2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定 能力提高训练（word版、含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》能力提高训练（附答案）
一、选择题
1．能够判定一个四边形是菱形的条件是（　　）
A．对角线相等且互相垂直
B．对角线互相平分且相等
C．对角线互相垂直且互相平分
D．对角线互相垂直
2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O．添加下列条件仍不能判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　）
A．AB＝BC
B．AC⊥BD
C．∠ABD＝∠CBD
D．∠BAC＝∠DCA
3．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对边平行且相等
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）
A．AC⊥BD
B．BA⊥AC
C．AB＝CD
D．∠BAD＝∠ABC
5．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC＝3，则该菱形的周长为（　　）
A．12
B．15
C．6+4
D．3+6
6．如图，菱形ABCD的周长是20cm，对角线AC长为6cm，则另一条对角线BD的长为（　　）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
7．如图，在菱形ABCD中，AB＝5、AC＝8，则该菱形的面积为（　　）
A．40
B．20
C．48
D．24
8．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的平行四边形ABCD是（　　）
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．无法确定
9．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（　　）
A．（2，2）
B．（，2）
C．（3，）
D．（2，）
10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为（　　）
A．
B．3
C．
D．
11．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．等腰梯形
12．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝6，DE⊥AB于点E，则DE的长为（　　）
A．4.8
B．5
C．9.6
D．10
二、填空题
13．如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AC＝8，BD＝4，则菱形的边长为
　
　．
14．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝，则GH的最小值为
　
　．
15．如图，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（4，0），点C为第四象限内的一点，若以O，A，B，C为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为
　
　．
16．如图，菱形ABCD的周长为16，∠BCD＝60°，E、F分别是边AB、OB的中点，则EF＝　
　．
三、解答题
17．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F．求证AE＝CF．
18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，过A、C两点分别作AD∥BC，CD∥AB交于点D，延长DC至点E，使DC＝CE，连接BE．
（1）求证：四边形ACEB是菱形；
（2）若AB＝4，BC＝6，求四边形ACEB的面积．
20．如图，在?ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．
（1）求证：△AEB≌△CFD；
（2）当△ABD满足什么条件时，四边形EBFD是菱形，请说明理由．
21．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC．BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AE＝5，OE＝3，求线段CE的长，
22．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．
参考答案
1．解：A、对角线平分且互相垂直是菱形，说法错误，不符合题意；
B、对角线平分且互相垂直是菱形，说法错误，不符合题意；
C、对角线平分且互相垂直是菱形，说法正确，符合题意；
D、对角线平分且互相垂直是菱形，说法错误，不符合题意；
故选：C．
2．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
又∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、由∠BAC＝∠DCA，不能判定平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
3．解：∵菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，
∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直，
故选：C．
4．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A符合题意；
B、由四边形ABCD是平行四边形，BA⊥AC，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、由四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，不能判定四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠ABC，
∴∠BAD＝90°，
∴平行四边形ABD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝12，
故选：A．
6．解：∵菱形ABCD的周长是20cm，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝5cm，AO＝CO＝AC＝3cm，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO＝＝＝4cm，
∴BD＝8cm，
故选：C．
7．解：BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，
∴BO＝，
故BD＝6，
则菱形的面积是：×6×8＝24．
故选：D．
8．解：过A作AF⊥DC于F，过B作BE⊥AD，交DA的延长线于E，
∵两张等宽的纸条交叉叠放在一起，
∴AF＝BE，
∵平行四边形ABCD的面积S＝DC×AF＝AD×BE，
∴DC＝AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：C．
9．解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，OA＝，AB＝2，
∴A（0，），
∴BC＝AD＝2，
∴OC＝BC﹣OB＝2﹣1＝1，
∴C（1，0），D（2，），
故选：D．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，
∵OA＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∵S菱形ABCD＝24，
∴8×BD＝24，
解得：BD＝6，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∵DO＝BO，
∴OH＝BD＝6＝3，
故选：B．
11．解：根据作图方法可得AC＝AD＝BD＝BC，
因此四边形ADBC一定是菱形，
故选：B．
12．解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO＝3，AC⊥BD，
∴AO＝＝＝4，
∴AC＝8，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝×8×6＝24，
∵DE⊥AB，
∴S菱形ABCD＝AB?DE＝5DE，
∴5DE＝24，
∴DE＝＝4.8，
故选：A．
13．解：∵四边形ABCD是菱形，且AC＝8，BD＝4，
∴OA＝AB＝4，OB＝BD＝2，AC⊥BD，
∴AB＝＝＝2．
故答案为：2．
14．解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝AB＝×2＝，
∴GH＝，
即GH的最小值为，
故答案为：．
15．解：连接AC，如图所示：
∵四边形OABC是菱形，
∴AC与OB互相垂直平分，
∴点C与A关于x轴对称，
∵点A的坐标为（2，3），
∴点C的坐标为（2，﹣3），
故答案为（2，﹣3）．
16．解：∵菱形ABCD的周长为16，∠BCD＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝＝4，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠BAO＝∠BAD＝30°，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝AB＝×4＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，
∵E、F分别是边AB、OB的中点，
∴EF是△BAO的中位线，
∴EF＝OA＝×2＝，
故答案为：．
17．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°，
在△ABE与△CBF中
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF．
18．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，
∴BM＝BN＝DM＝DN，
设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，
在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD2+CN2＝DN2，
即82+（16﹣x）2＝x2，
解得：x＝10，
即BN＝10，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝40．
19．证明：（1）∵AD∥BC，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵DC＝CE，
∴AB＝CE，
∵AB∥CD，
∴AB∥CE，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴平行四边形ACEB是菱形；
（2）如图，连接AE，交BC于点O，
∵四边形ACEB是菱形，
∴AE⊥BC，
∵AB＝4，BC＝6，
∴OB＝BC＝3，
∴OA＝，
∴AE＝2OA＝2，
∴．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝BC，AB＝CD．
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝DE＝AD，BF＝FC＝BC．
∴AE＝CF．
在△AEB与△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS）；
（2）解：当△ABD满足∠ABD＝90°，四边形EBFD是菱形，理由如下：
由（1）得：BF＝DE，BF∥DE，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，点E是AD的中点，
∴BE＝AD＝DE，
∴平行四边形EBFD是菱形．
21．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形
∴AO＝CO，且CE⊥AB
∴AC＝2OE＝6
在Rt△ACE中，CE＝＝
22．（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥DB，且EC＝DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD＝DB＝CD．
∴EC＝AD．
∴四边形ADCE是平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠AOD＝∠ACB．
∵∠ACB＝90°，
∴∠AOD＝∠ACB＝90°．
∴平行四边形ADCE是菱形；
（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，
∴AD＝DB＝CD＝6．
∴AB＝12，由勾股定理得．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE＝BC＝6．
∴