2.6.2正多边形的对称性-2021-2022学年苏科版九年级数学上册培优训练（Word版 含答案）

2.6.2正多边形的对称性
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练
一、选择题
1、以下说法正确的是
(
)
A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．
B．正n边形的对称轴不一定有n条．
C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．
D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．
2、以下说法错误的是（
）
A．多边形的内角大于任何一个外角
B．任意多边形的外角和是
C．正六边形是中心对称图形
D．圆内接四边形的对角互补
3、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(
)
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
4、正十边形的中心角是（
）
A．18°
B．36°
C．72°
D．144°
5、下列关于正多边形的叙述，正确的是（
）
A．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
6、把正五边形绕着它的中心旋转，下面给出的四个角度，得到的正五边形能与原来重合的是(???
)
A．144°
B．180°
C．240°
D．360°
7、如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（　　）
A．（﹣2，2）
B．（﹣2，﹣2）
C．（2，﹣2）
D．（2，2）
8、顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是（　　）
A．△ACE是等边三角形
B．既是轴对称图形也是中心对称图形
C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC
D．图中一共能画出3条对称轴
9、在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
10、正多边形都是_______对称图形，一个正72边形有_______条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的_______；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是_______图形，又是_______图形．
11、正十二边形的每一个外角为____
°，每一个内角是______°，该图形绕其中心至少旋转_____°和本身重合.
12、边数是________数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
13、如图，若以AB为边长作的内接正多边形，则这个多边形是正_________边形.
14、正多边形的中心角为72度，那么这个正多边形的内角和等于__________度．
15、如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是_____度．
16、刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为．如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则___________．
17、如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______.
三、解答题
18、已知⊙O和⊙O上的一点A（如图）.
（1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
（2）在（1）题的作图中，如果点E在上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的边.
19、已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（
要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
20、如图正六边形的边长为1，请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出一条长度为0.5的线段，
（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．
21、如图，正方形内接于，为任意一点，连接、．
（1）求的度数．
（2）如图2，过点作交于点，连接，，，求的长度．
22、（阅读理解）如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．
（类比探究）如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．
（拓展应用）如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．
2.6.2正多边形的对称性
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练（有答案）
一、选择题
1、以下说法正确的是
(
)
A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．
B．正n边形的对称轴不一定有n条．
C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．
D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【答案】C
【解析】解：A选项不正确；因为每个角都是120°?的六边形可以是空间六边形；
B选项不正确；正n边形的对称轴一定由n条；
C选项正确；因为正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数；
D选项不正确；因为当正n边形的边数为偶数时才既是轴对称图形又是中心对称图形；
故选：C．
2、以下说法错误的是（
）
A．多边形的内角大于任何一个外角
B．任意多边形的外角和是
C．正六边形是中心对称图形
D．圆内接四边形的对角互补
【答案】A
【解析】解：对于A选项，多边形的内角不一定大于任何一个外角，如正方形，故错误，符合题意；
对于B选项，任意多边形的外角和是360°，正确，故不符合题意；
对于C选项，正六边形是中心对称图形，正确，故不符合题意；
对于D选项，圆内接四边形的对角互补，正确，故不符合题意；故选A．
3、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(
)
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【答案】C
【解析】因为轴对称图形是指一个图形沿某一条直线对折，其中的一部分与另一部分完全重合，中心对称图形是指一个图形绕某一个点旋转180°后与原来的图形完全重合，所以是轴对称图形而不是中心对称图形有：正三角形，正五边形；是中心对称图形而不是轴对称图形有：平行四边形；是轴对称图形又是中心对称图形有：正方形，正六边形，线段，圆，菱形；
故答案为C
.
4、正十边形的中心角是（
）
A．18°
B．36°
C．72°
D．144°
【答案】B
【解析】正十边形的每个中心角相等，且其和是360°，故一个中心角的度数为：360°÷10=36°，故选：B
5、下列关于正多边形的叙述，正确的是（
）
A．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
【答案】C
【解析】A.正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误，
B.任意多边形的外角和都等于360°，故该选项错误，
C.任何正多边形都有一个外接圆，故该选项正确，
D.∵正三角形的每个外角为120°，对应的每个内角为60°，
∴存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形，故该选项错误，
故选：C．
6、把正五边形绕着它的中心旋转，下面给出的四个角度，得到的正五边形能与原来重合的是(???
)
A．144°
B．180°
C．240°
D．360°
【答案】A
【解析】正五边形的中心角为＝72°,故当正五边形绕其中心旋转时，必须满足旋转角是72°的倍数，才能与原来重合.选项中只有144°是72°的倍数，其余均被整除不了.故A项正确.
故选A.
