山东省平邑县第一重点高中（西校区）2022届高三上学期9月初考试数学试题 Word版含答案

山东平邑一中西校2022届高三初考数学试题及详细答案
一．选择题（共8小题）
1．已知集合，集合，则　　
A．，
B．
C．，
D．，
2．命题“对，都有”的否定为　　
A．对，都有
B．对，都有
C．，使得
D．，使得
3．已知复数与为共轭复数，其中，，为虚数单位，则　　
A．1
B．5
C．
D．
4．函数的部分图象如图所示，若的面积为，则　　
A．1
B．2
C．4
D．
5．已知如表是某品牌的研发投入（万元）与销售额（万元）的一组数据：
4
5
6
7
8
9
68
75
80
83
84
90
由散点图可知，销售额与研发投入之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则可以预测，当时，的值为　　
A．104
B．103
C．102
D．100
6．定义域为的函数满足，且当，时，，则当，时，的最小值是　　
A．
B．
C．
D．0
7．如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，，且（如图，将四边形沿折起，连结、、（如图．在折起的过程中，下列说法中正确的个数　　
①平面；
②、、、四点可能共面；
③若，则平面平面；
④平面与平面可能垂直．
A．0
B．1
C．2
D．3
8．已知当时，不等式恒成立，则正实数的最小值为　　
A．1
B．
C．
D．
二．多选题（共4小题）
9．在平面直角坐标系中，动点与两个定点，和，连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于，两点，则　　
A．的方程为
B．的离心率为
C．的渐近线与圆相切
D．满足的直线有2条
10．将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是　　
A．点是函数图象的对称中心
B．函数的图象与函数的图象相同
C．函数在上单调递减
D．直线是函数图象的一条对称轴
11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有　　
A．该圆台轴截面面积为
B．该圆台的体积为
C．该圆台的母线与下底面所成的角为
D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
12．若二项式展开式中二项式系数之和为，展开式的各项系数之和为，各项系数的绝对值之和为，则下列结论正确的是　　
A．
B．存在，使得
C．的最小值为2
D．
三．填空题（共4小题）
13．在的展开式中，一次项的系数为
　　．
14．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则　　．
15．已知，若存在实数，，，满足．且，则的取值范围为
　　；的最大值为
　　．
16．已知平面内不同的三点，，，满足，若，，的最小值为，则　　．
四．解答题（共6小题）
17．设等差数列的前项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列是否存在最大项？若存在，求出这个最大项；如不存在，请说明理由．
18．已知中，角、、所对的边分别为、、，且．
（1）若，求外接圆的面积；
（2）若，求的面积．
19．2020年年底，铁人中学新址建设项目已经基本完工，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取若干市民对该项目进行评分（评分均为整数，最低分40分，最高分100分），绘制如下频率分布直方图，并将市民的所有打分分数从低到高分为四个等级：
满意度评分
低于60分
60分到79分
80分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意
已知满意度等级为“基本满意”的市民有680人．
（Ⅰ）求频率分布于直方图中的值，并依据频率分布直方图估计评分等级为“不满意”的人数；
（Ⅱ）在（Ⅰ）所得评分等级为“不满意”的市民中，老年人占，青年人占，现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解不满意的原因，并从6人中随机选取3人组成整改督导组，用表示督导组中青年人的人数，求的分布列及数学期望．
20．如图（1），平面四边形中，，，，将沿边折起如图（2），使为四面体外接球的直径，点，分别为，中点．
（1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角的余弦值．
21．已知函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在两个极值点，，证明：．
22．如图，过抛物线上任意一点（不是顶点）作切线，交轴于点．
（1）求证：线段的中垂线过定点；
（2）过直线上任意一点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为抛物线上、之间到直线的距离最大的点，求面积的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知集合，集合，则　　
A．，
B．
C．，
D．，
