2021-2022学年苏科版九年级数学上册 2.4圆周角 同步优生辅导训练（word版、含解析）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步优生辅导训练（附答案）
一、选择题
1．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是（　　）
A．35°
B．27.5°
C．30°
D．25°
2．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，则∠DCA的度数为（　　）
A．36°
B．38°
C．40°
D．42°
3．在下列语句中，叙述正确的个数为（　　）
①相等的圆周角所对弧相等；②同圆等圆中，同弦或等弦所对圆周角相等；
③平分弦的直径垂直于弦；④等弧所对圆周角相等；⑤圆的内接平行四边形是矩形；
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．如图，∠A是⊙O的圆周角∠A＝50°，则∠OBC的度数为（　　）
A．30°
B．32.5°
C．40°
D．45°
5．如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠BAD＝70°，则∠ADC等于（　　）
A．50°
B．55°
C．65°
D．70°
6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，C为弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ADC＝　
　．
8．如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AB是⊙O的直径，则∠A+∠B+∠D度数为　
　．
9．如图，点A、B、C、D在⊙O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝　
　°．
10．如图，⊙O内接四边形ABCD中，点E在BC延长线上，∠BOD＝160°，则∠DCE＝　
　．
11．如图，⊙O中弦AB，CD相交于点P，已知AP＝3，BP＝2，CP＝1，则DP＝　
　．
三、解答题
12．如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．
（1）当∠B+∠D＝90°时，求证：H是CD的中点；
（2）若H为CD的中点，且CD＝2，BD＝，求AB的长．
13．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．
14．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．
（1）求证：CE平分∠AEB；
（2）连接BC，若BC∥AE，且CG＝4，AB＝6，求BE的长．
15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝120°，CA平分∠BCD．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）若BD＝3，求⊙O的半径．
16．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝40°，求∠A的度数；
（3）若∠E＝30°，∠F＝40°，求∠A的度数．
17．如图，点A、E、B、C在所给圆上，CD是△ABC的高，∠ACE＝∠BCD．求证：CE是所给圆的直径．
18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE＝BC．
（1）求证：△ADE是等腰三角形；
（2）若∠D＝90°，⊙O的半径为5，BC：DC＝1：，求△CBE的周长．
19．已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点
E．
（1）当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠CBE＝∠BAC；
（2）当∠BAC为钝角时，如图②，CA的延长线与⊙O相交于点E，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
20．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．
21．如图，在⊙O中，过弦AB的中点E作弦CD，且CE＝2，DE＝4，求弦AB的长．
参考答案
1．解：∵∠ADC＝∠A+∠B，∠A＝60°，∠ADC＝85°，
∴∠B＝25°，
∴∠AOC＝2∠B＝50°，
∵∠ADC＝∠AOC+∠C，
∴∠C＝85°﹣50°＝35°，
故选：A．
2．解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝26°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°，
△ADC中，∵∠BAC＝26°，
∴∠DCA＝180°﹣116°﹣26°＝38°，
故选：B．
3．解：①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等，
等弧是针对于同圆或等圆来说的，它不适用于大小不等的圆，此命题为假命题；
②同圆或等圆中，同弦或等弦所对圆周角不一定相等，
如图：BC为圆O的弦，∠A与∠D都为弦BC所对的圆周角，
但是∠A与∠D互补，不一定相等，
此命题为假命题；
③平分弦的直径垂直弦，被平分的弦不是直径，错误；
④等弧所对圆周角相等，此命题为真命题，本选项正确；
⑤根据平行四边形的对角相等和圆内接四边形的对角互补，可得圆的内接四边形的两组对角都是直角，故此结论正确；
故选：B．
4．解：连接OC，
∵∠A是⊙O的圆周角，∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝2×50°＝100°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝＝40°．
故选：C．
5．解：∵AD是半圆O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠C＝110°，∠ADB＝20°，
∵，
∴BC＝DC，
∴∠BDC＝∠DBC＝35°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝55°．
故选：B．
6．解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，
QA＝r﹣m．
在⊙O中，QA?QC＝QP?QD．
即（r﹣m）（r+m）＝m?QD，所以QD＝．
连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选：D．
