浙江省台州市温岭重点高中2022届高三上学期期中考试复习卷数学试题（Word版含答案）

2021-2022学年浙江省台州市温岭中学高三（上）期中复习数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，0，，，3，，，2，，则　　
A．
B．，1，3，
C．，1，2，
D．，2，3，
2．若，，则“且”是“”的　　
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为　　
A．
B．
C．
D．
4．函数在，上的图象大致为　　
A．
B．
C．
D．
5．孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概率为，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为　　（参考数据：，，
A．
B．
C．0
D．
6．已知，则的值为　　
A．
B．
C．
D．
7．设，，，则数列，，成　　
A．等差数列
B．等比数列
C．非等差也非等比数列
D．既等差也等比数列
8．如图，在直三棱柱中，，，点，分别是线段，的中点，，分别记二面角，，的平面角为，，，则下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．
9．已知函数，若对于任意的实数，，，，时，恒成立，则实数的取值范围为　　
A．，
B．，
C．
D．
10．已知直线上有两点，，，，且．已知，，，满足，若，则这样的点个数为　　
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.
11．设，且为虚数单位），则　　；　　．
12．的展开式中，所有项的系数和为　　，项的系数为　　．
13．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则　　；　　．
14．设随机变量的分布列是
0
1
若，则　　，　　．
15．已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是　　．
16．已知函数，若，则函数的零点个数为　　，若函数有4个零点，则实数的取值范围是　　．
17．已知，，，，，是平面内两两互不相等的向量，满足，且，（其中，2，，2，，，则的最大值是　　．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期、最大值、最小值；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
19．如图，已知三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点，为的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦．
20．已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证，．
21．已知椭圆，，分别是其左、右焦点，以线段为直径的圆与椭圆有且仅有两个交点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，点横坐标的取值范围是，，求的最小值．
22．已知函数，为的导函数．
（1）证明：在，内存在唯一零点．
（2）当，时，恒成立，求的取值范围．
数学试题
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2021-2022学年浙江省台州市温岭中学高三（上）期中复习数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．解：因为集合，0，，，3，，，2，，
所以，
则，1，2，．
故选：．
2．解：若，，且则，
“且”
“”；
由，比如，但是不一定且．
“”推不出“且”；
“且”是“”的充分不必要条件．
故选：．
3．解：由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面平面，四棱锥的高为1，四边形的边长为1正方形，
则，，，
故几何体的侧面积为：．
故选：．
4．解：，
函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除，
，排除，
，排除，
故选：．
5．解：由题意可得，甲在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为，
同理，乙
在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为，
丙在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为，
故甲、乙、丙三人在每一行业中都不能胜过孔圣人的概率为，
故甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为，
故选：．
6．解：，
，
解得：；
．
故选：．
7．解：因为，，，根据对数定义得：，，；
而；
，
所以，数列、、为等差数列．
而，所以数列、、不为等比数列．
故选：．
8．解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，，0，，，1，，
，，
，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
同理可求平面的法向量，
平面的法向量，平面的法向量．
，，．
．
故选：．
9．解：函数，
，
时，；时，，
对定义域内的任意实数、、不等式恒成立，
，
，
实数的取值范围是，．
故选：．
10．解：直线上有两点，，，，且．
设和的夹角为，
所以，
即，
所以，
所以或．
若，
所以上存在两个符合条件的点，每个点都确定唯一一个点，
所以这样的点共有4个．
故选：．
二．填空题（共7小题）
11．解：复数满足为虚数单位），
，
故，
故答案为：；．
12．解：的展开式中，令，可得所有项的系数和为1．
的展开式中，通项公式为．
对于，通项公式为，
令，，1，2，3，4，5，，1，2，，，
可得、，故项的系数为，
故答案为：1；．
13．解：因为，，，
可得，
所以由正弦定理，可得，整理可得，
由余弦定理可得，整理可得，
解得：或．
故答案为：，4或．
14．解：由题设知：，
解得，，
．
故答案为：，．
15．解：，，所以离心率，
圆是以为圆心，半径的圆，
要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，
必有，而焦点到双曲线渐近线的距离为，
所以，
即，所以，所以双曲线的离心率的取值范围是，．
故答案为：，．
16．解：时，，
由对勾函数的性质可知，，当且仅当或时取等号，
的零点有2个，；
①当时，由对勾函数的性质可知，，
当且仅当时取等号，
要使得函数有4个零点，则，
，
②时，有2个零点，不符合题意；
③当时，当且仅当时，等号成立，此时函数有4个零点
综上可得，的范围，，
故答案为：，，．
17．解：如图，设，，
由，且，，
分别以，为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．
故满足条件的的最大值为6．
故答案为：6．
三．解答题（共5小题）
18．解：（Ⅰ）．
所以的最小正周期，最大值为1，最小值为．
（Ⅱ）由，可解得：，．
故函数单调递增区间是，，．
由，可解得：，．
故函数单调递减区间是，，．
19．（Ⅰ）证明：如图，以为原点，，所在直线为轴、轴，建立空间直角坐标系，
设，则，0，，，2，，，0，，，0，，
所以，1，，，0，，，，
，，三个点坐标各占一分）
所以，，
因为，
所以．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，，
设平面的法向量，
由，
可得，令，则，，
故平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则．
20．解：（1）由题意可知，当时，．
当时，由可得．
所以．
（2）由（1）可得，
法一：，
所以．
法二：，
所以．
21．（本小题满分12分）
解：（1）椭圆，，分别是其左、右焦点，
以线段为直径的圆与椭圆有且仅有两个交点，
由题意可知，
，故椭圆的方程为．
（2）设直线方程为，，
代入，得，
设，，，，中点，，
，．
，，
的垂直平分线方程为，
令，得，
，，．
，
的最小值．
22．（1）证明：因为，所以，
记，则，
当，时，，当，时，，
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即在，上单调递减，在，上单调递增，
因为，，，
所以存在唯一，使得，
即在，内存在唯一零点．
（2）解：由（1）可知当，时，，当，时，，
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
因为当，时，恒成立，
则至少满足，，即，
①当，时，，，满足；
②当，时，，而，满足，
即当，时，都有，又当时，，时，，
从而当时，对一切，恒成立，
故的取值范围是，．
数学试题答案
第
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