解：集合，
集合，
，
，．
故选：．
2．命题“对，都有”的否定为　　
A．对，都有
B．对，都有
C．，使得
D．，使得
解：全称命题的否定是特称命题，
命题“对，都有”的否定为：，使得；
故选：．
3．已知复数与为共轭复数，其中，，为虚数单位，则　　
A．1
B．5
C．
D．
解：复数与为共轭复数，
，解得，，
，，
．
故选：．
4．函数的部分图象如图所示，若的面积为，则　　
A．1
B．2
C．4
D．
解：根据函数的部分图象，可得，求得点，
而，的面积为，，
故选：．
5．已知如表是某品牌的研发投入（万元）与销售额（万元）的一组数据：
4
5
6
7
8
9
68
75
80
83
84
90
由散点图可知，销售额与研发投入之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则可以预测，当时，的值为　　
A．104
B．103
C．102
D．100
解：由题意可得，，
，
因为线性回归方程必过样本中心，
则，
解得，
所以，
当时，．
故选：．
6．定义域为的函数满足，且当，时，，则当，时，的最小值是　　
A．
B．
C．
D．0
解：当时，，
，
又，
，
，
即，，
当时，有最小值为．
（1），且，
．
综上，的最小值是．
故选：．
7．如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，，且（如图，将四边形沿折起，连结、、（如图．在折起的过程中，下列说法中正确的个数　　
①平面；
②、、、四点可能共面；
③若，则平面平面；
④平面与平面可能垂直．
A．0
B．1
C．2
D．3
解：对①，在图②中，连接，交于点，取中点，连接，
则为平行四边形，即，所以平面，故①正确；
对②，如果、、、四点共面，则由平面，可得，
又，所以，这样四边形为平行四边形，与已知矛盾，故②不正确；
对③，在梯形中，由平面几何知识易得，又，平面，
即有，平面，则平面平面，故③正确；
对④，在图②中，延长至，使得，连接，，
由题意得平面平面，四点共面．
过作于，则平面，若平面平面，
则过作直线与平面垂直，其垂足在上，矛盾，故④错误．
故选：．
8．已知当时，不等式恒成立，则正实数的最小值为　　
A．1
B．
C．
D．
解：由题意，原不等式可变形为，即，
设，则当时，恒成立，
因为，
所以函数在，，上单调递减，在上单调递增，
因为，，所以，，
因为在上单调递增，所以要使，只需，
两边取对数，得．因为，所以；
令，，
因为，所以在，上单调递增，
所以（e），所以，
则，故正实数的最小值为，
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．在平面直角坐标系中，动点与两个定点，和，连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线与交于，两点，则　　
A．的方程为
B．的离心率为
C．的渐近线与圆相切
D．满足的直线有2条
解：设由题意可得，
，
由题意可得：，
整理可得：，故不正确；
可得，，所以，
所以双曲线的离心率，所以不正确；
渐近线的方程为：，即，
圆心到渐近线的距离，所以正确；
联立方程组整理可得，
所以，，
所以弦长，
由题意可得，整理可得：，
解得：（与双曲线无交点）或，所以有两条直线满足条件，所以正确．
故选：．
10．将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是　　
A．点是函数图象的对称中心
B．函数的图象与函数的图象相同
C．函数在上单调递减
D．直线是函数图象的一条对称轴
解：函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再向左平移个单位，得到的图象．
对于：当时，，故错误；
对于：函数，故正确；
对于：当，故，故函数在该区间上单调递增，故错误；
对于：当时，函数取得最大值为1，故正确．
故选：．
11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有　　
A．该圆台轴截面面积为
B．该圆台的体积为
C．该圆台的母线与下底面所成的角为
D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
解：由，且，可得，高，
则圆台轴截面面积为，故正确；
圆台的体积为，故正确；
圆台的母线与下底面所成的角为，其正弦值为，
所以，故错误；
由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，
侧面展开图的圆心角为，
设的中点为，连接，可得，，，
则，所以沿着该圆台表面，
从点到中点的最短距离为，故正确．
故选：．
12．若二项式展开式中二项式系数之和为，展开式的各项系数之和为，各项系数的绝对值之和为，则下列结论正确的是　　
A．
B．存在，使得
C．的最小值为2
D．
解：二项式展开式中二项式系数之和为，
令，可得展开式的各项系数之和为，
令，可得各项系数的绝对值之和为，
，故正确；
当时，，存在，使得，故正确；
，故错误；
，故错误，
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．在的展开式中，一次项的系数为
　　．
解：一次项系数为．
