2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定能力提升训练（word版、含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，则它的另一条对角线长为（　　）
A．10cm
B．10cm
C．5cm
D．5cm
2．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为10cm、24cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）cm．
A．
B．
C．
D．
3．如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为8，延长AB至E，BF平分∠CBE，点G是BF上任意一点，则△ACG的面积为（　　）
A．6
B．12
C．20
D．24
4．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）
A．4
B．
C．6
D．
5．如图，菱形ABCD中，在边AD、BC上分别截取DM＝BN，连接MN交AC于点O，连接DO，若∠BAC＝20°，则∠ODC的度数为（　　）
A．20°
B．40°
C．50°
D．70°
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连接OA．则四边形AOED的周长为（　　）
A．9+2
B．9+
C．7+2
D．8
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是（3，4），则点B的坐标为（　　）
A．（5，4）
B．（8，4）
C．（5，3）
D．（8，3）
8．如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）
A．AB＝CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．AD＝BC
9．如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为（　　）
A．4
B．4.8
C．5
D．5.5
10．如图，将菱形ABCD的一角折叠，折痕为BE，点A恰好落在点F处，∠FBC比∠ABE大80°．已知∠C＝60°，设∠ABE和∠FBC的度数分别为x和y，那么所适合的一个方程组是（　　）
A．B．C．D．
11．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝（　　）
A．30°
B．70°
C．30°或60°
D．40°或70°
12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
13．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，边AB＝8，E为边DA的中点，P为边CD上的一点，连接PE、PB，当PE＝EB时，线段PE的长为（　　）
A．4
B．8
C．4
D．4
14．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点P是AB边上的一个动点，点E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为（　　）
A．2
B．4
C．2
D．2
二、填空题
15．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是线段AD、BC的中点，G、H分别是线段BD、AC的中点，当四边形ABCD的边满足　
　时，四边形EGFH是菱形．
16．已知菱形的周长为4，两条对角线长的和为6，则菱形的面积为　
　．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的边长为8，∠AOB＝60°．点D是边OB上一动点，点E在BC上，且∠DAE＝60°．有下列结论：
①点C的坐标为（12，）；②BD＝CE；
③四边形ADBE的面积为定值；④当D为OB的中点时，△DBE的面积最小．
其中正确的有　
　．（把你认为正确结论的序号都填上）
18．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠BDC＝34°，则∠ECA＝　
　°．
19．如图，已知菱形ABCD的边长是10，点O是对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，若菱形一条对角线长为12，则图中阴影部分的面积为　
　．
20．如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1＝60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，做第二个菱形AB2C2D2，使∠B2＝60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3，使∠B3＝60°…则AD2＝　
　，依此类推这样做的第n个菱形ABn?nDn的边ADn的长是　
　．
21．如图，两个完全相同的菱形（四条边都相等的四边形）的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2019厘米后停下，则这只蚂蚁停在点　
　．
22．如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为　
　．（提示：根据轴对称的性质）
三、解答题
23．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE：AC＝1：2，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求AE的长．
24．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE＝AF，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．
（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；
（2）连接AG，若∠FGB＝30°，GB＝AE＝2，求AG的长．
25．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，DE＝2，求CF的长．
