2021-2022学年苏科版九年级数学上册 2.7 弧长及扇形面积 同步能力提高训练（Word版 含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.7弧长及扇形面积》同步能力提高训练（附答案）
一、选择题
1．已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（　　）
A．π
B．3π
C．5π
D．15π
2．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（　　）
A．16π﹣12
B．16π﹣24
C．20π﹣12
D．20π﹣24
4．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB＝4，则的长是（　　）
A．
B．
C．
D．4π
5．如图，BC为⊙O直径，若∠A＝80°，BC＝6，则图中灰色区域的面积为（　　）
A．2π
B．3π
C．4π
D．5π
6．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且的长为π，点D在OA上，连接BD，CD，若点C，O关于直线BD对称，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，点C为圆O上一个动点，连接AC，BC，若OA＝1，则阴影部分面积的最小值为（　　）
A．﹣
B．﹣﹣
C．﹣
D．﹣
8．如图，已知所在圆的半径为5，所对弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，线段PB扫过的面积是（　　）
A．8π
B．9π
C．10π
D．11π
9．如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为3的⊙O的圆心重合，延长AB，BC分别交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．
B．
C．9π﹣4
D．9π﹣2
二、填空题
10．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是
　
　．
11．如图，在△OAC中，OA＝4，AC＝2，把△OAC绕点A按顺时针方向转到△O'AC'，已知点O'的坐标是（2，2），则在旋转过程中线段OC扫过的阴影部分面积为　
　．
12．如图，⊙O中，若直径AB＝4，C，D为⊙O上两点，且分别位于直径AB的两侧，C为弧AB的中点，∠BCD＝15°，则图中阴影部分的周长为　
　.（结果保留根号或π）．
13．扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为150°．AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为　
　cm2．
三、解答题
14．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是
　
　；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．
（1）求证：BD＝BE；
（2）已知AC＝1cm，BC＝cm．
①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；
②求图中阴影部分面积．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．
（1）若∠B＝28°，求的度数；
（2）若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分的面积；
（3）若AC＝，求AD?AB的值．
17．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接OC、AC、BD．
（1）求证：∠ACO＝∠CDB；
（2）若CD＝6，BE＝，求弧AD的长；
18．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝2cm，求图中阴影部分的面积．
19．已知在⊙O中，点C为上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE．
（1）如图1，连接AB，求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接EC，若AC＝4，DE＝10，求阴影部分的面积之和．
20．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G，OA＝3．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，求劣弧的长．（结果保留π）
参考答案
1．解：扇形面积＝，
故选：D．
2．解：连接AD，如图所示：
∵D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，
∴AD＝，
∴阴影部分的面积＝＝．
故选：C．
3．解：连接AD，OE
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠CDF＝∠DAC，
∵∠CDF＝15°，
∴∠DAC＝15°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°，
∴∠AOE＝120°，
作OH⊥AE于H，
在Rt△AOH中，OA＝4，
∴OH＝2，
AH＝6，
∴AE＝2AH＝12，
∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝＝16．
故选：A．
4．解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，
由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD＝BD＝＝．
又OB＝5，
∴OD＝＝＝，
∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD，
∴CA＝CD，△CAD为等腰三角形．
∵CF⊥AB，
∴AF＝DF＝＝，
又四边形ODFE为矩形且OD＝DF＝，
∴四边形ODFE为正方形．
∴，
∴CE＝＝＝2，
∴CF＝CE+EF＝3＝BF，
故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°，
∴所对的圆心角为90°，
∴＝＝．
故选：A．
5．解：∵∠A＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∵OB＝OD，OE＝OC，
∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，
∴∠ODB+∠OEC＝100°，
∴∠DOB+∠EOC＝160°，
∴图中灰色区域的面积＝＝4π，
故选：C．
6．解：连接BC，OC，OC交BD于W，
∵点C，O关于直线BD对称，
∴∠DWO＝90°，OW＝CW，BC＝OB，
∵OC＝OB，
∴OC＝BC＝OB，
即△OCB是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵的长为π，
∴＝π，
解得：OB＝3，
即OC＝OB＝3，
∴OW＝CW＝1.5，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝30°，
∴OD＝2DW，
由勾股定理得：OD2＝DW2+OW2，
即（2DW）2＝DW2+1.52，
解得：DW＝（负数舍去），
∴阴影部分的面积S＝S扇形AOC﹣S△DOC＝﹣＝，
故选：A．
7．解：连接AB，OC'，AC'，BC'，
要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC的面积最大，只需满足△ABC的面积最大即可，
从而可得当点C位于弧AB的中点C′时，△ABC的面积最大，
连接OC'，则OC'⊥AB于D，