故答案为：324．
14．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则　　．
解：因为，，
所以．
故答案为：．
15．已知，若存在实数，，，满足．且，则的取值范围为
　　；的最大值为
　　．
解：由题意，函数的大致图象如图所示，
由图象知，，；
由，关于对称，可得，
，可得，
那么，
构造新函数，，；
则，，；
在区间，单调递增，
可得，
在区间，单调递减，
，可得数区间，单调递增，，单调递减，
当时，取得最大值为
故答案为，；．
16．已知平面内不同的三点，，，满足，若，，的最小值为，则　　．
解：由题设，如图1，若，．则，，，
即．
，即．
若是关于的对称点，
则，即，如图2，
当且仅当，，三点共线时最小．
，即，
此时在△中，，
而，且为锐角，
，．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
17．设等差数列的前项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列是否存在最大项？若存在，求出这个最大项；如不存在，请说明理由．
解：（1）设等差数列的公差为，由，得①；
又，得，即②，联立①②解得，，
所以．
（2）由可知：当时，；当时，，
所以当时，，又，，，，，
所以当时，有最大项且最大项为．
18．已知中，角、、所对的边分别为、、，且．
（1）若，求外接圆的面积；
（2）若，求的面积．
解：（1）因为，
所以，
所以，又，
所以外接圆的面积．
（2）因为，
所以，所以，所以，
因为，所以，所以，
所以．
19．2020年年底，铁人中学新址建设项目已经基本完工，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取若干市民对该项目进行评分（评分均为整数，最低分40分，最高分100分），绘制如下频率分布直方图，并将市民的所有打分分数从低到高分为四个等级：
满意度评分
低于60分
60分到79分
80分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
基本满意
满意
非常满意
已知满意度等级为“基本满意”的市民有680人．
（Ⅰ）求频率分布于直方图中的值，并依据频率分布直方图估计评分等级为“不满意”的人数；
（Ⅱ）在（Ⅰ）所得评分等级为“不满意”的市民中，老年人占，青年人占，现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解不满意的原因，并从6人中随机选取3人组成整改督导组，用表示督导组中青年人的人数，求的分布列及数学期望．
解：（1）由频率分布直方图知，，
由，解得，
设总共调查了个人，
则基本满意的为，解得人，
不满意的频率为，所以共有人，即不满意的人数为120人．
（2）评分等级为“不满意”的120名市民中按年龄分层抽取6人，则青年人抽取4人分别记为，，，，老年人抽取2人分别记为，，
从6人中选取3人担任整改督导员，
的所有取值为1，2，3，
，，，
故的分布列为：
1
2
3
．
20．如图（1），平面四边形中，，，，将沿边折起如图（2），使为四面体外接球的直径，点，分别为，中点．
（1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
（2）求二面角的余弦值．
解：（1）为四面体外接球的直径，则，可得，
又由，且，，平面，
所以平面，
因为，分别为，中点，可得，
所以平面．
（2）以为原点，射线为轴建立如图直角坐标系，
则，，，0，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
所以，故二面角的余弦值．
21．已知函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若存在两个极值点，，证明：．
1）解：因为，
则，
当时，，
所以（1），
则在处的切线方程为；
（2）解：函数的定义域为，且，
令，且，
①当时，恒成立，此时，则在上单调递减；
②当时，判别式△，
当时，△，即，所以恒成立，此时函数在上单调递减；
当时，令，解得，
令，解得或，
所以在，上单调递增，在和，上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在和，上单调递减．
（3）证明：由（2）可知，，，，
则
，
则，
故问题转化为证明即可，
即证明，则，
即证，即证在上恒成立，
令，其中（1），
则，
故在上单调递减，
则（1），即，
故，
所以．
22．如图，过抛物线上任意一点（不是顶点）作切线，交轴于点．
（1）求证：线段的中垂线过定点；
（2）过直线上任意一点作抛物线的两条切线，切点分别为、，为抛物线上、之间到直线的距离最大的点，求面积的最小值．
解：（1）有，求导，设，且，
则直线的方程为：，化简得，
当，则，则，
所以线段的中点坐标为，则中垂线的方程为，即，
所以线段的中垂线过定点；
（2）设，，，，，
由（1）可知，切线，切线，
将分别代入，得，，
所以，为方程的两个根，
则，，
直线的方程为，化简得，即，
所以，
抛物线上、之间到直线的距离最大的点为平行于的切线的切点，
设，则，所以，，则，
到直线的距离，
则
当时，则面积的最小值．