2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.3确定圆的条件同步能力提高训练 （word版、含解析）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.3确定圆的条件》同步能力提高训练（附答案）
一、选择题
1．已知⊙P的半径为5，点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（0，6），则点Q与⊙P的位置关系是（　　）
A．点Q在⊙P外
B．点Q在⊙P上
C．点Q在⊙P内
D．不能确定
2．给定下列图形可以确定一个圆的是（　　）
A．已知圆心
B．已知半径
C．已知直径
D．已知三个点
3．下列说法正确的是（　　）
A．等弧所对的圆心角相等
B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．经过三点可以作一个圆
D．相等的圆心角所对的弧相等
4．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（　　）
A．（6，8）
B．（4，5）
C．（4，）
D．（4，）
5．如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3＝（　　）
A．60°
B．75°
C．90°
D．105°
6．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么弦AC的值为（　　）
A．3
B．2
C．3
D．2
7．正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接等边三角形EFG的边长为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．已知圆的半径是2，则该圆的内接正三角形的面积是（　　）
A．
B．2
C．3
D．3
9．如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E．若∠CAD＝35°，∠CDA＝40°，则∠E的度数是（　　）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
10．如图，线段AB＝4，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，在点C的运动过程中△CDE外接圆面积的最小值为（　　）
A．4π
B．π
C．π
D．16π
11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（　　）A．（0，）
B．（，0）
C．（0，2）
D．（2，0）
12．如图，AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是（　　）
A．40°
B．30°
C．20°
D．35°
13．如图，点ABC在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
14．如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB＝6，BC＝5，EF＝3，则线段BE的长为（　　）
A．
B．4
C．
D．
二、填空题
15．已知直线l：y＝x﹣4，点A（1，0），点B（0，2），设点P为直线l上一动点，当点P的坐标为　
　时，过P、A、B不能作出一个圆．
三、解答题
16．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
17．如图，△ABC为锐角三角形，△ABC内接于圆O，∠BAC＝60°，H是△ABC的垂心，BD是⊙O的直径．
求证：AH＝BD．
18．过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N．作点P关于MN的对称点P′．
试证：P′点在△ABC外接圆上．
19．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于O，AC＝24，BD＝10，点E、F、G分别为AB、BC、CD的中点．试求点E、F、G三点所确定的圆的周长．（结果保留π）
20．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段　
　．
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB＝3，BD＝，求BC的长．
21．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD＝CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
22．已知AB
C三点．根据下列条件，说明A、B、C三点能否确定一个圆．如果能，求出圆的半径；如果不能，请说明理由．
（1）AB＝2+1，BC＝4，AC＝2﹣1；
（2）AB＝AC＝10，BC＝12．
参考答案
1．解：∵点P的坐标为（2，1），点Q的坐标为（0，6），
∴QP＝＝＞5，
∴点Q与⊙P的位置关系是：点Q在圆⊙P外．
故选：A．
2．解：A、不能确定．因为半径不确定，故不符合题意；
B、不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
C、能确定，给定一直径，则圆心和半径确定，所以可以确定一个圆，故符合题意；
D、不能确定，不在同一直线上三点可以确定一个圆．故不符合题意；
故选：C．
3．解：等弧所对的圆心角相等，A正确；
平分弦的直径垂直于这条弦（此弦不能是直径），B错误；
经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C错误；
相等的圆心角所对的弧不一定相等，
故选：A．
4．解：∵⊙P经过点A、B、C，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4，
设点P的坐标为（4，y），
作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由题意得，
＝，
解得，y＝，
故选：C．
5．解：∵OA＝OB，
∴∠3＝∠4，
同理，∠1＝∠5，∠2＝∠6，
∵∠3+∠4+∠1+∠5+∠2+∠6＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，
故选：C．
6．解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠C＝30°，
∴∠D＝30°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴AB＝AD＝3，
过B作BE⊥AC于E，
∴AC＝2AE，
∵AB＝BC，
∴∠BAE＝∠C＝30°，
∴AE＝AB＝，
∴AC＝3，
故选：C．
7．解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC是直径，AC＝4，
∴OE＝OF＝2，∵OM⊥EF，
∴EM＝MF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
在Rt△OME中，∵OE＝2，∠OEM＝∠GEF＝30°，
