2021-2022年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》选择题专题训练（word版、含解析）

2021-2022年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》选择题专题训练（附答案）
1．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若AB＝3，AC＝6，则∠AOD等于（　　）
A．90°
B．100°
C．110°
D．120°
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（　　）
A．
B．2
C．2
D．
4．如图，在矩形ABCD中放置了一个直角三角形EFG，∠EFG被AD平分，若∠CEF＝35°，则∠EHF的度数为（　　）
A．55°
B．125°
C．130°
D．135°
5．如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝13，以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，以D为圆心，DA为半径画弧，交BC于点F，则EF的长为（　　）
A．3
B．4
C．
D．5
6．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
7．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（　　）
A．S△ABC＝S△ADC
B．S矩形NFGD＝S矩形EFMB
C．S△ANF＝S矩形NFGD
D．S△AEF＝S△ANF
8．矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作?AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，?AEDF的面积（　　）
A．先变大后变小
B．先变小后变大
C．一直变大
D．保持不变
9．在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝7，3DF＝4FC，则BC的长为（　　）
A．7﹣1
B．4+2
C．2+5
D．4+3
10．如图，在矩形ABCD中，有以下结论：
①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD会变成正方形．
正确结论的个数是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
11．在平行四边形ABCD中添加下列条件，不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．∠ABC＝90°
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．∠ACD＝∠CDB
12．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列哪个条件不能判定?ABCD是矩形的是（　　）
A．AC＝BD
B．OA＝OB
C．∠ABC＝90°
D．AB＝AD
13．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
14．如图，?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
15．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．∠ABC＝90°
B．∠BCD＝90°
C．AB＝CD
D．AB∥CD
16．如图，有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④∠ADC＝∠BAD，从中选取1个作为补充条件，使?ABCD为矩形，其中错误的是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
17．如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（　　）
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°
B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD
C．AO＝BO，CO＝DO
D．AO＝BO＝CO＝DO
18．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量其中三个角是否都为直角
B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等
D．测量对角线是否相互平分
19．下列给出的条件中不能判定一个四边形是矩形的是（　　）
A．一组对边平行且相等，一个角是直角
B．对角线互相平分且相等
C．有三个角是直角
D．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等
20．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件中能判定?ABCD为矩形的是（　　）
A．AB＝BC
B．AC⊥BD
C．∠ABC＝90°
D．∠1＝∠2
21．如图，在Rt△ABC中，角A＝90°，AB＝3，AC＝4，P是BC边上的一点，作PE垂直AB，PF垂直AC，垂足分别为E、F，则EF的最小值是（　　）
A．2
B．2.2
C．2.4
D．2.5
22．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则AM的最小值是（　　）
A．2.5
B．2.4
C．2
D．3
23．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．
24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P是斜边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，EF与AP相交于点O，则OF的最小值为（　　）
A．4.8
B．1.2
C．3.6
D．2.4
25．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，HF，则图中矩形的个数共有（　　）
A．5个
B．8个
C．9个
D．11个
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D为AB上不与AB重合的一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，则线段EF的最小值为（　　）
A．3
B．4
C．
D．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任意一点过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是（　　）
A．2
B．2.4
C．3
D．4
28．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，点P是线段BC上的一个动点，过点P分别作AB、AC的垂线交AB、AC于点M、N，连接MN，则MN的最小值为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
29．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，若AD＝4，∠AOD＝60°，则AB的长为（　　）
A．4
B．2
C．8
D．8
30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　）
A．5
B．4.8
C．4.6
D．4.4
参考答案
1．解：连接PO，
∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，
∴PE+PF＝，
故选：A．
2．解：∵在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，AC＝6，
∴OA＝OB＝AC＝3，
∵AB＝3，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOB＝120°．
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，
∴OC＝OD，
∵EO＝2DE，
∴设DE＝x，OE＝2x，
∴OD＝OC＝3x，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC＝∠OEC＝90°，
在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，
∴（2x）2+52＝（3x）2，
解得：x＝
∴DE＝；
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF＝35°，
∵∠EFG被AD平分，
∴∠GFH＝∠CEF＝35°，
∵∠G＝90°，
∴∠GHF＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EHF＝180°﹣55°＝125°，
故选：B．
5．解：连接DF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝BE＝12，DA＝BC＝DF＝13，∠C＝90°，
∴CF＝＝＝5，
∵EC＝BC﹣BE＝13﹣12＝1，
∴EF＝CF﹣CE＝4．
故选：B．
6．解：∵矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，
∴四边形ABFE里面的空白三角形的面积和四边形EDCF中阴影三角形的面积相等．
∴求阴影部分的面积可看成求四边形ABFE的面积．
∴阴影部分的面积为：（2×3）÷2＝3．
故选：A．
7．解：∵AD∥EG∥BC，MN∥AB∥CD
∴四边形AEFN是平行四边形，四边形FMCG是平行四边形
∴S△AEF＝S△AFN，S△FMC＝S△CGF，S△ABC＝S△ACD，
∴S矩形BEFM＝S矩形NFGD，
∴选项A、B、D是正确的，
当AN＝2ND时，S△ANF＝S矩形NFGD，所以此式子不一定成立，
故选：C．
8．解：过点E作EG⊥AD于G，如图所示：