∴OD＝AB＝＝，
∴DC'＝OC'﹣OD＝1﹣，
∴S四边形AOBC′＝S△AOB+S△ABC′＝×1×1+××（1﹣）＝，
∵扇形AOB的面积＝＝，
∴阴影部分面积的最小值＝﹣，
故选：C．
8．解：设所在圆的圆心为O，连接OP、OA、AP、AP′、AB′，
∵点P是的中点，
∴OP⊥AB，AM＝BM＝AB＝4，
∴OM＝＝3，
∴PM＝5﹣3＝2，
∴PA＝＝＝2，
∴线段PB扫过的面积＝S扇形ABB′﹣S扇形APP′＝﹣＝16π﹣5π＝11π，
故选：D．
9．解：延长CD，DA交⊙O于E，F，
由对称性可知，图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（9π﹣4）＝π﹣1，
故选：B．
10．解，连接OD，过D作DE⊥BC于E，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴∠C＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵OD＝BC＝，
∴DE＝，
∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
11．解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA＝90°，
∵点O′的坐标是（2，2），
∴O′M＝2，OM＝2，
∵AO＝4，
∴AM＝4﹣2＝2，
∴∠O′AM＝60°，
即旋转角为60°，
∴∠CAC′＝∠OAO′＝60°，
∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，
∴S△OAC＝S△O′AC′，
∴阴影部分的面积S＝S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′＝S扇形OAO′﹣S扇形CAC′＝﹣＝2π，
故答案为2π．
12．解：作直径CE，连接DE、OD，如图，
∵C为弧AB的中点，
∴∠BOC＝∠AOC＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴BC＝OB＝2，∠OCB＝45°，
∵∠BCD＝15°，
∴∠DCE＝45°﹣15°＝30°，
∵CE为直径，
∴∠CDE＝90°，
∴DE＝CE＝2，
∴CD＝DE＝2，
∵∠BOD＝2∠BCD＝30°，
∴的长度＝＝π，
∴图中阴影部分的周长为π+2+2．
故答案为π+2+2．
13．解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，
∴AD＝10cm，
∵∠BAC＝150°，
∴扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE
＝﹣
＝π（cm2）．
故答案为π．
14．解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；
（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN?CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．
15．（1）证明：∵AO＝AC，
∴∠ACO＝∠AOC，
∵∠D＝∠OCB，∠BOD＝∠AOC，
∴∠ACO+∠OCB＝∠BOD+∠D，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BOD+∠D＝90°，
∴OB⊥DE，
∴BD＝BE；
（2）解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1cm，BC＝cm．
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，∠A＝60°，
∵OA＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∴OC＝AC＝1cm，∠AOC＝60°，
∴∠D＝∠OCB＝30°，OB＝AB﹣OA＝1，
∴OD＝2OB＝2，
∴CD＝OD+OC＝3，
∵∠D＝∠OCB，
∴BD＝BC，
∵BD＝BE，
∴BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴∠D+∠BEC＝∠DCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴BF∥CD，
∵BD＝BE，
∴BF＝CD＝；
②解：连接OE，
∵OD＝2、OB＝1，
∴BD＝，
则DE＝2BD＝2，
∵OD＝OE，
∴∠D＝∠OED＝30°，
∴∠DOE＝120°，
S阴影＝S扇形ODE﹣S△ODE＝﹣×2×1＝π﹣．
16．解：（1）连接CD，如图，
∵∠ACB＝90°，∠B＝28°，
∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝62°，
∴∠ACD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴的度数为56°；
（2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CD＝AD＝BD＝AB＝1，
∵CD＝CA，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形ACD﹣S△ACD
＝﹣×12
＝π﹣；
（4）过点C作CH⊥AD于H，
∴AH＝DH＝AD，
∵∠ACB＝90°，CH⊥AB，
∴∠ACB＝∠AHC，
∵∠A＝∠A，
∴AC2＝AH?AB，
即（）2＝AD?AB，
∴AD?AB＝6．
17．（1）证明：∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠A＝∠CDB，
∴∠ACO＝∠CDB；
（2）解：连接OD，
设⊙O的半径为r，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，CD＝6，
∴DE＝CD＝3，AB⊥CD，
在Rt△OED中，OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r﹣）2+32，
解得，r＝2，
∴∠DOE＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∴弧AD的长＝＝π．
18．解：（1）连接OB，
∵BC⊥OA，
∴BE＝CE，，
又∵∠ADB＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB，
∴∠AOC＝60°．
（2）∵，
∴，
∵∠AOC＝60°，
∴∠C＝30°，
设OE＝x，OC＝2x，
∵OE2+EC2＝OC2，
∴OE＝x＝1，OC＝2x＝2，
∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC＝＝（π﹣）（cm2）．
19．（1）证明：如图1，连接CB，CE，
∵点C为劣弧AB上的中点，
∴CB＝CA，
又∵CD＝CA，
∴AC＝CD＝BC，
∴∠D＝∠CBD，
∵∠CBD＝∠EAD，
∴∠D＝∠EAD，
∴EA＝ED，
∵CD＝CA，
∴EC⊥AD，
∴∠ACE＝90°，
∴AE是⊙O的直径；
（2）解：如图2，∵AE＝ED＝10，AC＝4，EC⊥AD，
∴根据勾股定理得：CE＝2，
∴S阴影＝S半圆﹣S△ACE＝12.5π﹣×4×2＝12.5π﹣4．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝90°，
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBG＝90°，
∴∠BAE＝∠CBG，
在△ABE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△BCG（ASA）．
（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的长＝＝．