26．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为菱形ABCD内对角线BD左侧一点，连接BE、CE、DE．
（1）若AB＝6，求菱形ABCD的面积；
（2）若∠BED＝2∠A，求证：CE＝BE+DE．
参考答案
1．解：菱形ABCD如右图所示，
∵菱形ABCD的周长为40cm，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝10cm；
∵对角线BD＝10cm，
∴BO＝DO＝5cm；
在Rt△ADO中，
AO＝＝＝．
∴AD＝2AO＝．
故选：A．
2．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵对角线AC、BD的长分别为10cm，24cm，
∴AO＝CO＝5cm，BO＝DO＝12cm，
∴BC＝CD＝AB＝AD＝13cm，
∴AC×BD＝BC×AE，
∴AE＝＝＝（cm）．
故选：D．
3．解：如图所示，连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACB＝∠BCD，AB＝5，OA＝AC＝4，AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠BCD＝∠CBE，OB＝＝＝3，
∴△ABC的面积＝AC×OB＝×8×3＝12，
∵BF平分∠CBE，
∴∠CBF＝∠CBE，
∴∠ACB＝∠CBF，
∴AC∥BF，
∴△ACG的面积＝△ABC的面积＝12，
故选：B．
4．解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，
∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴×5×PE+×5×PF＝12，
∴PE+PF＝，
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠OAM＝∠OCN，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点O为BD与AC的交点，
∵∠ACD＝∠BAC＝20°，
∴∠ODC＝90°﹣∠ACD＝70°．
故选：D．
6．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝4，AB∥CD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ADB＝∠CDB＝30°，
∵O是对角线BD的中点，
∴AO⊥BD，
在Rt△AOD中，AO＝AD＝2，
OD＝OA＝2，
∵OE⊥CD，
∴∠DEO＝90°，
在Rt△DOE中，OE＝OD＝，
DE＝OE＝3，
∴四边形AOED的周长＝4+2++3＝9+．
故选：B．
7．解：∵点A的坐标是（3，4），
∴OA＝5，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB＝5，
则点B的坐标为（8，4）．
故选：B．
8．解：∵点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，
∴EG＝FH＝AB，EH＝FG＝CD，
∵当EG＝FH＝GF＝EH时，四边形EGFH是菱形，
∴当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．
故选：A．
9．解：设AC与BD的交点为O，
∵点P是BC边上的一动点，
∴AP⊥BC时，AP有最小值，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝BC×AP，
∴AP＝＝4.8，
故选：B．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，∠C＝60°，
∴∠ABC＝120°，
由折叠的性质可得2∠ABE+∠FBC＝120°，
∵设∠ABE和∠FBC的度数分别为x和y，∠BFBC比∠ABE大80°，
∴可列方程组．
故选：D．
11．解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝ABC＝40°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，
∵△ABE是等腰三角形，
∴AE＝BE，或AB＝BE，
当AE＝BE时，
∴∠ABE＝∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；
当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，
综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，
故选：C．
12．解：∵ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝4，AO＝CO，S菱形ABCD＝＝24，
∴AC＝6，
∵AH⊥BC，AO＝CO＝3，
∴OH＝AC＝3．
故选：A．
13．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝8，且∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，且点E是AD的中点，
∴BE⊥AD，且∠A＝60°，
∴AE＝4，BE＝AE＝4，
∴PE＝BE＝4，
故选：D．
14．解：如图连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝4，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AD＝4，
∵PE＝ED，PF＝FB，
∴EF＝BD＝2．
故选：A．
15．解：当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．
∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG∥AB，同理HF∥AB，∴EG∥HF，EG＝HF＝AB，
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵EG＝AB，又可同理证得EH＝CD，
∵AB＝CD，∴EG＝EH，