则∠AGE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴四边形ABEG是矩形，
∴EG＝AB，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴平行四边形AEDF的面积＝2△ADE的面积＝2×AD×EG＝AD×AB＝矩形ABCD的面积，
即?AEDF的面积保持不变；
故选：D．
9．解：延长EF和BC，交于点G，
∵3DF＝4FC，
∵矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝7，
∴直角三角形ABE中，BE＝＝7，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG＝∠DEF，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE＝7，
∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，
设CG＝3x，DE＝4x，则AD＝7+4x＝BC，
∵BG＝BC+CG，
∴7+4x+3x＝7，
解得x＝﹣1，
∴BC＝7+4x＝7+4﹣4＝3+4，
故选：D．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝DO＝CO，AC＝BD，故①③正确；
∵BO＝DO，
∴S△ABO＝S△ADO，故②正确；
当∠ABD＝45°时，
则∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴矩形ABCD变成正方形，故⑤正确，
而④不一定正确，矩形的对角线只是相等，
∴正确结论的个数是4个．
故选：C．
11．解：
A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、根据四边形ABCD是平行四边形和AC⊥BD不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、∵∠ACD＝∠CDB，
∴OD＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
故选：B．
12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴?ABCD是矩形，故A正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴?ABCD是矩形，故B正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴?ABCD是矩形，故C正确；
∵四边形ABCD
是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴?ABCD是菱形，故D错误．
故选：D．
13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM＝AC，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：A．
14．解：假如平行四边形ABCD是矩形，
OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB＝3．
故选：B．
15．解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠ABC＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，正确；
B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，∵∠BCD＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，正确；
C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，
无法得出△ABO≌△DCO，
故无法得出四边形ABCD是平行四边形，
进而无法得出四边形ABCD是矩形，错误；
D、∵AB||CD，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠BAO＝∠ODC，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴?ABCD是矩形，正确；
故选：C．
16．解：当AB＝BC时，则?ABCD为菱形，故①错误；
当∠ABC＝90°时，则?ABCD为矩形，故②正确；
当AC＝BD时，则?ABCD为矩形，故③正确；
当∠ADC＝∠BAD时，可得∠ADC＝∠BAD＝90°，则?ABCD为矩形，故④正确；
故选：A．
17．解；A、∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°根据有三个角是直角的四边形是矩形可判定为矩形，故此选项错误；
B、AB∥CD，AB＝CD，可以判定为平行四边形，又有AB⊥AD，可判定为矩形，故此选项错误；
C、AO＝BO，CO＝DO，不可以判定为平行四边形，所以不可判定为矩形，故此选项正确；
D、AO＝BO＝CO＝DO，可以得到对角线互相平分且相等，据此可以判定矩形，故此选项错误．
故选：C．
18．解：A、测量其中三个角是否都为直角，能判定矩形；
B、测量对角线是否相等，不能判定平行四边形；
C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
D、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
故选：A．
19．解：A、正确．一组对边平行且相等，一个角是直角的四边形是矩形；
B、正确．对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
C、正确．有三个角是直角的四边形是矩形；
D、错误．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等，等腰梯形满足此条件，不是矩形；
故选：D．
20．解：A、∵AB＝BC，
∴?ABCD为菱形，错误；
B、∵AC⊥BD，
∴?ABCD为菱形，错误；
C、∵∠ABC＝90°，
∴?ABCD是矩形，正确；
D、∵∠1＝∠2，
∴?ABCD为菱形，错误；
故选：C．
21．解：连接AP，
∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠BAC＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，由勾股定理得：BC＝5，
由三角形面积公式得：×4×3＝×5×AP，
∴AP＝2.4，
即EF＝2.4，
故选：C．
22．解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，
∴EF，AP的交点就是M点，
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵AP×BC＝AB×AC，
∴AP×BC＝AB×AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10，
∵AB＝6，AC＝8，
∴10AP＝6×8，
∴AP＝，
∴AM＝，
故选：B．
23．解：如图，连接CD，
∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，
∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝，
∵四边形CEDF是矩形，
∴CD＝EF＝，
故选：D．
24．解：∵四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，OE＝OF，
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即OF的值最小．
∵AP?BC＝AB?AC，
∴AP?BC＝AB?AC．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10．
∵AB＝6，AC＝8，
∴10AP＝6×8
∴AP＝．
∴OF＝EF＝
故选：D．
25．解：∵E，G分别是边DA，BC的中点，四边形ABCD是矩形，
∴四边形DEGC、AEGB是矩形，
同理四边形ADHF、BCHF是矩形，
则图中四个小四边形是矩形，
故图中矩形的个数共有9个，
故选：C．
26．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC?AC＝AB?CD，
即×8×6＝×10?CD，
解得CD＝，
∴EF＝．
故选：D．
27．解：连接CP，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠PEC＝∠ACB＝∠PFC＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EF＝CP，
当CP⊥AB时，CP最小，即EF最小，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，
由三角形面积公式得：AC×BC＝AB×CP，
CP＝，
即EF的最小值是＝2.4，
故选：B．
28．解：∵PM⊥AB，PN⊥AC，
∴∠PMA＝∠PNA＝∠A＝90°，
∴四边形PMAN是矩形，
∴MN＝PA，
∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时∵AB＝AC，PA⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PA＝BC＝3，
∴MN的最小值为3，
故选：B．
29．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD＝OB＝BD，OA＝OC＝AC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OD，AC＝BD，
∴?ABCD是矩形，
又∵∠AOD＝60°，
∴△AOD为等边三角形．
∴∠ADB＝60°．
∴AB＝AD＝4．
故选：A．
30．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝BC?AC＝AB?CD，
即×8×6＝×10?CD，
解得CD＝4.8，
∴EF＝4.8．
故选：B．