7．解：连接AC，
∵点C为弧BD的中点，
∴∠CAB＝∠DAB＝20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DAB＝40°，
∴∠DCB＝140°，
∴∠DCA＝140°﹣90°＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣20°﹣50°＝110°，
故答案为：110°．
8．解：连接BE，
∴∠D＝∠CBE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠A+∠ABE＝∠A+∠ABC+∠D＝90°，
即∠A+∠B+∠D度数为90°，
故答案为：90°
9．解：连接OC，
∵∠A＝25°，
∴∠BOC＝50°，
∵BO∥CD，
∴∠OCD＝50°，
∵OC＝OD，
∴∠COD＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠BOD＝80°+50°＝130°，
故答案为：130
10．解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝80°，
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝80°，
故答案为：80°．
11．解：AP?BP＝CP?DP，
则DP＝＝6，
故答案为：6．
12．（1）证明：∵∠B+∠D＝90°，
∴∠BHD＝180°﹣90°＝90°，
即AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CH＝DH，
即H是CD的中点；
（2）解：连接OD，
∵H为CD的中点，CD＝2，AB过O，
∴DH＝CH＝CD＝，AB⊥CD，
∴∠BHD＝90°，
由勾股定理得：BH＝＝＝1，
设⊙O的半径为R，则AB＝2R，OB＝OD＝R，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：OH2+DH2＝OD2，
即（R﹣1）2+（）2＝R2，
解得：R＝，
∴AB＝2×＝3．
13．22．（1）证明：如图．
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B．
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE＝CD＝×4＝2，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，
∴r2＝（2）2+（r﹣2）2，
解得：r＝3，
∴⊙O的半径为3．
14．（1）证明：∵CD⊥AB，CD是直径，
∴＝．
∴∠AEC＝∠BEC；
∴CE平分∠AEB；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴BG＝AG＝3．∠BGC＝90°，
在Rt△BGC中，∵CG＝4，BG＝3，
∴BC＝5，
∵BC∥AE，
∴∠AEC＝∠BCE．
又∠AEC＝∠BEC，
∴∠BCE＝∠BEC
∴BE＝BC＝5．
15．解：（1）∵∠BCD＝120°，CA平分∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB＝60°，
由圆周角定理得，∠ADB＝∠ACB＝60°，∠ABD＝∠ACD＝60°，
∴△ABD是等边三角形；
（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，
则DH＝BD＝，
∠BOD＝2∠BAD＝120°，
∴∠DOH＝60°，
在Rt△ODH中，OD＝，
∴⊙O的半径为．
16．解：（1）∠E＝∠F，
∵∠DCE＝∠BCF，
∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，
∵∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ADC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣40°＝50°；
（3）连接EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A，
∵∠ECD＝∠1+∠2，
∴∠A＝∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，
∴2∠A+30°+40°＝180°，
∴∠A＝90°﹣＝55°．
17．证明：连接AE，
∵CD是△ABC的高，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∵∠ACE＝∠BCD，
∴∠ACE+∠B＝90°，
由圆周角定理得，∠E＝∠B，
∴∠ACE+∠E＝90°，即∠CAE＝90°，
∴CE是所给圆的直径．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝∠BCE，
∵BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴∠A＝∠BEC，
∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形；
（2）连接AC，
设BC＝k，则CD＝k，
∵∠D＝90°，
∴∠CBE＝∠D＝90°，又BE＝BC，
∴∠E＝45°，
∴BE＝BC＝k，EC＝k，
∴DE＝2k，
由勾股定理得，AC＝k，
∵⊙O的半径为5，
∴k＝10，
解得，k＝，
∴△CBE的周长为：2+2．
19．解：（1）连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC．
又∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC．
又∵∠CAD＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠BAC；
（2）结论成立．
理由如下：连接AD．
∵AB为直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵∠CAD+∠DAE＝180°，∠CBE+∠DAE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠BAC
20．解：设EC＝x，则ED＝CD﹣CE＝4﹣x，
根据题意得AE?BE＝CE?DE，
所以x（4﹣x）＝5?1，
整理得x2﹣4x+5＝0，
解得x＝2±，
即EC的长为2+或2﹣．
21．解：∵过弦AB的中点E作弦CD，CE＝2，DE＝4，
∴CE×DE＝AE×BE，
∴2×4＝AE2，
解得：AE＝2，
∴弦AB的长为：AB＝2AE＝4．