∴四边形EGFH是菱形．
故答案为AB＝CD．
16．解：如图所示：
∵两条对角线的和为6，
∴AC+BD＝6，
∵菱形的周长为4，
∴AB＝，AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD，
∴AO+BO＝3，
∴AO2+BO2＝AB2，（AO+BO）2＝9，
即AO2+BO2＝5，AO2+2AO?BO+BO2＝9，
∴2AO?BO＝4，
∴菱形的面积＝AC?BD＝2AO?BO＝4；
故答案为：4．
17．解：①过点C作CF⊥OB，垂足为点F，
∵四边形AOBC为菱形，
∴OB＝BC＝8，∠AOB＝∠CBF＝60°，
∴BF＝4，CF＝4，
∴C（12，4），故①正确；
②连接AB，
∵BC＝AC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠DAE＝60°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵∠ABD＝∠ACE＝60°，
∴△ADB≌△AEC（ASA），
∴BD＝EC，故②正确；
③∵△ADB≌△AEC．
∴S△ADB＝S△AEC，
∴S△ABC＝S△四边形ADBE＝＝16；
故③正确，
④∵△ADB≌△AEC，
∴AD＝AE，
∴ADE为等边三角形，
当D为OB的中点时，AD⊥OB，
此时AD最小，则S△ADE最小，
由③知S四边形ADBE为定值，可得S△DBE最大．
故④不正确；
故答案为：①②③．
18．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BDC＝∠DBC＝34°．
∠BCA＝∠DCO＝90°﹣34°＝56°．
∵EF垂直平分BC，
∴∠ECF＝∠DBC＝34°．
∴∠ECA＝56°﹣34°＝22°．
故答案为22．
19．解：∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形，
∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN，
∵菱形ABCD的边长是10，菱形一条对角线长为12，
∴可得菱形的另一对角线长为：16，
∴阴影部分的面积＝S菱形ABCD＝××12×16＝48．
故答案为：48．
20．解：在△AB1D2中，∴AD2＝，
∵四边形AB2C2D2为菱形，
∴AB2＝AD2＝，
在△AB2D3中，∴AD3（）2，
同理可得AD4＝（）3，
∴第n个菱形ABn?nDn的边ADn的长为（）n﹣1．
故答案为，（）n﹣1．
21．解：∵两个全等菱形的边长为1厘米，
∴蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA顺序走一圈所走的距离为8×1＝8厘米，
∵2019÷8＝252…3，
∴当蚂蚁走到第252圈后再走3厘米正好到达D点．
故答案为D
22．解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴点B关于AC的对称点为D，
∴FD＝FB，
∴FE+FB＝FE+FD≥DE．
只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），
△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
∴AE＝AD＝1，DE＝＝，
∴EF+BF的最小值为．
23．（1）证明：在菱形ABCD中，OC＝AC．
∵DE：AC＝1：2，
∴DE＝OC，
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AC＝AB＝2．
∴在矩形OCED中，
CE＝OD＝＝＝．
在Rt△ACE中，
AE＝＝＝．
24．证明：（1）连接AC，如图1：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，
∵AF＝AE，
∴AC⊥EF，
∴EG∥BD．
又∵菱形ABCD中，ED∥BG，
∴四边形EGBD是平行四边形．
（2）过点A作AH⊥BC于H．
∵∠FGB＝30°，
∴∠DBC＝30°，
∴∠ABH＝2∠DBC＝60°，
∵GB＝AE＝2，
∴AB＝AD＝4，
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，
∴AH＝2，BH＝2．
∴GH＝4，
∴AG＝＝＝2．
25．证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵EF垂直平分BD，
∴BE＝DE，BF＝DF，
∵∠EBD＝∠EDB，∠FBD＝∠FDB，
∴∠EBD＝∠BDF，∠EDB＝∠DBF，
∴BE∥DF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，且BE＝DE，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）过点D作DH⊥BC于点H，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BF＝DF＝DE＝2，
∴∠FBD＝∠FDB＝∠BDE＝15°，
∴∠DFH＝30°，且DH⊥BC，
∴DH＝DF＝1，FH＝DH，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠CDH＝45°，
∴DH＝CH＝1，
∴FC＝FH+CH＝+1．
26．解：（1）如图，过点B作BH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝6，
∵∠A＝60°，BH⊥AD，
∴∠ABH＝30°，
∴AH＝AB＝3，BH＝AH＝3，
∴菱形ABCD的面积＝AD×BH＝6×3＝18；
（2）如图，延长DE至M，ME＝BE，连接MB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，∠A＝60°＝∠BCD，
∴△ABD是等边三角形，△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝∠ABD＝60°，AB＝BD＝BC，
∵∠BED＝2∠A＝120°，
∴∠BEM＝60°，
又∵BE＝ME，
∴△BEM是等边三角形，
∴BM＝BE，∠MBE＝∠DBC＝60°，
∴∠MBD＝∠EBC，
∴△MBD≌△EBC（SAS），
∴MD＝EC，
∴CE＝BE+DE．