7、如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（　　）
A．（﹣2，2）
B．（﹣2，﹣2）
C．（2，﹣2）
D．（2，2）
解：连接OA，∠AOH＝30°，AH＝2，
∴OH＝＝2，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
2020÷6＝336…4，
∴当n＝2020时，顶点A的坐标为（﹣2，﹣2），
故选：B．
8、顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是（　　）
A．△ACE是等边三角形
B．既是轴对称图形也是中心对称图形
C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC
D．图中一共能画出3条对称轴
【答案】B
【解析】
试题解析：A.∵多边形ABCDEF是正六边形，∴△ACE是等边三角形，故本选项正确；
B.∵△ACE是等边三角形，∴是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C.∵△ACE是等边三角形，∴连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC，故本选项正确；
D.∵△ACE是等边三角形，∴图中一共能画3条对称轴，故本选项正确．
故选B．
9、在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝360°÷6＝60°，
∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝2，
∵OG⊥BC，∴CG＝BC＝1，
∵∠COG＝∠COD＝30°，∴OG＝CG＝，故选：C．
二、填空题
10、正多边形都是_______对称图形，一个正72边形有_______条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的_______；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是_______图形，又是_______图形．
【答案】轴
72
中心
轴对称
中心对称
【解析】正多边形都是轴对称图形，一个正72边形有72条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的对称中心;一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形.故答案为
(1).
轴
(2).72
(3).
中心
(4).
轴对称
(5).
中心对称.
11、正十二边形的每一个外角为____
°，每一个内角是______°，该图形绕其中心至少旋转_____°和本身重合.
【答案】30?
150?
30?
12、边数是________数的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.
【答案】偶
13、如图，若以AB为边长作的内接正多边形，则这个多边形是正_________边形.
答案：六
解析：连接OB.，是等边三角形，，
，这个多边形是正六边形.故答案为六.
14、正多边形的中心角为72度，那么这个正多边形的内角和等于__________度．
【答案】540
【解析】解：∵正多边形的中心角为72度，
∴边数为：360°÷72°=5，
∴这个正多边形的内角和=（5-2）?180°=540°．故答案为：540．
15、如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是_____度．
【答案】72
【解析】如图，连接OA、OB、OC，∠AOB==72°，
∵∠AOB=∠BOC，OA=OB，OB=OC，∴∠OAB=∠OBC，
在△AOM和△BON中，，
∴△AOM≌△BON，∴∠BON=∠AOM，∴∠MON=∠AOB=72°，
故答案为72．
16、刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设半径为1的圆的面积与其内接正n边形的面积差为．如图①，图②，若用圆的内接正八边形和内接正十二边形逼近半径为1的圆，则___________．
【答案】
【分析】由题意△8-△12=（S圆-S八边形）-（S圆-S十二边形）=S十二边形-S八边形，由此计算即可．
【解析】如图，由题意，△8-△12=（S圆-S八边形）-（S圆-S十二边形）
=S十二边形-S八边形
=12××1×1×sin30°-8××1×1×sin45°
=3-2．
故答案为：3-2．
17、如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝_______.
【分析】连接OA，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AMN的中心角，结合图形计算即可．
【详解】
连接OA，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB==72°，
∵△AMN是正三角形，
∴∠AOM==120°，
∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°，
故答案为48°．
三、解答题
18、已知⊙O和⊙O上的一点A（如图）.
（1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
（2）在（1）题的作图中，如果点E在上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的边.
【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析
【解析】（1）作法:①作直径AC,②作直径BD⊥AC,③依次连接A,B,C,D四点,
四边形ABCD即为⊙O的内接正方形,
①分别以A,C为圆心,OA的长为半径作弧,交⊙O于E,H,F,G,
②顺次连接A,E,F,C,G,H各点,
六边形AEFCGH为⊙O的内接正六边形.
（2）连接OE,DE,
∵∠AOD==90°，∠AOE==60°,
∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=30°,
∴
DE为⊙O的内接正十二边形的一边.
19、已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（
要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF；
（2）连接BE，如图，利用正六边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA，，则判断BE为直径，所以∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，然后判断四边形BCEF为矩形．
解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；
（2）四边形BCEF为矩形．理由如下：
连接BE，如图，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，
∴，∴，
∴，∴BE为直径，
∴∠BFE=∠BCE=90°，
同理可得∠FBC=∠CEF=90°，∴四边形BCEF为矩形．
20、如图正六边形的边长为1，请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出一条长度为0.5的线段，
（2）在图2中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）如图1：连接CF，BD交于点G，则CG即为所求；
理由：∵正六边形ABCDEF的边长1，∴BC=CD=1，∠BCD=120°，
∴△CBD是等腰三角形，∴∠CBG=30°，
又∵CF是正六边形的对称轴，∴CG⊥BD，
在Rt△CBG中，CG=BC=0.5；
（2）画图如下：解法一：菱形FGCH即为所求．解法二：菱形AGDH即为所求．
21、如图，正方形内接于，为任意一点，连接、．
（1）求的度数．
（2）如图2，过点作交于点，连接，，，求的长度．
【答案】（1）45°；（2）
【解析】（1）如图1中，连接、．
四边形是正方形，
，．
（2）如图2中，连接，，，，作于．
∵BF∥DE，，
，，，
，，
，，，
，，
，，
，设，
在中，，，
解得或（舍弃），
22、（阅读理解）如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则．
（类比探究）如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）．
（拓展应用）如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积．
【答案】【类比探究】四边形的面积=．【拓展应用】6
【分析】类比探究：通过证明可得，则．
拓展应用：通过证明可得，则．
解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边
分别交于点
∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，
∴．
拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，
∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边
分别交于点
∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，
∴．
∵四边形面积为，∴正六边形的面积为6．