2x）＝600，
解得：x1＝5，x2＝30（舍去），
∴纸盒的高为5cm，
故答案为：5cm．
6．解：设有x个队参赛，
x（x﹣1）＝90．
故答案为：x（x﹣1）＝90．
7．解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：
，
解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，
代入ab＝24中，得：
（10﹣2x）（6﹣x）＝24，
整理得：x2﹣11x+18＝0，
解得x＝2或x＝9（舍去），
答：剪去的正方形的边长为2cm．
故答案为：2．
8．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得
x+1+（x+1）x＝169
x＝12或x＝﹣14（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．
故答案为：12．
9．解：设小路的宽度为xm，根据题意列方程得
（20﹣x）（10﹣x）＝171，
整理得：x2﹣30x+29＝0，
解得：x1＝1，x2＝29（不合题意，舍去）．
故小路的宽度为1m．
故答案为：1．
10．解：设正方形的边长为x厘米，则矩形的一边长为2x厘米，另一边长为（x﹣1）厘米，
由题意得，2x（x﹣1）﹣x2＝8，
整理得，x2﹣2x﹣8＝0，
解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝4，
故答案为：4．
11．解：根据题意，可得：x2+2x＝m，2x+3＝n，m+n＝y，
∵y＝﹣1，
∴x2+2x+2x+3＝﹣1，
∴x2+4x+4＝0，
∴（x+2）2＝0，
∴x+2＝0，
解得x＝﹣2，
∴n＝2x+3＝2×（﹣2）+3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．解：设多边形有n条边，
则＝9，
解得n1＝6，n2＝﹣3（舍去），
故这个多边形的边数为6．
13．解：设AB长为xm，则BC长为（5+1﹣2x）m．
依题意得x（5+1﹣2x）＝4，
整理得x2﹣3x+2＝0，
解方程得x1＝1，x2＝2．
所以当x＝1时，6﹣2x＝4；
当x＝2时，6﹣2x＝2（舍去）．
答：AB的长为1m．
故答案为：1．
14．解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10
设运动的时间为t，则AP＝t，点Q所走的路程为2t，
1）当点Q在BC线段上运动时，0＜t＜5，
如图所示，过点Q作QG⊥AC，交AC于点G，
则sinC＝＝
∴QG＝×2t＝
∵S△ABC＝6×8÷2＝24
若四边形的面积为三角形面积的2倍，则S△PQC＝24×＝8
∴（8﹣t）×÷2＝8
化简得3t2﹣24t+40＝0
解得t1＝4﹣，t2＝4+（舍）
2）当点Q在BA线段上运动时，5＜t＜8，
如图所示，
S△APQ＝AP?AQ＝t（10+6﹣2t）＝8
化简得：t2﹣8t+8＝0
解得t3＝4﹣2（舍），t4＝4+2．
故答案为：4﹣或4+2．
15．解：（1）设全天包车数的月平均增长率为x，
根据题意可得：25（1+x）2＝64，
解得：x1＝0.6＝60%，x2＝﹣2.6（不合题意舍去），
答：全天包车数的月平均增长率为60%；
（2）根据题意可得：（120﹣a）（64+1.6a）＝8800，
化简得：a2﹣80a+700＝0，
解得：a1＝10，a2＝70．
答：当租金降价10元或70元时，公司将获利8800元．
16．解：（1）设底面长为mcm，宽为ncm，正方形的边长为xcm，根据题意得：
，
由②③得2a＝24，解得a＝12（cm），
故答案为：12cm；
（2）根据题意，得
mn＝80，
由，得
由①得，n＝12﹣2x，
把a＝12代入②得m＝12﹣x，
再把m和n代入mn＝80中，得
（12﹣x）（12﹣2x）＝80，
解得x＝2或x＝16（舍去）．
答：剪去的小正方形边长为2cm．
17．解：（1）当每台降价10元时，销售数量为160+2×10＝180（台），每天的利润为110×180＝19800（元）；
当每台降价x元时，每台售价为（480﹣x）元，每台的利润为480﹣x﹣360＝（120﹣x）元，销售数量为（160+2x）台，每天的利润为（120﹣x）（160+2x）＝（﹣2x2+80x+19200）元．
故答案为：180；19800；480﹣x；120﹣x；160+2x；﹣2x2+80x+19200．
（2）依题意，得：﹣2x2+80x+19200＝18200，
整理，得：x2﹣40x﹣500＝0，
解得：x1＝50，x2＝﹣10（不合题意，舍去），
当x＝50时，480﹣x＝430．
答：该品牌的空调扇的销售单价为430元时，利好商场每天可获利18200元．
18．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
把（180，100），（260，60）分别代入解析式，得
，
解得，
所以y与x的函数关系式为y＝﹣x+190（180≤x≤300）；
（2）由题意可知：
（x﹣100）（x+190）﹣60[100﹣（﹣x+190）]＝8450，
整理得：x2﹣420x+44100＝0，
解得x1＝x2＝210．
答：当房价为210元时，宾馆当日可获利8450元，
19．解：（1）设A种口罩生产设备的单价为x万元，则B种口罩生产设备的单价为（140﹣x）万元，依题意有
＝，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
则140﹣x＝140﹣60＝80．
答：A种口罩生产设备的单价为60万元，则B种口罩生产设备的单价为80万元；
（2）设每盒口罩可涨价m元，依题意有
（50﹣40+m）（500﹣20m）＝6000，
解得m1＝5，m2＝10（舍去）．
故每盒口罩可涨价5元．
20．解：（1）设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为（60+x）元，
销售量为（800﹣x）＝（800﹣20x）件．
故答案为（60+x）、（800﹣20x）．
（2）根据（1）得：
（60+x﹣50）（800﹣20x）＝12000
整理，得x2﹣30x+200＝0
解得：x1＝10，x2＝20．
为使顾客获得更多的优惠，
所以x＝10，60+x＝70，800﹣20x＝600．
答：这种衬衫应提价10元，则这种衬衫的销售价为70元，销售量为600件．
21．解：（1）设水平道路和铅直道路的宽分别为3x米和4x米，由题意有
（80﹣4x）（60﹣2×3x）＝3456，
解得x1＝28（舍去），x2＝2．
答：水平道路的宽为6米，铅直道路的宽为8米．
（2）每条水平道路的面积为80×6＝480（平方米），
每条铅直道路的面积为60×8＝480（平方米），
∴将水平道路改为铅直道路，也能保证剩余空地面积为3456平方米．
22．解：设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得
x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得
x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
23．解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，
解得：x1＝40，x2＝70，
∵销售单价不低于成本价，且不高于60元，
∴x＝40，
∴y＝﹣2x+160＝﹣2×40+160＝80（件）．
答：每天的销售量应为80件．
24．解：（1）AB＝＝（米）；
（2）依题意有
x?＝450，
解得x1＝10，x2＝90．
∵10＜20，90＞20，
∴x＝10．
故所利用旧墙AD的长为10米．
25．解：设BE＝a，则AE＝2a，AB＝3a．
根据题意得：2x+8a＝120，
∴a＝15﹣x．
∴AB＝3a＝45﹣x．
∴x（45﹣x）＝675．
解得：x1＝x2＝30m．
∴当BC＝30m时，矩形ABCD面积为675m2