∴OM＝，EM＝OM＝，
∴EF＝2．
故选：C．
8．解：如图所示，
连接OB、OC，作OD⊥BC于D，
则∠ODB＝90°，BD＝CD，∠OBC＝30°，
∴OD＝OB＝1，
∴BD＝，
∴BC＝2BD＝2，
∴△ABC的面积＝3S△OBC＝3××BC×OD＝3××2×1＝3，
故选：C．
9．解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
由三角形内角和定理得，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝105°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ACD＝75°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝15°，
∴∠E＝∠CDA﹣∠DAB＝25°，
故选：B．
10．解：如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AP与BP为CD、CE垂直平分线．
又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点．
连接OC．
若半径OC最短，则OC⊥AB．
又∵∠OAC＝∠OBC＝30°，AB＝4，
∴OA＝OB，
∴AC＝BC＝2，
∴在直角△AOC中，OC＝．
∴△CDE外接圆面积的最小值＝π，
故选：C．
11．解：如图，连接AC，CB．
依相交弦定理的推论可得：OC2＝OA?OB，
即OC2＝1×3＝3，
解得：OC＝或﹣（负数舍去），
故C点的坐标为（0，）．
故选：A．
12．解：由题意知A、B、C三点在以O为圆心的圆上，
∵AB＝OA＝OB＝OC，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝30°，
故选：B．
13．解：根据题意得出：点D、A、B；点D、A、C；点D、B、C可以确定一个圆．
故过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是3个．
故选：C．
14．解：∵AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆
∴△AEF∽△ABC
∴，即cos∠BAC＝
∴sin∠BAC＝
∴在Rt△ABE中，BE＝AB?sin∠BAC＝6＝．
故选：D．
15．解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，0），点B（0，2），
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+2．
解方程组，得，
∴当P的坐标为（2，﹣2）时，过P，A，B三点不能作出一个圆．
故答案为（2，﹣2）
16．证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF＝EF＝BF＝CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．
17．证明：
连接AD，CD，CH，
∵BD是⊙O直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
又∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝30°，∠DBC＝∠CAD＝30°，
在Rt△BCD中，CD＝BD，H是△ABC的垂心，AH⊥BC，CH⊥AB，
又DC⊥BC，DA⊥AB，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∵AH＝CD，
∴AH＝BD．
18．解：∵点P关于MN的对称点为P′．
∴MP′＝MP＝MB，NP′＝NP＝NC，
∴点M是△P′BP的外心，点N是△P′PC的外心．
∴∠BP′P＝∠BMP＝∠BAC，
∠PP′C＝∠PNC＝∠BAC．
∴∠BP′C＝∠BP′P+∠P′PC＝∠BAC．
从而，P′点与A，B，C共圆，
即P′在△ABC外接圆上．
19．解：连接EF、FG、EG；
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，且EF＝AC＝12；
同理可得：FG∥BD，且FG＝BD＝5；
由于AC⊥BD，则EF⊥FG；
在Rt△EFG中，EF＝12，FG＝5，则EG＝13；
由于直角三角形的外接圆直径等于斜边的长，
∴点E、F、G三点所确定的圆的周长为：13π．
20．解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；
（2）作图如图：
∵点P为AC中点，
∴PA＝PC＝AC．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BP＝DP＝AC，
∴PA＝PB＝PC＝PD，
∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上；
（3）∵菱形ACEF，
∴∠ADC＝90°，AE＝2AD，CF＝2CD，
∴四边形ABCD为损矩形，
∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴，
∴AD＝CD，
∴四边形ACEF为正方形．
∵BD平分∠ABC，BD＝，
∴点D到AB、BC的距离h为4，
∴S△ABD＝AB×h＝2AB＝6，
S△ABC＝AB×BC＝BC，
S△BDC＝BC×h＝2BC，S△ACD＝S正方形ACEF＝AC2＝（BC2+9），
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABD+S△BCD
∴BC+（BC2+9）＝6+2BC
∴BC＝5或BC＝﹣3（舍去），
∴BC＝5．
21．（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得：
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD＝CD．
（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知：，
∴∠1＝∠2，
又∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴∠DBE＝∠3+∠4，∠DEB＝∠1+∠5，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠4＝∠5，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE．
由（1）知：BD＝CD
∴DB＝DE＝DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．（7分）
22．解：（1）∵2+1+2﹣1＝4，
∴AB+AC＝BC，
∴A、B、C三点共线，
∴不能确定一个圆；
（2）∵10+10＝20＞12，
∴A、B、C三点不共线，
∴能确定一个圆；
过A作AD⊥BC，连接BO，
∵BC＝12，
∴DB＝6，
∵AB＝10，
∴AD＝＝8，
设OB＝x，则DO＝8﹣x，
x2﹣62＝（8﹣x）2，
解得：x＝．
∴A、B、C三点能确定一个圆，半径为．